<페르마 – 약수와 배수>
페르마 (1601~1665)
페르마는 1601년 8월 프랑스 서부에 있는 보몽 드 로마뉴에서 태어났다. 그는 대학을 졸업하고 부모님의 제안으로 시의회 의원으로 일을 했다. 그는 틈틈이 수학 공부를 했다. 전문 학자는 아니었지만 결코 아마추어는 아니었다. 그는 그리스의 수학자 디오판토스가 쓴 <산술>이라는 책에 영향을 많이 받았다. 그는 어떤 문제를 바탕으로 새로운 정리를 발견하기도 했다. 그는 책의 여백에 문제나 증명을 낙서하듯 적어놓는 습관이 있었다. 그는 수학자이자 신부인 메르센과 수학자 파스칼의 영향을 많이 받았다. 그는 수의 성질을 연구하는 정수론에 관심을 가졌고 페르마는 ‘현대 정수론의 아버지’라고 불린다. 그는 ‘산술’ 책에 한 문제를 적었는데 책의 여백이 부족해서 답을 적어놓지 못했다. 그 후 수학자들은 이 정리를 증명하지 못했기 때문에 ‘페르마의 마지막 정리’라고 부른다. 이 문제는 결국 1994년 수학자 앤드루 와일드에 의해 해결되었다.
첫 번째 수업
페르마는 피타고라스가 연구했던 내용을 바탕으로 수에 대해 더 깊이 연구할 수 있었다. 피타고라스는 기하학적인 도형을 수와 연관지어 생각하는 형상수를 생각했다. 그 중 가장 간단한 것이 삼각수다. 삼각수는 일정한 물건으로 삼각형 모양을 만들 때 사용된 물건의 총 개수를 말한다. n번째 삼각수는 1부터 n까지의 자연수를 모두 더한 값이 된다. 따라서 이 된다. 이것은 파스칼의 삼각형으로도 설명할 수 있다. 사각수는 점을 정사각형 모양으로 나타낼 수 있는 수를 말한다. n번째 사각수는 이 된다. 사각수들은 홀수들의 합으로 이루어져 있고 모두 제곱수이다. 연속한 홀수들을 차례로 더하면 항상 제곱수가 된다. 또한 삼각수를 나열하고 이웃하는 수끼리 두 개씩 더하면 항상 사각수가 된다.
두 번째 수업
우애수는 두 개의 수로 이루어져 있는데 약수 중에서 자기 자신을 뺀 약수인 진약수를 모두 더하면 서로가 된다. 220과 284가 그 예다. 우애수는 피타고라스가 처음 발견했다. 진약수를 모두 더하면 자기 자신이 되는 수를 완전수라고 한다. 완전수에 대하여 피타고라스가 처음 정의를 내렸다. 고대 그리스의 수학자 유클리드는 2의 거듭제곱을 차례로 더해서 나온 결과를 이용해 완전수를 찾아냈다. 그는 이 소수일 때 완전수가 된다고 결론을 내렸다. 이 소수인 경우 이 수를 메르센 소수라고 부른다. 지금까지 알려진 완전수들은 모두 이의 자리가 6또는 8인 짝수다. 모든 완전수는 항상 연속된 자연수의 합으로 나타낼 수 있다. 6을 제외한 완전수는 연속된 홀수의 세제곱의 함으로 나타낼 수 있다. 또한 이진법으로 나타낼 수 있다. 진약수의합이 원래의 수보다 작은 수를 부족수라고 한다. 반대로 진약수의 합이 원래의 수보다 큰 수를 과잉수 또는 초과수라고 부른다. 결국 1을 제외한 모든 자연수는 부족수, 완전수. 과잉수 중 하나의 이름을 갖게 된다.
세 번째 수업
1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신 이외에는 다른 약수를 갖지 않는 수를 소수라고 부른다. 쌍둥이 소수란 차이가 2인 두 수가 모두 소수가 되는 경우다. 소수를 찾는 가장 쉬운 방법은 에라토스네세스의 체이다. 자연수들의 배수를 지워 나가면 소수만 남게 되는 것이다. 프랑스의 수도사 메르센은 소수를 등식으로 바꿀 수 있다는 사실을 발견했다. 이것을 근거로 n이 소수일 때, 과 같은 모양의 수들 중 많은 수들이 소수일 것이라고 추측했다. 이 소수를 메르센 소수라고 부른다. 페르마는 음이 아닌 정수 n에 대해서 이 소수가 되는 경우가 있다는 것을 알아냈다. 의 꼴로 나타낼 수 있는 수들 중에서 소수인 수를 이라고 하고 페르마소수라고 부른다. 골드바흐는 4이상의 모든 짝수는 2개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다고 추측한다. 이것이 골드바흐의 추측이다. 이것은 현재까지 풀리지 않고 있다. 현재까지 알려진 가장 큰 쌍둥이 소수는 2003663613 X 로 58711자리다. 이것보다 더 큰 자릿수가 있는지는 아직 모른다. 큰 소수를 찾는 이유는 암호를 만드는데 중요한 역할을 하기 때문이다.