삼각형의 세 내각의 합은 180°가 아니다?

[김동석]

삼각형의 세 내각의 합은 180°가 아니다?

--"왜?" 이것은 모든 과학의 출발이다--

(1) 우리가 이제까지 배운 바로는 삼각형의 세 내각의 합은 180°이다.
 

△ABC에서 꼭지점 A를 지나고 BC에 평행한 직선 l을 만들면

∠B=∠DAB (엇각), ∠C= ∠EAC (엇각)이므로

∠A+∠B+∠C=180°

여기에서 우리는 이 명제가 평면 위에 평행한 두 직선이 존재한다는 가정 위에 성립한다는 것을 알 수 있다.

"만약 평면 위에 평행선이 없다면, 또는 하나가 아니라 두 개 있다면 어떻게 될까?"

이러한 의문이 매우 어리석게 느껴지는 친구도, 또는 매우 독창적으로 느껴지는 친구도 있을 것이다. 수학자들도 마찬가지였다. 평행선이 오직 하나라고 생각한 유클리트라는 유명한 수학자가 있는 반면 그렇지 않을 수도 있다고 착안하여 수학체계를 만든 수학자도 있었다.

(2) 삼각형의 세 내각의 합은 180°보다 크다.
 

 19세기 로바체프스키는 평면을 곡면으로, 직선을 구의 대원(구를 정확히 반으로 나누는 원호)으로 해석하여 보면 ① 평행선은 존재하지 않으며 ② 삼각형의 세 내각의 합은 180°보다 크다는 것을 발견하였다.

(케냐, 에콰도르, 북극점을 잇는 선분에 의한 삼각형의 내각의 합은 180°보다 크다)

(3) 삼각형의 세 내각의 합은 180°보다 작다.
 

 말안장 모양의 곡면 위에서 우리가 알고있는 직선을 두 점 사이의 가장 짧은 거리로 해석한다면

① 한 직선과 직선 밖의 한 점을 지나는 평행한 직선은 무수히 많고

② 삼각형의 세 내각의 합은 180°보다 작게 된다.

( 이 곡면 위에서 삼각형의 세 내각의 합은 180°보다 작다.)

 

 

정다각형의 작도

눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것을 작도라고 한다. 컴퍼스는 원을 그리는 데 쓰이며 눈금 없는 자는 두 점을 잇는 직선을 그리는 데 쓰인다. 작도는 고대 그리스인들의 노동이 아닌 하나의 놀이 문화로서 그들의 문화를 꽃피우는 데 일조 하였다. 그리스의 웅장하고 아름다운 파르테논 신전도 자와 컴퍼스란 간단한 도구로 설계를 하여 세운 것이라고 한다. 그렇다면 이 두 가지 도구를 가지고 어떤 도형을 작도 할 수 있을까? 우선 정삼각형, 정사각형, 정육각형이라면 누구나 컴퍼스와 자만으로 작도할 수 있을 것이다.

또, 임의의 각을 이등분할 수 있으므로 정삼각형의 한 내각 60°, 이 각을 이등분한 30°, 15°, …, 정사각형의 한 내각 90°, 이 각을 이등분한 45°, 22.5°,… 등의 각을 작도할 수 있다.

정팔각형, 정십이각형, 정십육각형, … 등은 정사각형이나 정육각형의 각각의 변을 이등분해 나가면 되기 때문에 얼마든지 작도할 수 있다. 그렇다면 그 밖의 도형은 어떨까?

그 밖의 도형 중 최초로 발견된 것은 B. C. 5세기경 그리스의 수학자 피타고라스가 발견한 정오각형의 작도이다. 정오각형을 작도할 수 있으므로 정십각형도 작도할 수 있고, 정십각형의 한 내각144°와 이 각을 이등분한 각 72°, 36°, 18°, 9°… 등의 각도 작도 할 수 있는 것이다. 또, 9°와 15°를 더한 각 24°, 이 각을 계속 이등분한 각 12°, 6°, 3°, … 등의 각을 모두 작도할 수 있다.

그러면 정칠각형, 정구각형, 정십일각형, 정십사각형, 정십칠각형, …과 같은 정다각형은 작도할 수 있을까? 이러한 도형들은 누구도 정확히 작도할 수 없다는 것이 정설이었다. 하지만 17996년 독일의 수학자 가우스는 정십칠각형을 작도할 수 있다는 것을 발견하였다. 또한, 각의 수가 2의 배수가 아닌 것 중에서 정확히 작도할 수 있는 것은 정(+1)각형이나 그것을 기초로 해서 그릴 수 있는 정다각형뿐이고 그 이외에는 불가능하다는 것을 증명해냈다. (단, p는 상수)

즉,

p= 0 일 때 +1=+1=2+1=3(각형)

p= 1 일 때 +1=+1=4+1=5(각형)

p= 2 일 때 +1=+1=16+1=17(각형)

p= 3 일 때 +1=+1=256+1=257(각형)

p= 4 일 때 +1=+1=65536+1=65537(각형)

……

등의 정다각형을 작도할 수 있다.

