구고현의 정리?

[김동석]

구고현의 정리?

우리나라의 유산을 보면 금 세공품도 많지만 탑이나 절, 무량수전, 궁궐같이 거대한 구조물도 많습니다. 그런데, 그 옛날 우리의 선조들은 어떻게 이처럼 거대한 구조물을 만들 수 있었을까요? 그처럼 거대한 구조물을 만들기 위해서는 여러분들도 배운 피타고라스의 정리가 꼭 필요하답니다. 지면과 수직으로 벽을 쌓아야 높이 지을수 있을테니까요. 그렇다면 우리의 선조들은 피타고라스의 정리를 이미 알고 있었을까요? 조선시대때는 몰라도, 신라시대는 피타고라스보다도 몇 백년 전인데 불가능하죠. 당시 선조들이 알았던 정리에는 다음과 같은 정리가 있었다고 합니다 "구를 3, 고를 4라고 할 때, 현은 5가 된다."

 다음 ( 그림1 )과 비교하여 읽어보면 여러분이 알고 있는 어떤 내용과 같죠.
 

  이 정리는 중국에서 약 3000년 전에 진자라는 사람에 의해 발견되었다는 '진자의 정리'랍니다. 다른 말로는 '구고현의 정리' 라고도 하죠.

 이 내용이 실린 책에는 위의 (그림 2)도 같이 수록되어 있는데, 무슨 뜻인지 아시겠어요?  바로 구교현의 정리의 증명이랍니다. 수식을 하나도 쓰지 않고 그림 하나로 증명을 한 것이죠.

 

 

'피타고라스의 정리'의 발견

 옛날부터 세계 어디에서나 직각삼각형을 그리는 방법은 잘 알려져 있었다. 땅의 넓이를 재는 데, 하늘의 별자리를 알아보는데, 그리고 무엇보다 건물을 세우는 기초를 닦는 데 직각이 필요했기 때문이다.

 직각은 직각삼각형을 만들기만 하면 쉽게 얻을 수 있었으며, 직각삼각형을 만드는 것은 그리 어려운 일이 아니다. 실제로 사람들은 경험을 통해서 이것을 터득했다

 즉, 새끼줄의 길이를 3：4：5의 비가 되도록 매듭을 만들고 이 매듭이 있는 자리를 손이나 막대로 누르고 줄을 당기면 간단히 직각삼각형이 만들어진다는 것을 알게 되었다.
 

그러나 왜 이런 비를 사용하면 직각이 만들어지는지 알지 못하였다. 그러다가 피타고라스(Pythagoras; 572?∼492? B. C)에 의해 직각삼각형의 세 변의 길이 사이에는       ( 밑변의 제곱 ) + ( 높이의 제곱 ) = (빗변의 제곱)  의 관계가 있다는 것을 알게 되었다.

 이 사실을 처음 밝혀낸 사람이 피타고라스이다.

그가 이집트를 여행하다 어느 사원을 찾게 되었다. 이 웅장한 사원의 여기저기를 구경하다가 지친 그는 잠시 사원 마루에 앉아 쉬고 있었다.  그러다가 그 곳에 깔린 대리석에 새겨진 아름다운 도형의 무늬를 무심코 쳐다보게 되었고, 오른쪽의 그림과 같이 직각삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형들이 눈에 띄게 되었는데 그 중 작은 두 개의 넓이가 나머지 한 개의 넓이와 똑같았다. 이 사실은 어떤 직각삼감형을 어떻게 그려도 변함이 없었다.

 '피타고라스'라는 이름을 빛나게 한 '피타고라스의 정리'를 발견한 것도 알고 보면 이와 같이 우연히 얻은 행운의 덕분이었다.

음 악 의 수 학

 피타고라스의 또 하나의 큰 공헌으로, 그는 음계속에 수학적 요소가 있다는 다음과 같은 사실을 발견했다. 즉, 음의 조화와 1, 2, 3, 4, 5라는 정수 사이에 기이한 연관 관계가 있다는 것이다. 현을 세게 잡아 당겨서 음을 내고, 다음에 길이가 2배가 되는 현을 튀기면 전보다 1옥타브 낮은 음이 나온다. 이처럼 현의 길이를 늘려 가면 음계가 그에 따라 낮아진다.
 

