아르키메데스의 이야기

[김동석]

아르키메데스의 이야기

아르키메데스(Archimedes, 287 ? ∼212 B.C.)의 일화가 있다. 그는 B.C. 287년 시실리섬 시라쿠사에서 출생하여 이집트의 알렉산드리아에서 오랫동안 유학하였고, 고향 사라쿠사에 돌아와서는 헤론 왕 밑에서 일생을 보냈다.

어느 날 헤론 왕이 아르키메데스를 불렀다.

헤론 왕 : "어떻게 생각하오? 이 왕관은 정말 순금으로만 되어있소?"

아르키메데스 : "무슨 말씀이십니까?"

헤론 왕 : "순금을 주고 왕관을 만들라고 했는데, 소문에 의하면 세공이 정직하지 않은 사람이라던데…."

아르키메데스 : "알았습니다. 이 문제는 어려우니 며칠간의 여유를 주십시오."

왕은 혹시 세공이 금 일부를 빼돌리고 금과 빛깔이 유사한 다른 금속을 같은 무게만큼 넣어 합금으로 만든 것이 아닌가 하는 의심이 들어 이를 밝혀 보라고 아르키메데스에게 명령한 것이다. 집에 돌아온 그는 며칠 밤낮을 생각을 계속하였으나 왕관의 부피를 알아낼 재주가 없었다. 그렇다고 왕의 왕관을 녹여 부피를 알아낼 수도 없는 노릇이었다. 그랬다가 왕의 왕관이 순금으로만 된 진짜였다면 왕에게 심하게 혼이 날 수도 있기 때문이다.

그러던 어느 날 공중 목욕탕에 가서 목욕을 하다가 물이 흘러넘치는 것을 보고

"알았다. 알았어…." ("유레카,유레카….")

하고 크게 외치며 그는 너무 기쁜 나머지 알몸인 줄도 모르고 거리로 달려갔다.

어떻게 왕관의 부피를 구했을까? 그는 목욕탕에서 '어떤 물체가 액체속에 있을 때 그 물체의 무게는 그것이 밀어낸 액체의 무게만큼 가벼워진다.'라는 부력의 원리를 발견했다. 여러분들도 현장에서 일어나는 일들을 단순히 생각하지 말고, 수학적으로 사고하고 관찰하는 자세로 문제들을 해결하도록 해야 할 것이다. 공식만은 외우는 학문은 결코 학문이라고 말할 수 없음을 여러분도 잘 알아야 할 것이다.

아르키메데스가 만든 걸작품은 매우 많다. 한 원에 내접하는 정96각형, 그 원에 외접하는 정96각형을 그려서 둘레의 길이의 대소 관계로터 원주율π가 3.1408… < π < 3.1428… 임을 알아내었고, 또 구를 쪼개어 생긴 원들의 둘레의 합이 곧 구의 겉넓이와 같다는 생각에서 구의 겉넓이는 그 구의 반지름의 길이 r 를 반지름으로 하는 원의 넓이의 4배, 즉 4πr²임을 알아내었다.

이와 같은 방법으로 원기둥과 구의 부피까지 구하여 원기둥에 내접하는 구의 부피 V 는 원기둥의 부피 2πr³ 의 2/3배와 같다는 것도 알아내었다.

즉, V = 2/3×2πr³ = 4πr³/3을 발견하였다.
 

응용 수학을 경멸하면서도 수학은 단순히 추상적이기만 한 것이 아니라 실용성을 발휘한다는 것을 증명해 보이기라도 하듯 지렛대와 도르래의 원리를 응용하여 배를 움직였으며, 그가 살고 있던 시라쿠사가 로마의 침략을 받았을 때 헤론 왕의 부탁으로 갖가지 무기를 개발하기도 하였다. 거대한 육각형의 거울에 태양빛을 반사시켜 배를 불태웠고, 초대형 투석기, 커다란 기중기와 쇠로 된 갈고리로 로마 병력을 무찔렀다. 로마의 장군 마르켈루스가 시라쿠사로 쳐들어 갔을 때에도 그는 여전히 모래판 위에서 원을 그리며 연구에 몰두해 있었다는데, 로마의 병사가 모래판을 밟자 화가 난 아르키메데스는 "내 원들을 밟지 말라."고 외쳐 화가 난 병사에 의해 죽음을 당하고 말았다.

