cantor의 대각선 논법(diagonal process)에 관하여....

다음의 멋진 증명(실수 집합의 비가부번성에 대한 cantor의 증명)에 대하여 어디선가 읽은 내용으로 한 친구와 대화를 나누다가 이해가 잘 안되는 부분이 있어 글을 올립니다. ------------------------------------------------------------------- [논의에 필요한 기본적 용어] (정의 1) 두 집합 A, B에 대하여 일대일대응인 함수 f : A -> B 가 존재할 때 A와 B는 대등(equipotent)하다고 한다. (정의 2) 자연수 전체의 집합 N과 대등한 집합을 가부번 집합 (번호를 매길 수 있는/denumerable set)한다. 그렇지 않은 집합을 비가부번 집합이라 한다. [정리 1] 실수의 개구간 (0,1)은 비가부번 집합이다. ["정리 1" 대한 cantor의 대각선 논법에 의한 증명] 귀류법을 사용한다. (가정 1) 집합 X = { x | 0 < x 1 , x는 실수}은 가부번 집합이다. "가정 1"과 "정의 1,2"에 따라 자연수 전체의 집합 N과 X사이에는 일대일 대응 f : N -> X이 존재하므로, X의 모든 원소를 무한 소수(decimal number)로 표현하여 (예컨대 0.2 = 0.19999.....같이 일의적으로 표현 할 수 있다.) 다음과 같이 적을 수 있다. [다음에서, a11, a34 등은 0,1,2, .. 8,9중 하나의 숫자로서, X의 원소를 소수로 표현 했을 때, 소수점 아래 각 자리의 수를 표현 ] f(1) = 0. a11 a12 a13 a14 ............. f(2) = 0. a21 a22 a23 a24 ............. f(3) = 0. a31 a32 a33 a34 ............. f(4) = 0. a41 a42 a43 a44 ............. . . f(n) = 0. an1 an2 an3 an4 ............. . . . 이 때, 다음과 같은 방법으로 소수 c를 구성하여 보자. ( c1,c2 등은 0,1,2, .. 8,9중 하나의 숫자로서, c를 소수로 표현 했을 때, 소수점 아래 각 자리의 수를 표현 수) c = 0. c1 c2 c3 c4 ... cn ....꼴의 무한 소수로 표현하되 각 자리의 수를 다음과 같이 선택한다. c1 ≠ a11 c2 ≠ a22 c3 ≠ a33 c4 ≠ a44 . . cn ≠ ann . . (무한한 과정) 이렇게 구성한 c는 (임의의 자연수 n에 대하여) f(n)과 소수점 아래 n자리의 수가 다르다. 즉, 모든 자연수 n에 대하여 c ≠ f(n) 따라서 c는 집합X의 원소가 아니다. (...............㉠) 반면 c는 0.xxxxxx...꼴의 무한소수이므로 0과 1사이의 실수이고 집합 X의 원소이다. ( ............................ ㉡) ㉠과 ㉡은 명백히 모순이다. 귀류법에 의하여 "가정 1"은 거짓이다. 실수의 개구간 (0,1)은 비가부번이다. (증명끝) -------------------------------------------------------------------- 제 친구는 "c"를 구성하는 소위 대각선 논증을 처음 보았을 때, 언뜻 자명해 보였지만, "c"는 무한한 X의 원소들의 순서를 나열하는 과정에 대응하여 결정되는 것인데, 집합 X의 무한한 수의 원소를 완전히 헤아리지 못하는 만큼 완전히 결정되지 못하는 "c"대하여, X의 모든 원소와 다를 것이라는 주장을 자연스럽게 납득하기가 어렵다고 합니다. 물론, X를 무한히 나열하는 어떤 단계에 대응하여 구성된 "c"의 소수점 아래의 어떤 자리까지를 비교하면, 그 단계 이전에 나열된 어떤 수와도 다르고, 앞으로의 나열되는 수에 대하여도 계속해서 다른 "c"가 만들어 질 것이 분명하지만, 이 과정이 끝나는 모습이 상상이 안된다는 점에서 "c"가 X의 모든 원소와 다르다는게 당연하다고는 느껴지지 않는답니다. 사실, 우리는 직접 무한을 헤아릴 수 없기에 유한한 과정에 대한 사고를 기반으로 무한을 유추하여 이해하려 시도하는데, 유한한 것에 기반을 둔 우리의 직관과 사고가 무한의 영역에서는 그대로 성립할 수 없을 것라는 생각을 해봅니다. 이 정도의 생각을 해보았으나, 결국 증명을 받아들이지도, 명쾌한 반증 도 할 수 없었고, 논증의 어떤 부분이 어떻게 의심스러운지도 잘 설명힐 수가 없었습니다. 다른 분들은 어떻게 생각하시는지 궁금합니다. ------------------------------------------------------------------- < 질문 1> 이 증명이 그대로 자명하다고 느끼는지(이해되는지)? < 질문 2> 그렇지 않다면 반증이나, 쉬운 설명을.... < 질문 3> 이 명제에 관한 참고할만 하고 쉬운 다른 증명이나 아이디어 가 더 있는지? " 꾸벅 ~ "