풀이&답 중1 방정식 활용- 시계 문제의 두 가지 풀이 방법과 효용성에 대하여...

[무심]

학원 강사입니다만, 시계 문제를 의외로 많은 학생들이 못 하고 있고, 또 공식을 외워 답을 내지만 근본적인 이해를 하지는 못하는 경우가 많이 보았습니다. 문제를 처음 대하는 학생들부터 수학을 즐기는 학생들까지 도움이 되길 바라면서 올립니다.


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시침 문제는 특정 시간대에 시침과 분침이 겹치거나 특정각을 이루는 시각을 계산해 내는 것입니다. 두가지 방법이 있는데.. 하나는 분침과 시침이 이루는 "각도" 로 접근할 수 있고, 다른 하나는 분침과 시침이 지나간 "거리" 입니다.



둘 다 원리의 출발은 같습니다.

분침이 한 시간 동안 가는 건 시계 한 바퀴 다 도는 것이니 360 도 도는 거구여.

시침이 한 시간 동안 가는 건 시계를 12로 나눈 것 만큼 가지요. 즉 12에서 1, 1에서 2 , ... 따라서 각도로는 30 도 ( 360/12 ) 되겠지요.



거리를 따지자면, 분침은 한 바퀴 돌동안, 시침은 1/12 를 갑니다.

각도를 따지면, 한 시간 은 60분이니, 60으로 나누게 되면, 분침은 일 분에 6 도 씩 가는 것이고 시침은 1/2 도 씩 가는 겁니다.



1) 거리 해법

시침이 x 만큼 가면, 분침은 12x 를 갑니다.

3시와 4시 사이면, 시분침이 겹치는 시간은 숫자 3, 4에 해당하는 15분과 20분 사이입니다.

그러면 시침은 3에서 4로 가는 만큼, 3에서 x 만큼 이동한 거리가 바로 분침이 지나온 거리와 갖게 되겠죠. 3일때가 15분이니, 식은 " 15 + x = 12x " 이 x 값을 구해서 15( 숫자 3 ) 분을 더하면 구하는 답이 나옵니다.

한 가지 더, 풀겠습니다. 3시와 4시 사이 서로 정반대 방향( 180도 ) 을 가리키는 시각을 알아 봅시다.

3 시일 경우 180도 방향은 9시이고 4시일 경우는 10시이므로 , 3시와 4시 사이의 시침이면 분침은 9와 10 사이 즉, 45분과 50분 사이입니다. 시침이 3에서 x 만큼 움직이면 분침은 12x. 그런데 3에서 180도 이루는게 9 인데, 3 에서 x만큼 거리를 움직였으니, 9에서도 x 만큼 움직여야 180도가 되겠지요?

결국 9 (45분 )에서 x 만큼 간 거리가 분침의 이동거리인 12x와 같아지죠.

따라서 식은 " 45 + x = 12x " 이 x 값을 구해서 45 분에 더하면 구하는 답이 나옵니다.위와 비슷하죠?
90 도의 경우도 보면, 3과 6 사이가 시계판에서 90도인데, 3에서 x만큼 움직였으니 90 도를 유지하려면 6에서도 x만큼 움직여야겠죠? 6은 30분이니까" 30 + x = 12x " , x값 구해서 30분에 더하면 됩니다




2) 각도 해법.

사실 일반적으로 이걸 많이 쓰지요. 이 문제의 유형들은 두 침의 각도가 90도, 60도 혹은 180도가되는 긋을 구하라는 변형된 문제가 많거든요.

겹치는 경우는 0도가 되고, 서로 정반대 방향이라면 180도 가 되지여.

시침은 1분에 1/2도 가는데 분침은 6도씩 가므로 구하고자 하는 시간을 x시 y 분이라 하면, 그 각도는

분침 기준으로는 6y , 시침기준으로는 1/2y + 30x 이 됩니다. 예를 들어 3시와 4시 사이로 살펴보면,

분침은 12시 기준 오른 쪽으로 6y 도 만큼 왔는데, 시침은 3에서 4로만 그것도 1/2y 도만큼만 움직이자나요.

그럼 12시에서 3시까지 는 90도 ( 30 * 3, 시계에서는 숫자 1칸이 30도지요 ) 이니까 6y = 1/2y + 90 . 이걸 풀면 됩니다.



