해석학 로피탈정리 질문입니다!

[쿄로로]

1.이 문제가 특정점a에서 f의이계도함수가 존재한다고 하는것이 'f의 1계도함수의 존재함과 연속'임을 보장하는것인지 궁금하구요!

2. 문제해설에서 3번째줄에서 4번째줄 넘어갈때 로피탈정리를 안쓰고 미분계수 정의를 쓴이유가 f의 이계도함수가 연속임이 보장안되어있어서 그런지 궁금합니다!

[쿨여누]

1.이 문제가 특정점a에서 f의이계도함수가 존재한다고 하는것이 'f의 1계도함수의 존재함과 연속'임을 보장하는것인지 궁금하구요!
=> f'이 a에서 미분가능하므로 f'은 a에서 연속임은 보장할수있습니다.(a가 아닌 다른점들에서는 f'의 연속보장을할수없습니다)
그리고 f'의 존재성을 보장하는것은 가정에서 "f는 I에서 미분가능" 이라는 조건이 주어져있기때문입니다.

[쿨여누]

2. 문제해설에서 3번째줄에서 4번째줄 넘어갈때 로피탈정리를 안쓰고 미분계수 정의를 쓴이유가 f의 이계도함수가 연속임이 보장안되어있어서 그런지 궁금합니다!
=> 아닙니다. f'은 a점에서는 미분가능하지만, 그 이외의 정의역의 점들에서는 f'가 미분가능하다는 보장을 할수없습니다.(즉, a가 아닌 다른점 x에서는 f''(x)가 존재함을 얘기할수없습니다)

[쿄로로]

선생님 답변감사합니다. 또 궁금한게 있는데요 ㅠㅠ

1. 해설 첫째줄우변에서 f'(a+h)와 f'(a-h)의 극한이 h가 0으로 갈때 f'(a)가 될 수 있어서(f'는 a에서 연속이기때문에) 로피탈정리를 한번더 이용가능할까요? 즉 분모 분자 각각 미분요!!

2. 1번과정이 된다면 {f"(a+h)+f"(a-h)}/2가 될텐데 극한h->0을 취하면 f"(a)가 되야하는데
이과정이 안되는이유가
f"가 a에서 연속임이 보장안되서 그런것일까요??

[쿨여누]

1. 적용시킬수없습니다.
2. 그 이유는 양수 h>0에 대해서 f''(a+h), f''(a–h)의 존재성을 얘기할수없기때문입니다.

[쿄로로]

궁금증이 해결됐습니다.
감사합니다. ^^