으로 나눌 수 있습니다.
(세분류는 그 분야에 들어가는 학문을 나열. 고교과정은 거기에 해당하는 고교과정을 나타냄)
1.기초론 : 20세기 들어서 나오기 시작한 수학학문으로 수학의 기초를 세우기 위해 생긴 학문입니다. 원래는 이런 논의가 없다가, 20세기초에 등장한 수학내 몇가지 paradox(모순)가 나오면서 수학을 재정립하기 시작한 것이 시초입니다. 이 과정에서 괴델의 불완전성정리는 수학계에 큰 파문을 주기도 했습니다. 이 때문에 수학기초론을 연구하는 사람들도 많은 걸로 알고 있습니다.
세분류 : 집합론, 수학기초론, 수리논리학 등.
고교과정 : 집합과 명제
2.대수학 : 인류의 출현부터 동시에 태어났다고 할 수 있지만 본격적인 논의는 17세기정도부터 시작되었다고 보여집니다. 거의 모든 계산작업이라고 보시면 됩니다.
19세기 이전까지는 주로 정수론과 방정식의 해법이였지만 20세기들어서면서 군,환,벡터공간,체,카테고리 등 대수 자체의 구조를 연구하는 것으로 확장되었습니다. 또한 대수적 방법론을 통해 기타 여러 수학방면의 발전을 동시에 가져오기도 했습니다.
세분류 : 대수적구조론, 표현론, 선형대수, 정수론, 대수기하학 및 가환대수학, 응용대수학 등
고교과정 : 방정식과 부등식, 벡터, 행렬
3.해석학 : 자연현상을 설명하는 가장 좋은 도구로 인정받고 있는 미분과 적분의 개념을 엄밀하게 규명하고, 이를 이용하여 다양한 함수들의 성질을 연구하는 학문입니다. 16세기 뉴턴과 라이프니츠의 미분법의 소개서부터 수학의 주 학문으로 떠오르게 되었습니다. 함수나 미분적분을 이용하는 학문이라고 보시면 됩니다.
4.기하학 : 수학이나 과학의 여러분야에서 등장하는 문제를 시각적모델로 바꾼 후, 수학적으로 검증된 시각적 직관을 이용해서 해결하는 학문. (한마디로 눈으로 보면 확 와닿는 잇점을 이용한 학문) 기하학은 이미 고대 작도문제부터 시작된 수학에서는 꽤 오래된 역사를 가진 학문입니다. 중세때는 기하학 원론이 나오면서(유클리드기하) 본격화되었습니다. 함수나 방정식을 그래프로 생각하는 것도 기하고 삼각형문제나 사각형문제같은 도형문제도 모두 기하입니다. 기하의 영역은 넓다고 할 수 있겠지요.
세분류 : 리만기하학, 사교기하학, 복소기하학, 기타 여러 응용(공학,경영학,확률론,동역학계,양자계산론 등)
고교과정 : 도형의방정식, 모든 그래프적문제, 중학교때의 원의성질 및 피타고라스성질, 삼각형의 성질, 삼각함수의 응용, 벡터의 응용(공간의 방정식)
5. 위상수학 : 20세기 초 뽀앙까레 등에 의해 생겨난 수학분야. 어떤 대상을 연속적으로 변화시킬 때 변하지 않는 성질을 공부하는 학문입니다. (얼마든지 줄이거나 늘일 수 있는 고무의 성질을 연구한다고 생각하면 됨). 위상수학의 대상은 공간이며, 공간의 몇 가지 특징을 발견해서 그 연결구조만을 정의로 하여 그 공간 및 정의에 만족하는 공간 모두의 공통된 성질을 연구합니다.
세분류 : 점집합위상수학, 대수적위상수학, 미분위상수학, 기하학적위상수학, 저차원다양체론, 매듭론 등
고교과정 : 위상수학에 해당되는 고교과정은 없는 것 같습니다. (딱히 잘 생각이 나질 않네요.. 다른 분이 리플로 달아주시길)
6. 확률론 : 잘 아시다시피 확률과 통계에 관한 모든 것을 연구하는 학문입니다. 실생활에서 일어나는 모든 현상의 확률을 연구하고, 통계치를 내보는 것입니다. 이것이 유용하다는 사실은 많은 분들이 아시리라 생각됩니다.(거의 안쓰이는 데가 없습니다...)
세분류 : 확률론, 통계학, 확률모델이론 등
고교과정 : 대표값과 산포도, 확률과 통계
7. 응용수학 : 순수수학의 여러 결과나 방법들을 다른 자연과학이나 공학의 문제들을 해결하는 데 이용하거나 또는 자연과학, 공학에서 파생된 수학적 문제들을 순수수학적 측면에서 접근하는 수학분야입니다. 응용수학을 통해서 다른 자연과학 및 산업발전에 기여하고, 또 수학 자체에서 발전방향의 동기를 얻기도 합니다.
결론 : 이렇게 길게는 썼지만 사실 대략적인 것이고,
수학을 딱 여기 속한다 저기 속한다 말하기가 힘듭니다.
아시다시피 수학은 여러 분야가 서로 얽히고 섥혀 있어서 요즘은 그 구분이 어려울 정도이지요. 예를 들면 이산수학은 응용수학+기하학, 금융수학은 응용수학+확률론, 대수적위상수학은 대수학+위상수학, 하다못해 고교과정에서도 방정식<->함수를 막 넘나들면서 거기다 그래프까지 부여하자나요(대수+해석+기하).확률론이라고 해도 확률분포함수라는 것이 나오고 그래프로 보기도 하니 이것도 확률+해석+기하.. 겠지요..
하지만 대충이라도 구분정도를 안다면 머리속에서 정리하는 데 도움이 되겠지요 ^^