자, 여러분도 이러한 정다각형을 작도하는 데 한 번 도전해 보면 어떨까요?

 

수학용어의 유래

수학 용어는 그 자체가 바로 수학의 개념, 또는 수학적인 어떤 방법을 나타낸다. 현재의 수학 용어는 그 나름대로 어떤 배경 아래 충분한 근거에 기초해서 만들어진 것이다. 다음 몇 가지 예에서 살펴보자.

(1) 마름모 : rhombus를 번역한 菱形(능형)을 다시 한글로 번역한 것으로, 菱은 바늘꽃과의 일년생 식물로 앞과 열매의 모양이 마름모와 비슷하게 생긴 '마름'을 뜻한다.'모'란 두부를 네모나게 만든 것을 뜻하는 말이다.

(2) 사다리꼴 : trapezoid를 번역한 梯形(제형)을 다시 한글로 번역한 것으로, 梯는 사닥다리이며 사닥다리의 준말인 사다리가 사용되어 사다리꼴이 되었다.

(3) 부채꼴 : sector를 번역한 扇形(선형)을 다시 한글로 번역한 것으로, 扇은 '부채'를 뜻한다.

(4) 예각과 둔각 : 銳角(예각), 鈍角(둔각)을 다시 한글로 번역하면 각각 '뾰족한 각', '무딘 각'을 의미하며, acute angle을 번역한 銳角, obtuse angle을 번역한 鈍角의 한글 표기이다. 한편, 북한에서는 각각 '뾰족 각', '무딘 각'으로 사용하고 있다.

π의 역사

원은 어떤 반지름의 원을 그려도 언제나 같은 모양이다. 따라서 원의 둘레의 길이와 지름의 길이와의 비는 원의 크기에 관계없이 모두 같게 되는데, 이 비의 값이 바로 원주율 π이다.

고대 바빌로니아 사람들은 원주율의 근사값으로 3을 썼다. 가장 오래된 수학책으로 알려진 이집트의 수학자 아메스의 파피루스에는 원주율이 (16/9)²=3.16049… 로 계산되어 있어 π에 가깝다. 이론적으로 그리스의 수학자 아르키메데스는 원에 내접, 외접하는 정육각형에서 시작하여 정구십육각형까지 를 작은 쪽과 큰 쪽으로 나누어 계산하여 223/71(=3.1408…) < π < 22/7(=3.1428…)이라는 부등식을 얻었다. 그 후 중국의 수학자 조충지는 π가 3.1415926보다 크고 3.1415927보다 작다는 결론을 이끌어냈다. 그 뒤를 이어 프랑스의 수학자 비에트는 3.1415926535…. 다시 네덜란드의 루돌프는 3.14159265358979323846264338327950288419…라는 것을 알아냈다.

과연 원주율의 정확한 값은 얼마일까?

평행한 두 직선은 영원히 만나지 않는다

'평행한 두 직선은 영원히 만나지 않는다.' 라는 정리를 다시 한 번 생각해 보자.

우리가 자연을 유심히 살펴보면, 평행이란 관계 속에 있는 것이 수없이 많다. 고대 건축물인 파르테논 신전은 아폴로의 해변과 평행하게 만들어 하늘과 땅이 영원히 만나지 않는 신비로운 느낌을 주었다고 한다. 그러나 우리의 시각에 의하면, 평행한 두 직선은 만나고 있음을 알 수 있다. 평행한 길가의 가로수를 보면 저 먼 곳에서 한 점에서 만남을 볼 수 있다. 과연 이것이 착각일까, 아니면 실제로 만나는 것일까 궁금하다. 이러한 궁금증은 B.C 300년경의 유클리드(Euclid ; 330?∼275? B. C.)가 평행선의 정리를 증명하지 못하고 공리로 인정함으로써 학문적으로 발생하였다.

유클리드의 공리는 '두 직선 m, n이 다른 직선 l 과 교차할 때, 같은 쪽 내각의 합이 180°가 아니면 m, n은 같은 쪽 내각의 합이 180°보다 작은 쪽에서 만난다.'이다. 이것을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

즉, 0°< a+b < 2∠R이면, m, n의 교점은 a, b가 있는 쪽에 생긴다는 것이다.

그 후에 수많은 학자들이 이 평행선의 공리를 증명하기 위해 많은 시도를 하였으나 유한하고, 평면·공간적인 인간의 눈으로는 착각과 환상으로만 보이는 평행선의 신비를 증명할 수 없었다.

이러한 평행선의 신비 근처에는 '삼각형의 내각의 합이 180°보다 작거나 큰 새로운 공간이 있다.'는 상대성 이론에 의하여 우리가 살고 있는 공간은 평면 공간이 아닌 곡면, 타원적인 구면 공간임을 찾아 길가의 가로수가 먼 곳에서 만나는 것은 착각이 아닌 실제로 존재하고 있음을 알게 되었다.

