Re:반지름 a인 원에 내접하는 꼭지각이 θ인 이등변 삼각형의 면적을 최대로 하는 θ의 값을 구하는 건데 문제가 이렇게만 주어지니까

[mathman]

정말 풀이 방법은 여러가지가 있겠네요..
전 이렇게 풀어봤습니다.
좀 복잡해요..(삼각함수 이용)
이렇게 잡죠.

원의 중심을 O, 꼭지각이 A(=θ)인이등변 삼각형을 ABC라고 할때, 변 BC의 값은 사인법칙에 의해,
BC/sinθ=2a에 의해, BC=2asinθ 가 됩니다.

이것을 삼각형의 넓이 구하는 과정에서 밑변의 길이라고 할때, 높이를 알아야 겠죠?

그럼 높이를 구해보자구요,
이등변 삼각형의 꼭지각A로 부터 변 BC에 내린 수선의 발을 D라고 하면, 변 AD의 길이를 구하면 되겠군요. 그런데, BD=CD=asinθ이고, 각BAD=θ/2 이므로, BD/AD=tan(θ/2)을 이용하여 AD를 구하면 되겠죠,
즉,asinθ/ tan(θ/2)=AD가 되고, sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2) 이고,
tan(θ/2 )=sin(θ/2)/cos(θ/2 )이므로 이 것을 대입하여 정리하면,
AD=2acos^2(θ/2)

결국, 넓이S=0.5×BC×AD=2a^2sinθcos^2(θ/2) 이 됩니다.
여기서, cos^2(θ/2)=(1+cosθ)/2이므로, 넣어서 정리하면,

S=a^2(sinθ+sinθcosθ) 가 되고, sinθcosθ=(0.5)sin(2θ)임을 대입하면,
S=a^2[sinθ+(0.5)sin(2θ)]로 정리된다,
이걸 θ에 대해 미분하면, 결국
cosθ+cos2θ=cosθ+(2cos^2θ-1)=0을 만족시키는 θ가 면적을 최대로 만든다. 결국,cosθ=-1 또는0.5이다. 그런데 cosθ=-1가 될수없다(1<θ<180이므로, 된다해도 오히려 -1이되면 최소가 된다.check!)
따라서 cosθ=0.5에서 θ=60가 된다.






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(≫≪) 미군 희생 여중생들의 죽음을 애도하며..