자연 로그의 역함수 지수함수 그래프

[alun]

자연로그(ln)의 역함수는 지수함수인 exp(x) 입니다. (상용로그의 역함수는 밑이 10 인 지수함수입니다.) 지수함수란

exp(x) = e^x

위와 같이 e 의 x 제곱에 해당합니다. 보통은 exp(x) 라고 쓰지 않고 그냥 e^x 이렇게 제곱으로 표시합니다. 즉, 로그의 역함수는, 함수라기보다는 그냥 "제곱"인 것입니다. 상용로그의 역함수의 경우에는 10^x, 즉 10의 x제곱에 해당합니다.

아래 그래프에서 빨간 선은 지수함수인 exp 이고, 파란 선은 자연로그인 ln (LN의 소문자) 의 그래프입니다.

역함수란, 입출력이 정반대로 된 함수입니다. 예를 들어, "돌을 넣으면 황금"이 되어 나오는 함수가 있을 때, 그 함수의 역함수는, "황금을 넣으면 돌"이 되어 나오는 함수겠지요.

자연로그인 ln(e) = 1 입니다.

자연로그의 역함수인 지수함수를 보면, exp(1) = e 입니다. 입출력이 정반대입니다.



위의 그림에서, 좌측 하단의 작은 그래프를 보면, 자연로그는 거의 증가하지 않지만, 지수함수는 폭발적으로 급증합니다.

밑이 10 인 상용로그는 계산이 편리해서 많이 사용되지만, 수학 이론에서는 주로 자연로그가 사용됩니다. 수학에서 "10"이라는 숫자는 별 의미 없는 보통의 숫자에 지나지 않기 때문입니다.

반면 자연로그의 밑인 e (오일러 상수; 근사값=2.718281828459...)는, 수학에서 파이(원주율) 다음으로 중요한 숫자입니다.


아래의 매스매티카 소스로 위의 그래프를 그릴 수 있습니다.

Show[
 Plot[{Log[x], Exp[x]}, {x, -4, 4}, PlotStyle -> {Blue, Red}],
 Graphics[ Tooltip[Point[{E, Log[E]}], "x = e, y = ln(e) = 1" ] ],
 Graphics[ Tooltip[Point[{1, Exp[1]}], "x = 1, y = exp(1) = e" ] ],
 Graphics[ Tooltip[Point[{0, E}], "y = e" ] ],
 Graphics[ Tooltip[Point[{E, 0}], "x = e" ] ]
 ]

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1. 지수함수(exponential functions)

1) f : R → R, f(x)=a^x (a>0, a≠0), 치역={a^x| a^x>0} 
2) 점 (0,1), (1,a)를 지나고 점근선 y=0 이 존재
3) a>1 이면 항상 증가, 0<a<1 이면 항상 감소

☞ a>1일 때, a^x 은 증가함수 m>n ⇔ a^m>aⁿ
☞ 0<a<1일 때, a^x 은 감소함수 m>n ⇔ a^m<aⁿ

2. 로그함수(logarithmic functions)

1) f : {x|x>0} → R, f(x)=log_ax (a>0, a≠0), 치역={log_ax| 모든 실수}
2) 점 (1,0), (a,1)을 지나고 점근선은 x=0
3) a>1 이면 항상 증가, 0<a<1 이면 항상 감소

☞ a>1일 때, log_ax 는 증가함수 이므로 m>n ⇔ log_am>log_an
☞ 0<a<1일 때, log_ax 는 감소함수 이므로 m>n ⇔ log_am<log_an

y=a^x 와 y=log_ax 는 서로 역함수

1) y=a^x 의 역함수 ⇔ x=a^y ⇔ y=log_ax
2) y=log_ax 의 역함수 x=log_ay ⇔ y=a^x

☞ y=a^x과 y=log_ax 의 그래프는 y=x 에 대칭  

To the question of your life you are the answer, and to the problems of your life you are the solution.

-Joe Cordare-