 

위의 그림에서 바이올린의 C선상의 손가락의 위치가 그것에 해당된다. 손가락의 위치 Ⅰ은 중앙의 C음을 내는 현의 위치를 가리키고, 현의 3/4의 길이에 해당하는 위치인 Ⅱ는 F음을, 2/3의 위치인 Ⅲ은 G음을, 1/2의 위치인 Ⅳ는 중앙의 C/음을 낸다.  오른쪽은 15세기경의 이탈리아 목판화로, 피타고라스가 여러 가지 실험을 통해 음의 조화에 관한 자기 생각을 증명하는 모습이다.  종과 물을 채운 컵으로, 팽팽히 당긴 현으로 또, 길이가 다른 여러 관으로 제각기 음을 내어 실험을 하고 있다

원 주 율

 고대 이집트의 기록에 원 모양의 토지의 넓이를 구하는 문제와 그 풀이가 다음과 같이 전해지고 있다
 

 ☆ 지름 9게트의 원형 토지의 넓이 구하기☆

9게트에서 지름의 1/9, 즉 1게트를 빼면 나머지는 8게트이다. 8게트의 8배를 하면 64세다트이다

 게트는 길이의 단위로서 1세다트는 1제곱 게트이다.

그 당시 각 나라에서는 원주율을 어떻게 구했는지 알아보도록 하자.

♧ 이집트

 지름 d=2r의 원넓이를

으로 생각하고 있었으므로

♧ 그리스

아르키메데스는 원에 내접하는 정96각형 및 외접하는 정 96각형의 둘레를 계산하여

♧ 기타

중국의 유징(3세기)은 3. 14, 조중지(5세기)는 약률 22/7와 밀률 355/113, 인도의 아루야바야(5세기)는 3. 1416을 얻었다.

 이와 같이 세계 각국에서 원주율의 값을 구하는 데 많은 노력을 하였으며, 현재는 컴퓨터를 이용하여 약 소수 점 아래 100만 자리 이하까지도 정확하게 계산하고 있다.

수학을 노후의 취미로 삼는 일본인

 정년퇴직을 한 월급쟁이가 노후의 취미로 삼는 것이라면 무엇일까? 등산·골프·분재·수석·바둑·장기·시조…등을 생각할 수 있지만, 그렇다고 수학을 취미로 삼는 그런 사람은 없을 것 같다. 더구나 수학을 전공한 것도 아닌 처지에 말이다.

 그런데 노인들의 취미 활동으로 수학을 연구하는 나라가 실제로 있다. 그 희귀한 취미의 나라가 바로 일본이다. 그 '수학 연구'라는게 주로 과거의 수학자와 그 행적, 수학 관계의 문서나 기록 등을 발굴조사하고, 회원끼리 정보를 교환하는 정도라고 하지만, 그렇다 하더라도 놀라운 일이다.

 이들 노인은 '일본수학사학회'의 어였한 회원이다. 해마다 단체로 발굴 여행을 떠나고, 세미나도 물론 갖는다. 회원 중에는 노인부부도 있다. 행락철에는 팔도 관광이 아닌 '수학연구'차 전세버스로 단체 여행을 즐기는 '수학 애호가'인 칠순 노인들이 있다면 곧이 들릴까?

 과거, 일본 서민들의 '기본상식'은 읽기(독해력)·쓰기(표현력)·세기(주판)의 세 가지였다. 이 속에 '셈'이 있기는 하지만, 이 사실만으로는 일본 노인들의 수학에 대한 저 뜨거운 향수를 설명할 수가 없다.

 중국에서는 옛적부터 교양인이 갖추어야 할 기본적인 조건으로서 '육예(六藝)'라는 것이 있었는데, 그 중의 하나로 계산능력(=數 )도 꼽히고 있다. 그러나 중국사회에서 수학의 인기는 신통치 않았다. 하물며 일반 서민층에서는 말할 나위가 없다. 바꾸어 말하면, 일본인의 수학 애호는 수학에 대한 필요가 낳은 것이 결코 아니었다.

 "일본은 세계에서 유일하게 '유의(취미)'로 일관된 수학의 전통을 지닌 나라이다"라는 것을 염두에 두지 않고서는 이 열정을 이해하기는 힘들다.

 

원주율의 역사

 원주율을 처음으로 자세히 연구한 사람은 그리스의 수학자 아르키메데스(Archimedes; 287? ∼ 212 B.C.)이다.

 아르키메데스는 아래의 그림과 같이 생각했다. 원주는 원에 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다 크고 원에 외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다 작다. 여기서, 정다각형의 면의 수를 늘려 가면, 정다각형은 점점 원에 가까워지고, 그 둘레의 길이는 원주에 가까워진다. 이리하여 아르키메데스는 정96각형까지 만들어 원주율이 223/71보다는 크고, 22/7보다는 작다는 것을 생각해 냈다.

 중국에서는 3세기 중엽에 유휘라는 학자가 이와 비슷한 생각으로 정192각형까지 계산하고, 실제로 사용할 때는 원주율을 3.14로 하였다.
 