 

큰 수와 작은 수

매우 큰 수를 읽는 데는 주로 중국과 인도에서 전래한 수사를 사용하는데 이것들이 오늘날 우리 것으로 토착화되었다.

(1) 큰 수 : 일, 십, 백, 천, 만, 억, 조, 경, 해, 자, 양, 구, 간, 정, 재, 극, 항하사, 아승기, 나유타, 불가사의, 무량대수(10⁶⁸)

(2) 작은 수 : 할, 푼, 리, 모, 사, 홀, 미, 섬, 사, 진, 애, 묘, 막, 모호, 준순, 수유, 순식,탄지, 찰나, 육덕, 허공, 청정(10^-21)

(3) 현대에 생겨난 수 : 광년, 매가톤, 미크론, 마이크로, 나노 등이 현대 과학의 발전상 필요에 의해서 새로이 생겨난 수사들이다.

 

잘못된 증명 방법
 

△ABC의 내각의 크기의 합은 180°임을 다음과 같이 증명하였다. 잘못은 어디에 있는가?

(증명) A에서 BC에 임의의 선을 그어 BC와의 교점을 D라 하면 그림에서

∠A+∠B+∠C = (∠a+∠b+∠c) + (∠d+∠e+∠f) - (∠c+∠d)

=180°+ 180°- 180°

=180°

답: 삼각형의 내각의 크기의 합이 180°임을 증명하는 데 삼각형의 내각의 크기의 합이 180°라는 것을 사용하면 안된다.

 

전선의 길이는 얼마나 될까?

  "지구 모양을 공 모양으로 가정하고, 지표에서 5m 높이의 전주를 세워 전선을 팽팽하게 당겨서 지구를 한바퀴 돌렸을 때, 전선의 길이는 지구의 둘레보다 몇 m나 더 긴가?

풀이
 
 지구의 반지름의 길의를 r라 하면

2π(r + 5) - 2πr

= 2πr + 10π - 2πr

=10π≒31.4(m)

따라서, 지구의 둘레의 길이보다 약 31.4m 정도 더 길다.

 

 

기하학의 기원

원래 실용적인 이유에서 발생하여 발달한 수학은 점차로 경험적 지식이 누적되면서 이론적으로 체계화되어 논증적인 측면을 중시하게 되었다. 따라서, 논증의 근거가 되는 가정, 즉 공리계의 설정이 필요하게 되었으며, 그 공리계의 설정에 따라서 여러 가지 수학이 발달되었다.

수학의 한 분야인 기하학은 영어로 geometry라고 하는데, 이것은 geo가 '토지', metry가 '측량한다'는 뜻이라는 사실에서 그 기원을 잘 나타내고 있다. 고대 이집트에서는 해마다 나일강의 홍수가 지나가고 나면 토지의 경계가 없어져서 본래대로 경작지를 다시 구분해야 하는 등 애를 먹었다고 한다. 이런 이유로 토지를 측량하는 기술이 발달하게 되었는데, 이것이 오늘날의 기하학의 기초가 되었다.

이 이집트의 실용 수학을 그리스에 들여온 사람이 탈레스(640?∼546 B.C.)인데, 그는 실용적인 수학을 근거로 해서 이론적 연구에 몰두하여 실용 기하에서부터 이론 기하, 논증 기하의 시초를 이루게 되었다. 즉, 탈레스는 구체적인 도형을 벗어나서 추상적이고 일반적인 도형의 성질을 연구하는 추상 과학의 길을 닦은 것이다.

탈레스의 뒤를 이어 논증 기하를 발전시킨 사람은 피타고라스(572?∼492? B.C.)인데, 그를 중심으로 한 학파는 기하와 수론과의 연관성을 연구하였다.

예를 들면, 유명한 피타고라스의 정리를 사용하여 직각삼각형의 변의 길이를 나타내는 정수(피타고라스의 수)를 찾아 내는 방법을 생각해 냈던 것이다.

그 후, 그리스의 수학은 소피스트(sophist)들을 중심으로 3대 작도 문제가 연구되었고, 철학자 플라톤(427?∼347?B.C.)이나 논리학자 아리스토텔레스(384?∼322?B.C.)에 의하여 추론의 형식, 정의, 공리에 대한 연구가 추진되었고, 그 연역적 전개 방법이 확립되었으며. 이런 배경에서 유명한 수학자 유클리드(330?∼275?B.C.)는 '유클리드 원론(Elements)'을 저술하였다.

유클리드는 이 '유클리드 원론에서, 그리스 시대까지에서 얻어진 기하학의 지식을 집대성하여 하나의 논리적 체계를 완성하였으며. 기하학의 기초를 확립하였다.