5승근 루트 177777.123의 값을 소수점 아래 3째 자리까지 구하기 - 초등학생도 이해할 수 있는 매우 쉬운 방법

[재후]

5승근 루트 177777.123의 값을

소수점 아래 3째 자리까지 구하기

nth root function을 정의하여 구하는

다소 어려운 방법은

유튜브에 강의 영상을 업로드 해놓았습니다.

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https://www.youtube.com/watch?v=uZnSlsIWaxU

중학생 때

루트2 값 구하는 과정을 이해하지 못하였고

나이 50을 넘도록 깨우치지 못하였습니다.

그래서 최근에 후배 수학도들을 위하여

쉽게 깨우치는 방법을 계속해서 연구하고 있는 중입니다.

그중

가장 간단한 방법을 소개합니다. 

루트 2 (즉 2승근 루트 2)뿐만 아니라

3승근 루트 2,

4승근 루트 2,

5승근 루트 2,

...

의 값들도 구할 수 있는

일반적인 방법입니다. 

단언컨대

초등학생도

이해할 수 있는

매우 쉬운 방법입니다.

예를 들어

다음을 만족하는 양의실수 x의

소수점 아래 세번째 자리까지의 값을 구하려고 해봅시다.

양의 실수 x의 값을

보통 다음과 같이 표현하고

'5승근 루트 177777.123'이라고 읽습니다.

문제에 등장할 때

직접적으로는

아래 표현을 더 자주 사용합니다.

즉 위의 값을

z.abc 형태로

소수점 아래 세 번째 자리까지 구하는 것이 목표입니다.

z, a, b, c를 구하기 위해 필요한 

부등식은 다음과 같습니다.

z^5 ≦ 177777 

(za)^5 ≦ 17777712300 

(zab)^5 ≦ 1777771230000000 

(zabc)^5 ≦ 177777123000000000000

자세한 설명

시작합니다. 

---

루트 안의 자리수 채우기

일단

루트 안의

소수점 아래 자리수를 늘려야 합니다.

소수점 아래 3자리까지의 값(z.abc)을 구하려 하므로

루트 안의 소수점 아래 자리수는

최소한 5 * 3 = 15자리까지 필요합니다.

그런데 현재

루트 안의

소수점 아래 자리수는 3자리 뿐입니다.

따라서 아래와 같이

그 뒤 쪽에 0을 12개 채우고 시작합니다.

---

⓪

정수 부분 z부터 구합니다.

정수부분을 구할 때는

루트 안의 소수점을 기준으로

앞 쪽 정수부분

즉 177777 부분만 필요합니다.

다음을 만족하는 최대 정수 z를 구합니다.

z^5 ≦ 177777 

11^5 = 161051

12^6 = 248832

따라서 z = 11입니다.

혹은

넘어서기 시작하는 값 z = 12를 구한 후

그보다 1 작은 값 z = 11을 취하면

부등식을 만족하는 최대값 z가 됩니다.

---

①

소수 첫째 자리 a를 구합니다.

루트 안의 소수점 아래 처음 5개의 숫자가 더 필요합니다.

다음을 만족하는 최대 정수 a를 구합니다.

(za)^5 ≦ 17777712300 

그런데

z = 11이므로

다음을 만족하는 최대 정수 a를 구합니다.

(11a)^5 ≦ 17777712300 

(단 부등식 좌변에 있는 11a는

11*a를 의미하는 것이 아니라

백의자리 1, 십의자리 1, 일의 자리 a임을 의미합니다.)

112^5 = 17623416832

113^5 = 18424351793

따라서 a=2입니다.

---

②

소수 둘째 자리 b를 구합니다.

루트 안의 소수점 아래 5개의 숫자를 더 동원합니다.

(즉 루트 안의 소수점 아래 총 10개의 숫자를 동원합니다.)

다음을 만족하는 최대 정수 b를 구합니다.

(zab)^5 ≦ 1777771230000000 

z = 11, a=2이므로

다음을 만족하는 최대 정수 b를 구합니다.