또, 송나라 때의 조중지(祖中之; 430∼501)라는 학자는 아르키메데스와 같은 방법으로 원주율의 값을 계산하여 그것을 분수로 나타내었는데, 세밀한 값으로는 355/113, 간단한 값으로는 22/7로 나타내었다.  그 후 많은 학자에 의하여 원주율 π의 계산이 계속되었는데, 그 중에서도 영국의 샹크스는 원주율의 값을 707자리까지 계산하여 오랫동안 이 기록은 깨어지지 않았다.  그런데 1947년에 영국의 헤주손이 샹크스가 계산한 값의 528번째 자리가 잘못되어 있음을 발견했다. 샹크스는 이 계산을 일생에 걸쳐서 했다고 하는데, 1947년 미국의 전자계산기 ENIAC은 2037자리까지 겨우 70시간만에 계산했다.

 또, 1961년 IBM 7090은 8시간 43분 만에 10245자리, 1967년 프랑스의 CDC 6600은 28시간 10분만에 50만 자리까지 계산했다.

원주율을 π(파이)라는 문자로 나타낸 사람은 오일러이다.

그리스의 세 가지 난 문제

 기원전 400년경, 그리스의 델로스섬에 전염병이 발생하여 많은 사람이 병에 시달리고 있었다. 시민들은 아폴로 신에게 전염병이 없어지기를 기원했다. 그러자 다음과 같은 아폴로신의 계시가 있었다.

 "이 신전 앞의 제단을 지금 부피의 2배가 되도록 만들어 준다면 전염병을 고쳐 주겠다."

 사람들은 모서리의 길이가 2배가 되는 정육면체의 제단을 만들어 신전에 바쳤다. 그러나 정염병은 더욱더 심해질 뿐이었다. 또, 신의 계시를 빌자 아폴로 신은 말했다.

 "2배로 하라고 한 것은 부피이다. 가로, 세로, 높이를 각각 2배로 하면 부피는 8배 가 되어 버리지 않는가!"

 사람들은 여러 가지로 궁리해 보았으나, 어떻게 만들어야 할지 몰랐다.

 이것이 그리스의 세 가지 난 문제의 시초라고 일컬어진다.

 당시의 학자들은 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하여 도형의 작도를 하였다. 그러나 다음 세 가지 작도에 대해서는 성공하지 못했다.

① 임의의 각을 삼등분하는 작도

② 주어진 정육면체의 2배의 부피를 가지는 정육면체의 작도

③ 주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형의 작도

 이 세 가지 문제는 18세기에 이르러 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능한 문제임이 증명되었다.

삼 각 비 의 기 호

 우리가 쓰고 있는 sin, cos, tan등의 기호는 각각 sine, cosine, tangent의 줄임말이다. 이들 세 가지 외에 고등학교에서는 cosec(코시컨트), sec(시컨트), cot(코탄젠트) 등을 더 사용한다. 그런데 우리가 늘 의문없이 써왔던 이러한 기호는 언제부터 생겨났는지, 또 최초로 쓴 사람은 누구인지가 궁금해진다.

 문헌을 살펴보면, 삼각비의 시호는 옛날부터 있었던 것이 아니고 많은 변천을 거쳐 현재의 것이 되었음을 알 수 있다.

 1220년에 출판된 이탈리아의 피보나치가 쓴 「실용기하학」에는 사인을 sinus rectus areus라는 긴 이름으로 썼고, 그 후 1533년 독일의 뉴른베르그에서 레지오 몬타누스의 유고가 출핀되었는데, 그 책에서는 사인을 sine totus rectus라고 썼다.

 또, 1542년에는 독일사람이면서 계산의 대가였던 레티쿠스가 삼각비표를 만들었는데, 거기에는 사인이 sinus totus로 쓰여 있다. 그래서 이 시대에 출간된 문헌들에는 sinus라는 말이 자주 나타나고 있다는 것을 알 수 있다.

 17세기 초에 군타(Gunter)라는 사람은 지금의 것과 비슷한 sin, cosinus, cotangens라는 기호를 썼다고 전해진다.

 1626년에는 네덜란드의 지라드(1595∼1632)가 ∠A의 사인을 그냥 A로, 코사인을 90°- A = a로 놓고 이를 a로 나타내고, 탄젠트를 tanA, 시컨트를 secA로 사용하였는데 당시에는 일반적으로 이것을 사용하였다고 한다.

 또한 1600년을 전후하여 많은 사람들에 의해 비슷한 여러 가지 기호가 나왔으나 책 속에 사인의 기호를 명확하게 sin으로 나타낸 사람은 프랑스의 헤리곤(Herihone, 1634년)이고 코사인의 기호를 cos로 쓴 사람은 무어(Moore, 1674년), 탄젠트의 기호로 tan을 쓴 사람은 위에서 말한 지라드였다고 한다.

 

삼각비의 역사

 삼각비를 이용하여 삼각형의 변의 길이, 각의 크기 등을 계산하는 삼각법은 천문학, 점성술, 토지 측량과 같은 실생활에 널리 사용되어 그 역사가 대단히 오래되었다.

