n승근 루트k를 위한 부등식

[재후]

n승근 루트k를 위한 부등식

루트k에 대한 부등식에 성공한 후

n승근 루트k에 대한 부등식을 일반화 하는데

시간을 보냈습니다.

그래서

결론적으로 얻은 부등식은

다음과 같습니다.

Newton-Raphson Method와

yx^(n-1) = k를 이용하여

조합한 것입니다.

특징은...

우측에 있는 동그라미 식을 (n-1)승 하여

왼쪽에 있는 동그라미 식과 곱하면 k가 됩니다.

마찬가지로

우측에 있는 네모 식을 (n-1)승 하여

왼쪽에 있는 네모 식과 곱하면 k가 됩니다.

부등식에

(n-1)승이 존재하므로

실제 계산 시 부담이 될 수 있습니다.

yx^2 = 2의 그래프

yx^3 = 2의 그래프

참고로...

윈도우즈 10에서 제공하는 계산기를 이용하면

3승근 루트2의 값을

소수점 아래 30번째 자리까지 정확하게 구할 수 있는데

그 값은 

1.259921049894873164767210607278입니다.

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3승근 루트2

위의 부등식을 이용하여

3승근 루트2의 값을 구해보면...

계산을 위해

부등식에 다음 값을 대입하며 시작합니다.

n=3, k=2, q=2

7단계까지 계산하면

3승근 루트2의 값을

소수점 아래 48번째 자리까지 정확하게 구할 수 있는데

그 값은 

1.259921049894873164767210607278228350570251464701입니다.

(걸린 시간: 약 0.33초)

9단계까지 계산하면

3승근 루트2의 값을

소수점 아래 197번째 자리까지 정확하게 구할 수 있는데

그 값은

1.25992104989487316476721060727822835057025146470150798008197511215529967651395948372939656243625509415431025603561566525939902404061373722845911030426935524696064261662500097747452656548030686718540입니다.

(걸린 시간: 약 15.77초)

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내친 김에...

1단계부터 10단계까지 계산하려면

시간이 약 2분 20초 정도 걸립니다.

10단계까지 계산하면

3승근 루트2의 값을

소수점 아래 394번째 자리까지 정확하게 구할 수 있는데

그 값은

1.2599210498948731647672106072782283505702514647015079800819751121552996765139594837293965624362550941543102560356156652593990240406137372284591103042693552469606426166250009774745265654803068671854055186892458725167641993737096950983827831613991551293136953661839474634485765703031190958959847411059811629070535908164780114735213254847712978802422085820532579725266622026690056656081994715628176입니다.

(걸린 시간: 약 137.95초)

위 방법은 소수점 아래 자리수가 많아질수록 시간이 많이 걸리므로

그 보다 계산 시간이 더 적게 걸리는 아래 방법이 더 적절할 것입니다. 

https://cafe.daum.net/habcham/8kmV/203?svc=cafeapi

5승근 루트 177777.123의 값을 소수점 아래 3째 자리까지 구하기 - 초등학생도 이해할 수 있는 매우

[재후]

그러나...
3승근 루트2의 값을
소수점 아래 500자리까지 정확하게 구하는데 약 0.03초,
소수점 아래 5000자리까지 정확하게 구하는데 약 7.79초 밖에
걸리지 않는 방법도 존재하므로...
.
따라서
여기에서 소개한 부등식은
소개만 되고 사용되지 않는...
그런 공식으로 남게 되지 않을까 싶습니다.

[재후]

3승근 루트2의 값을 소수점 아래 500자리까지 정확하게 구하면...
1.25992104989487316476721060727822835057025146470150798008197511215529967651395948372939656243625509415431025603561566525939902404061373722845911030426935524696064261662500097747452656548030686718540551868924587251676419937370969509838278316139915512931369536618394746344857657030311909589598474110598116290705359081647801147352132548477129788024220858205325797252666220266900566560819947156281764050606648267735726704194862076214429656942050793191724414809204482328401274703219642820812019057141889964
(걸린 시간: 약 0.03초)

[산천]

대단합니다. 박수 짝! 짝! 짝! 짝! 짝!