그 후 "원기둥에 구가 내접한 모양의 묘비를 세워 달라."는 생전의 희망대로 로마군의 대장이 그의 묘비를 세워 주었다는 얘기가 남아 있다.

기둥=3×뿔?

입체도형에 뿔과 기둥이 있다는 것은 초등학교에서 이미 배웠으며, 중학교에 와서는 이 두 입체도형의 부피를 구하는 방법을 배우게 된다.

V = Sh/3(단, S는 밑넓이, h는 높이)

즉, 원기둥이나 각기둥의 부피는 같은 높이와 밑면적을 갖는 뿔의 부피의 3배라는 공식이다.

잘 이해가 안되는 사람을 위해 다음과 같이 설명하는 방법이 있다.

오른쪽 그림과 같은 정육면체의 중심과 꼭지점을 이으면 서로 합동인 6개의 사각뿔이 생긴다. 이 때, 정육면체의 부피가 a³이고, 각 사각뿔의 부피는 서로 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

V = a³/6 = a²/3 × a/2

  이 때, a²은 사각뿔의 밑넓이고, a/2는 높이를 나타내므로 결국 위와 같은 공식이 된다.

이 방법에서도 만족을 느끼지 못하는 사람이 있을 것이다. 이러한 당연한 불만을 납득시키기 위해서는 '카발리에리의 원리'를 도형의 부피에 적용해서 설명을 하면 될 것같다.

즉, "밑면과 높이가 같은 두 개의 각뿔은 같은 부피를 갖는다." 라는 원리인데 두 개의 각뿔이 서로 밑면의 넓이가 같고, 높이의 길이가 같다면 부피도 같음을 얘기하고 있다. 즉, 임의의 각 뿔을 생각하더라도 그것과 같은 부피를 같은 밑면이 정다각형인 각뿔을 만들 수 있는 것이다.

이제는 궁금증이 풀렸죠?

 

 

두 개의 동전

 아래 그림에서 A, B 두 개의 동전이 있다.

동전 B의 반지름은 동전 A의 반지름의 3배이고 큰 동전 B는 고정되어 있어 움직이지 않고, 작은 동전 A를 큰 동전 B의 원주를 따라서 회전시킨다고 하자.

작은 동전이 큰 동전의 원주를 따라 완전히 한 바퀴 돌아 제자리로 오면 동전 자신은 몇 번을 회전하게 될까?

 풀이

이문제의 정답은 작은 동전이 3회전한다고 생각하기 쉬운데 그것은 틀린 것이다. 3회전이 아니라 4회전이다.

그 이유를 살펴보기 위해 10원짜리 동전 두 개를 그림과 같이 배치하여 하나는 움직이지 않게 잡고, 고정시킨 동전의 가장자리를 따라 회전시켜 보자. 그러면 예상 밖으로 1회전을 하는 것이 아니라. 2회전 해 버림을 알 수 있다.

일반적으로 어떤 물체가 스스로 회전하면서 다른 물체의 주위를 따라 돌 때, 그 횟수는직접 셀 수 있는 것보다 1회전을 더 많이 한다.

태양의 주위를 도는 지구의 경우 지구 자체의 회전(자전운동)이 365.25회전이 아니라 366.25회전이 되는 것도 이 때문이다.

 

달팽이의 여행
 

 깊이가 3m되는 우물 바닥에 있던 한 마리의 달팽이가 우물 밖으로 나오려고 하는데, 낮 동안 30cm만큼 기어 올라오고 밤 사이 20cm를 미끄러진다고 하자. 이 달팽이가 우물 밖으로 기어 나오는 데는 며칠이 걸릴까?

정답 : 28일

이 달팽이는 결국 하루에 10cm씩 올라가는 셈이다. 그렇다고 해서 30일 이라고 생각해서는 안 된다. 28일째 아침에는 270cm 올라와 있으므로 28일 낮 동안에 30cm를 오르면 우물 끝에 다다른다.

인간은 살기위해 수학을 배운다.

수학은 예로부터 전해져 오는 지식으로서 수학을 배우는 것이 아니고 '인간답게' 살기 위해서 수학을 배우는 것이다. 천문학, 기상학, 해양학, 철학, 심리학, 경제학, 언어학, 사회학 등 인류의 모든 학문이나 실제 생활에 수학의 힘이나 지식이 필요하다. 그리고 우리들이 보고 듣는 것 거의 전부가 수학 바로 그 자체이거나 약간 변경된 수학에 지나지 않는다.