 이집트, 바빌로니아, 중국등에서 각의 크기의 계산, 또는 삼각법에 관한 여러 가지 오래 된 기록이 있으나 삼각법을 체계적으로 연구한 가자아 오래 된 학자는 그리스의 히파르코스(Hipparchos; 190?∼125? B. C.)라고 한다.

 히파르코스는 천문학을 연구하면서 공의 표면과 같은 면, 즉 구면 위의 두 점 사이의 거리와 각의 크기를 잴 필요를 느껴 삼각법을 연구하였다고 한다.

 그 후 15세기에 레기오몬타누스(Regiomontanus; 1436∼1476)가 1464년 경에 써서 1533년에 발간된 〈모든 종류의 삼각형〉이란 저서에서 처음으로 삼각법이 천문학에서 처음으로 분리되었고, 오일러(Euler, L. ;1707∼1783), 푸리에(Fourier, J. ; 1768∼1830) 등에 이르러 수학의 한 분야로써 다루어지게 되었다.

 실생활에서의 삼각비의 활용의 예는 다음과 같다.

 

◎ 산의 높이 재기 ◎ A지점에서 산꼭대기를 올려다 본 각의 크기가 30°이고, A에서 산쪽으로 100m 걸어간 B지점에서 다시 산꼭대기를 올려다 본 각의 크기가 45°이면 산의 높이 는 얼마인가?

풀이

힘의 평형과 삼각비의 이용

 한 물체에 세 힘이 동시에 작용할 때, 그 물체가 움직이지 않으면 이들 세 힘은 평형을 이룬다고 한다. 예를 들면, 세 가닥의 밧줄을 세 사람이 각각 잡아당길 때, 밧줄이 움직이지 않는다면 이들 세 힘이 평형을 이룬 상태이다. 이 때, 세 힘 가운데 두 힘을 두 변으로 하는 평행사변형을 만들면, 그 대각선은 나머지 한 힘과 같은 직선 위에 있고 힘의 크기가 같으며 방향이 반대이다.
 

즉, 한 점에 F1, F2, F3의 세 힘이 작용하고 있을 때, 이들 힘이 평형을 이룬다면 이들 힘이 나타내는 선분은 하나의 닫힌 삼각형을 이룬다.  그러면 이들 각각의 힘과 이들 힘이 이루는 각의 크기 사이에는 어떤 관계가 있을까?  라미는 오랜 연구 끝에 F1과 F2가 이루는 각의 크기 A3, F2와 F3, F3와 F1 사이에 끼인각의 크기 A1,A2사이에는 다음과 같은 관계가 성립함을 알았다.  이를 라미의 정리라 한다. 그런데 힘의 크기는 화살표의 길이에 비례하므로 윗식을 길이에 관한 식으로 나타낼 수 있다. 화살표의 길이를 각각 이라 하면

 따라서, 우리는 이 식을 이용하여 세 각의 크기와 한 변의 길이를 알고 있을 때, 나머지 두 변의 길이를 구할 수 있다. 또, 세 변의 길이와 임의의 한 각의 크기를 알고 있을 때, 나머지 두 각의 크기를 구할 수 있다.

삼 각 법

 초기 바빌로니아에서 데카르트 시대에 이르기까지 삼각법, 즉 삼각함수의 연구는 측량, 천문, 항해 등 실제적인 면에서 유용하게 활용되었다.

 천체를 관측하는 천문학자나 바다를 항해하는 자로서는 잴 수 없는 거리를 어떻게 해서든 산출해 낼 필요가 있었다. 이런 경우에 삼각형의 변과 각과의 관계에 관한 기초적인 법칙이 큰 도움이 되었다.

 삼각법과 비슷한 계산은 원의 호를 분석한 그리스 인에 의해 이미 행해지고 있었지만, 삼각법을 확립한 사람은 히파르코스(Hipparchos; 190?∼125? B. C.)였다고 한다, 그는 기원전 140년 경에 천문학에 삼각법을 응용하여, 하늘을 가로지르는 직선거리를 산출하였다.
 

현재 삼각법에 가장 널리 이용되고 있는 것은 직각삼각형에서 변의 길이사이의 비를 나타내는 사인( sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent)이다. 사인, 코사인, 탄젠트의 값은 각의 크기가 변함에 따라 삼각비의 값도 변한다. 그리스인은 이 값을 계산해서 삼각비의 표를 만들었는데, 후대의 수학자들은 이것을 더욱 개량하고 확대하였다.

■ 유용한 탄젠트 나무의 키를 재는데는 탄젠트의 공식을 쓴다.

측량기구로 각 A의 크기를, 줄자로 거리 b를 잰다. 각 A의 탄젠트 값(삼각비의 표 이용)은 a를 b로 나눈 값과 같다. 이렇게 구한 a의 값에 측량자의 눈높이를 더하면 나무의 높이가 나온다.