Re:7-가 (일차방정식) 농도 계산 문제

[leekwandong]

*소금물의 농도 풀이 문제

1)소금물의 농도 : 단순히 농도를 계산하는 문제는

 소금물의 농도 = × 100% -에 대입해서 풀기

2)소금물의 농도 : 소금물의 양과 농도를 알려 주고,

  ①거기에 물을 더 넣어서 농도를 낮추는 문제는,

  농도와 소금물의 양으로 소금의 양을 먼저 구하고

  소금의 양은 = 소금물 ×  

  더 넣어서 변한 소금물의 농도 = × 100% - 에 대입해서 풀기

문제>

20%의 소금물 500g이 있다. 이것에 몇 g의 물을 넣으면 16%의 소금물이 되겠는가?

풀이>

  (1)소금의 양부터 구하기 = 500 × = 100g

  (2)더 넣어서 변한 소금물의 농도 = × 100% - 에 대입

                             16  =  × 100

                              =

                      16(500+ ) = 100×100

                     8000 +16 = 10000

                             16 = 2000      

                                 = 125

  또는 한꺼번에 식을 세우면, 소금의 양은 물을 더 넣기 전이나 후나 변화가 없으므로

       500 × = (500+ ) ×

확인1>

  8%의 소금물이 300g이 있다. 여기에 물을 넣어 65의 소금물을 만들 때, 더 넣은 물의 양은 몇 g인가?

       300 × = (300 + ) ×

  ②거기에 물을 증발시켜서 농도를 높이는 문제는,

  증발시켜서 변한 소금물의 농도 = × 100% - 에 대입해서 풀기

확인1>

5%의 소금물 200g이 있다. 이것에 몇 g의 물을 증발시키면 10%의 소금물이 되겠는가?

확인2>

8%의 소금물 250g에서 몇 g의 물을 증발시키면 10%의 소금물이 되겠는가?

확인3>

9%의 소금물 280g이 있다. 여기서 몇 g의 물을 증발시키면 14%의 소금물이 되겠는가?

       280 × = (280 - ) ×

응용1>

4%의 소금물 300g이 있다. 여기에 물 180g을 더 넣은 후에 몇 g의 소금을 더 넣으면 10%의 소금물이 되는가?

풀이>

먼저 소금의 양을 구한다.

300 × = 12(g).

× 100(%) = 10(%) ←여기에서 소금을 더( )넣으면 소금물의 양도 더 늘어남

양변에 ÷100을 하고 푼다. *

응용1>

4%의 소금물 300g이 있다. 여기에 물 180g을 더 넣은 후에 몇 g의 소금을 더 넣으면 10%의 소금물이 되는가?

*소금을 더 넣으면, 소금의 무게도 늘어나지만 소금물의 양도 늘어난다.

1)단계 : 소금의 양을 구하기

 × 300 = 12,

2)단계 : 10%의 농도 구하기 식

 × 100(%) = 10(%)

양변에 ÷ 100을 하고 푼다.

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3)농도가 다른 두 개의 소금물을 섞어서 새로운 농도의 소금물을 구하는 문제,

-농도를 가르쳐주는 것은 소금의 양을 구해서 풀이하라는 문제이다.

                      소금의 양  + 소금의 양 = 소금의 양

비법 핵심:

유형 1 :         A                  B                   C

              농도(4%)     +    농도(10%)       =    농도(6%) --- 다 알려 준다.

         소금물 양(알려줌)  + 소금물의 양(물어봄) = 소금물의 양(모름 *자기가 계산함)

              100g         +                   =  □ ←( 100g +  )     

유형 2 :         A                        B                      C

              농도(4%)         +     농도(9%)         = 농도(6%)--- 다 알려 준다.

   소금물 양(모름 *자기가 계산함)  소금물의 양(물어봄)      소금물의 양(알려줌)

         □ ←( 500g +  )   +                       = 500g

위의 유형 1, 2에서 보듯이  소금의 양 세 중에서

1)알려줌  ← 100g, 500g 등

2)물어 봄 ←

3)모름    ← 자기가 알려준 양과 더하든지(+), 전체 양에서 빼든지(-)해서

             100 + ,    500 - --- 등으로 나타내야 함    

문제>

4%의 소금물 100g에 10%의 소금물 몇 g을 섞으면 6%의 소금물이 되겠는가?

     4%의 소금물          10%의 소금물            6%의 소금물

        × 100    +   ×      =   × (100*소금물 + *소금물)

양변에 ×100을 하면,

       400          +     10          =    600 + 6

                            4          =    200

                                       =    50(g)

확인1>

4%의 소금물과 9%의 소금물을 섞어 6% 소금물 500g을 만들려고 한다. 이 때, 필요한 9%의 소금물의 양을 구하여라.

       × (500 - ) + × = × 500

양변에 ×100을 하면,

문제 풀이 방법을 ‘연립방정식’ 풀이 방법으로 생각하면 이해가 빠를 수도 있다.

문제> 위의 문제와 같이 합친 전체의 양(소금물)을 알려주는 경우에는 연립 방정식으로 풀 면 편리하다.

4%의 소금물과 9%의 소금물을 섞어 6% 소금물 500g을 만들려고 한다. 이 때, 필요한 9%의 소금물의 양을 구하여라.

연립방정식 풀이 방법으로 생각하면,

1)방정식은 → 소금1  + 소금2    = (합친)소금 

2)방정식은 → 소금물1 + 소금물2 = (합친)소금물

*이 때, 방정식에서는 를 먼저 정하고, 다른 한 쪽은 ‘전체 - ’로 식을 세우지만,

연립방정식은 를 먼저 정하고, 다른 한 쪽은 ‘전체 - ’ ⇒ 로 하여 식을 세운다.  