일반적으로 이야기 하면, x시 y분일때 시침과 분침이 이루는 각의 크기는 | 30x -.5.5y | 도 입니다



30x의 이유는 방금전에 보신 거고, 5.5y란 6y - 1/2y 를 줄인 겁니다. 또한 절대값의 의미는, 시간에 따라서는 그 각도가 분침-시침 일 수도, 시침 - 분침 일수 도 있기 때문입니다.

2시에서 3시까지 180도 이루는 시각과 8시에서 9시까지 180도 이루는 시각, 그림으로 그려보시면 곧 아십니다.



중요한 것은 학생들 가르치기이지요.

학생들에게 가르칠 때는 어느 것으로 해도 상관없으나, 저는 거리 해법을 주로 합니다. 그게 초등학생에게는 더 잘 이해가 되는 듯 합니다. 각도 접근이 일반적 해법이지만, 초등생들 좀 복잡하면 잘 따라가지를 못합니다. 그래서인지.. 분명 선생님한테 설명을 들었다는데도 겹치는 거 외에 180, 60도 등 좀 응용을 하면 잘 못 풉니다. "저.. 공식은 배웠는데요.. 라고 말하면서도 늘 질문을 해 옵니다.



반면에 거리로의 접근은 1) 일단 구하고자 하는 시각을 ( 0, 60, 90, 180 어떤 각도든지 ) 그림으로 그린다.

2) 그 시간의 범위를 찾는다 ( 예: 10과 11 사이면 50~55분 사이, 3과 4사이면 15~20분 ) 그리하여 각 범위의 아래기준( ( lower limit , 위의 예에서 각각 50, 15 ) = 11x 를 풀어 그 " 아래기준 + x" 가 원하는 답이다 .

이러면 , 처음에 설명할 때 공을 들이지만, 일단 아래기준+x = 12x 라는 이해를 시키고 나면, 단순하기때문에 아래기준=11x 애들도 잘 안 잊어먹고 머리에 쏙 넣게 되는 것 같습니다.

제가 각도 해법을 안 쓰는 것은, 초등생들에겐 일단 공식을유도, 이해시키기가 쉽지 않습니다. 물론 문제의 풀 때는 공식 외워 대입하면 답을 쓸 수 있지만, 이해도 잘 안 가는 공식을 text로만 외워서, 기계적으로 숫자를 대입한다는 것이 수학을 가르치는 입장에서나, 배우는 입장에서도 바람직하지않다고 생각합니다.

반면에 거리 해법은 일단 그림으로 그리니, 첫째 시각적 접근이라 기억이 쉽고, 또한 정확한 시각을 작도하려면, 그 작도 과정에서 학생 스스로가 "시침이 이만큼 움직였으니 분침도 이만큼" 이라고 되내이거나 그 사실을 염두에 두고 그리게 된다는 거지요.,

실제로 아래기준= 11x 로 풀면 조금 더딘 아이들도 대부분 1분 이내 답을 찾았습니다.해서 교육적으로나 실리적으로도 더 효용성이 있다고 생각합니다.


학생들은 도움이 되었길 바랍니다....

[크로커다일]

그냥 12/11 하고 구하자 하는 시간 2시와 3시 사이라고하면 12/11*2 , 왜냐하면 시간은 1시간이 지날때마다 5분 씩 만납니다... 12시 에 시작하면 1시 5분에 만나게 되어있죠 그렇게 하면 정오12시부터 0시 까지하면 11번을 만나게 되죠..... 그렇게 하면 답 나오죠,. 시간으로.. 분은 알아서 고쳐주시길...... 중1인데

[크로커다일]

이렇게 하니까 쉽더라고요

[무심]

정오부터 자정까지 시침과 분침이 만나는 것은 11번 맞습니다. 즉 60분동안 60/11 ( 5분이 아닙니다, 5분은 60/12이죠) 만큼 11번 움직이는 겁니다. 따라서 12시에 시작하면 1시 5와 5/11분에 만나구요. 여하튼 이 방법은 시침과 분침이 겹칠 경우에만 쓸 수 있는 방법( 즉 시분침 각도가 0 도일때)만 쓸수 있지여..