우리는 '인간답게' 살기 위해 수학을 배운다는 마음을 가지고 더욱 수학을 연구함과 동시에 더 한층 수학을 실용적인 방면으로 응용하는데 힘써야 하겠다.

기하학에 왕도란 없다

약 2200년 전에 그리스 사람 유클리드(Euclid;330?∼ 275?B.C.)는 그 이전의 수학자들이 쓴 내용과 자기가 발견한 것들을 하나로 묶어 기하학 원론이라는 책을 쓰고 이것을 가지고 알렉산드리아대학에서 학생들을 가르치고 있었다. 학생들 중에는 왕의 아들도 있었는데 수학이 어렵고 귀찮아서 유클리드에게 "선생님, 원론을 좀더 알기 쉽게 공부하는 방법은 없습니까?"하고 물으니, 유클리드는 "기하학에는 왕도(왕이 따로 가는 길 또는 방법)는 없습니다."라고 대답했다는 것이다. 다시 말하면, '왕이거나 거지이거나 이 기하학만은 구별하여 가르칠 수 없다'는 것이었다.

 

 

처음으로 만들어진 달력

세상에서 가장 먼저 달력을 만든 곳은 아프리카 북부의 나일강 유역에 있는 이집트였다.

이집트의 달력은 약 4천년전에 만들어 졌는데 처음에는 홍수와 홍수 사이의 날수를 계산하여 그 기간이 365일과 1/4일 정도이며 주기로 계절의 변화가 되풀이되는 것을 알아내어 이것을 1년으로 삼았다. 이집트 사람들은 1년을 12달로 나누고 1달을 30일이라고 정한 다음, 나머지 5일은 12월과 1월 사이에 따로 두었다.

그리고 1/4일의 처리는 모았다가 1460년 째에는 1년을 덤으로 두었는데 이것은 한달에 50초밖에 틀리지 않는 정확한 달력이었다.

수학의 성서-'유클리드 원론'

'원론'은 완전한 형태로 현대까지 전해지고 있는 가장 오래 된 그리스의 수학책이며, 수학의 성서라 일컬어진다.

'유클리드 원론'은 모두 13권으로 되어 있다. 제 1 권은 직선, 평행선, 평면도형, 제 2 권은 직사각형, 정사각형의 넓이, 제 3 권은 원, 제 4 권은 원에 내접, 외접하는 다각형, 제 5 권은 비례론, 제 6 권은 닮은 도형, 제 7,8,9 권은 정수론, 제 10 권은 무리수론, 제 11,12,13 권은 입체기하를 취급하고 있다.

제 1 권에는 23개의 정의, 5개의 공준,5개의 공통 개념이 실려 있다. 유클리드는 이들 정의, 공준, 공통개념을 근거로 해서, 기하학의 모든 개념을 연역적 추론에 따라 유도하였는데, 전권 13권을 통하여 465개에 달하는 명제를 증명하였다. 그 규모의 크기나 논리적 체계의 엄밀성은 그 후 오랫동안 수학의 전형으로 군림해 왔다. 그러나 '원론'은 논리적으로 볼 때 엄밀성을 가지고 있지만 완전하다고는 할 수 없다.

공리란 증명할 필요도 없거나, 또는 증명할 수 없는 것으로서 이미 옳다고 인정되어 다른 명제의 바탕이 되는 명제를 말한다.

공준이란, 공리처럼 절대로 확실한 것은 아니지만. 어떤 이론을 설명하기 위해서는 그 기초로서 인정할 필요가 있는 근본 명제를 말한다.

다음은 유클리드의 원론 전 13권 중 제 1권에 수록되어 있는 공리와 공준이다.

[유클리드의 공리]

① 같은 것과 같은 것은 같다.

② 서로 같은 것에 같은 것을 더하면 그 합 또한 서로 같다.

③ 서로 같은 것에서 같은 것을 빼면 그 차 또한 서로 같다.

④ 서로 같은 것을 반으로 한 것은 서로 같다.

⑤ 전체는 부분보다 크다.

[유클리드의 공준]

① 한 점에서 다른 점에 직선을 그을 수 있다.

② 선분을 연장하여 하나의 직선을 만들 수 있다.

③ 한 점을 중심으로 하고, 한 선분을 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.

④ 모든 직각은 서로 같다.

⑤ 두 직선이 한 직선과 만날 때 한 쌍의 동측내각의 합이 180°보다 작으면 두 직선은 동측내각이 있는 쪽에서 만난다.