(112b)^5 ≦ 1777771230000000  

(단 부등식 좌변에 있는 112b는

112*b를 의미하는 것이 아니라

천의 자리 1, 백의자리 1, 십의자리 2, 일의 자리 a임을 의미합니다.)

1121^5 = 1770223341829601

1122^5 = 1778133174361632

따라서 b=1입니다.

---

③

소수 세째 자리 c를 구합니다.

루트 안의 소수점 아래 5개의 숫자를 더 동원합니다.

(즉 루트 안의 소수점 아래 총 15개의 숫자를 동원합니다.)

다음을 만족하는 최대 정수 c를 구합니다.

(zabc)^5 ≦ 177777123000000000000 

z = 11, a=2, b=1이므로

다음을 만족하는 최대 정수 c를 구합니다.

(1121c)^5 ≦ 177777123000000000000  

(단 부등식 좌변에 있는 1121c는

1121*c를 의미하는 것이 아니라

만의 자리 1, 천의자리 1, 백의자리 2, 십의 자리 1, 일의자리 c임을 의미합니다.)

11219^5 = 177734092113310052099

(11210 + 10)^5 = 177813317436163200000

c = 10이면 위 부등식을 넘어서기 시작하므로

그 보다 1 작은 값...

즉 c=9입니다.

---

즉

다음 수의 소수점 아래 세째자리까지의 값은

11.219 입니다.

---

Python Code

# n승근 루트 r의 값을 소수점 아래 dot_digit 자리까지 구하는 함수
def nRr(n, r, dot_digit=50):
    result = ""
    temp_result = "0"

    s_r = str(r)
    s_r_z = ""  # s_k의 정수 부분 문자열
    s_r_f = ""  # s_k의 소수 부분 문자열

    s_r_dot_idx = s_r.find(".")
    if s_r_dot_idx > 0:
        s_r_z = s_r[0:s_r_dot_idx]
        s_r_f = s_r[s_r_dot_idx + 1:]
    else:
        s_r_z = s_r

    # 실제 계산

    # 정수 부분 값
    my_val = int(s_r_z)

    z = 0  # z = 1부터 해도 된다.
    while True:
        if z**n > my_val:
            temp_result = f"{temp_result}{z - 1}"
            result = f"{result}{z - 1}"
            break
        else:
            z += 1

    if dot_digit == 0:
        return result

    # 소수점 아래 dot_digit 자리까지 구하기
    result = f"{result}."

    s_r_f_extended_len = dot_digit * n
    if len(s_r_f) < s_r_f_extended_len:
        s_r_f = f"{s_r_f}{'0' * (s_r_f_extended_len - len(s_r_f))}"

    for i in range(dot_digit):
        my_val = int(f"{s_r_z}{s_r_f[0:i*n + n]}")
        for d in range(0, 11):  # d = 1 부터 해도 된다.
            if int(f"{temp_result}{d}")**n > my_val:
                temp_result = f"{temp_result}{d-1}"
                result = f"{result}{d - 1}"
                break

    return result


if __name__ == "__main__":
    n = 5
    k = 177777.123
    dot_digit = 100

    s_time = time.time()
    print(f"{n}승근 루트{k}의 값(소수점 아래 {dot_digit}자리까지):\n", nRr(n, k, dot_digit=dot_digit))
    print("걸린시간: ", time.time() - s_time)

결과:

5승근 루트177777.123의 값(소수점 아래 100자리까지):
 11.2195431898477288634734452739796287611276487960898746215979105389872002720362627013977886997208330516
걸린시간:  0.0010006427764892578

[재후]

nth_root_function을 이용하여
(참조: https://www.youtube.com/watch?v=uZnSlsIWaxU)
5승근 루트 177777.123의 값을
소수점 아래 5000자리까지 구해보았더니
걸린 시간은 약 27.35초 입니다.
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여기에서 소개한 방법으로
구해보았더니
걸린 시간은 약 17.09초 입니다.