방정식에서는 미지수가 , 하나이기 때문에 식을 하나만 세워도 문제를 풀 수 있지만.

연립방정식은 미지수가  와 로 두 개이므로 식도 두 개를 세워야 풀 수가 있다.

이 때 자동으로,

1)방정식은 → 소금1 - 0,04   + 소금2 - 0,09    = (합친)소금 - 0.06 × 500  

2)방정식은 → 소금물1 -   + 소금물2 - = (합친)소금물  실제 양  - 500   이다.

이 두 식을 처음부터 정리해서 쓰면,

1)방정식은 소금의 양    → 0,04   + 0,09    = 0.06 × 500 (=30) 

2)방정식은 소금물의 양1          +        =  500   이다.

식 1)을 양변에 100을 곱하여 간단한 자연수의 식으로 정리하여, 식 3)으로 나타내면, 

3)  4   + 9    = 3000 이다.

이제 식 3)과 2)을 연립하여, 가감법이나 대입법으로 풀면 된다.

식  3)     4   + 9    = 3000

    2)        +     =  500   을 가감법으로 풀면,

    2-1)  4   + 4    =  2000

                  5   = 1000

                      = 200

     = 200을 식 2)에 대입하면,  = 300이다.

∴ 9% 소금물의 양은  에 해당하므로 = 200(g),

   답 = 200(g)

그러면, 아래 문제들의 유형을 살펴보자.

1. 4%의 소금물과 9%의 소금물을 섞어 6%의 소금물 500g을 만들려고 한다. 이 때, 필요한 9%의 소금물의 양을 구하여라.

답 : 200g

*단순한 농도를 계산하는 문제

*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

V*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

2. 4%의 소금물 300g이 있다. 여기에 물 100g을 더 넣은 후에 몇 g의 소금을 더 넣으면 10%의 소금물이 되는가?

답 : 40g

V*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

 *소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

3. 농도가 30%인 소금물 400g에 물을 섞었더니 20%의 소금물이 되었다. 이 때, 섞은 물의 양을 구하여라.

답 : 200g

V*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

 *소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

4. 5%의 소금물과 10%의 소금물을 적당히 섞어서 6%의 소금물 100g을 만들려고 한다. 이 때, 섞은 5%의 소금물의 양을 구하여라.

답 : 80g

*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

V*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

5. 8%의 소금물 300g이 있다. 여기에 몇 g의 물을 증발 시키면 10%의 소금물이 되겠는가?

답 : 60g

*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

V*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

6. 6%의 소금물 300g에 xg의 물을 부어서 4%의 소금물을 만들었다. 이 때, x의 값을 구하여라.

답 : 150g

*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

V*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

7. 7%의 소금물 400g과 10%의 소금물을 섞어서 8%의 소금물을 만들었다. 이 때, 10%의 소금물의 양을 구하여라.

답 : 200g

V*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

V8. 10%의 설탕물 500g이 있다. 여기에서 설탕물 한 컵을 떠내고 다시 같은 양의 물을 넣었더니 8%의 설탕물이 되었다. 이 때, 처음 떠낸 10%의 설탕물의 한 컵의 양은?

'설탕물 한 컵을 떠내고'라는 말은 설탕을 떠냈다는 말인데

설탕물에 녹아있는 설탕을 직접 떠 낼 수가 없으므로, 설탕물을 떠 내면 그 속의 설탕을 덜어내는 것이 된다.

그렇다면 설탕의 양을 먼저 알아볼까?  

처음의 설탕 - 덜어낸 설탕 = 남은 설탕

500 ×  0.1 - (   )  =  500 × 0,08

    50        - (   )  =   40

                   (   )  =   10g

 설탕 10g을 덜어내려면, 물은 설탕물은 몇 g을 덜어내야 하느냐고 묻는 문제이다. 이 설탕 10g은 처음 50g의  1/5이다.

따라서,  500  ×  1/5  = 100이다.

방정식을 세우면,

 × = [(10/100 × 500 - 8/100 × 500)  ÷ (10/100× 500 )]× 500

    =   (                   10                       ÷          50         )   × 500

    =  100

 ∴ 100(g)

답 : 100g

*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

V*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

9. 농도가 다른 두 소금을 A . B가 있는데 소금물 B의 농도가 소금물 A의 농도보다 3배 높다. 그리고 A소금물 300G과 B소금물 100g을 섞으면 6%의 소금물이 된다고 한다. A소금물의 농도를 구하여라.

답 : 4%

*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

V*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

10. 4%의 소금물과 9%의 소금물을 섞어서 8%의 소금물 200g을 만들려고 한다. 4%의 소금물을 몇 g 섞어야 하는가?

답 : 40g

*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

V*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

11. 6%의 소금물 300g의 물을 증발 시켜 10%의 소금물을 만들려고 할 때, 증발시킬 물의 양은?

답 : 120g

*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

V*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

12. 20%의 소금물 500g이 있다. 이것에 몇 g의 물을 넣으면 16%의 소금물이 되겠는가?

답 : 125g

*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

V*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

13. 5%의 소금물 200g이 있다. 이것에서 몇 g의 물을 증발시키면 10%의 소금물이 되겠는가?

답 : 100g

*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

V*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

14. 4%의 소금물 100g에 10%의 소금물 몇 g을 섞으면 6%의 소금물이 되겠는가?

답 : 50g

V*소금과 소금물의 합친 양을 다 안 알려 주는 경우

*소금과 소금물의 합친 양을 다 알려 준 경우

*물을 더 붓거나 물을 증발시키는 경우

*소금물(소금)을 덜어내고 물을 더하는 경우

*소금도 더 하고, 물도 더하는 경우

[임석호]

선생님 ,, 선생님께서 사진같은걸 넣으셨나요? 나오질 않네요;