초월수 e의 탄생의 비밀

[허석원]

저가 생각해두 참 거장한 제목이네요.

그냥 이곳 게시판의 글을 읽으면서 고등학교때 저가 궁금해 하던 것이 생각이 나서 이렇게 글을 남깁니다. 먼저 이 게시판에서 초월수에 대한 질문이랑 최민아님(이름이 맞는지 모르겠네요..ㅡ.ㅡ)이 남겨주신 문제를 보니 옛생각이 문득 떠오르네요.

먼저 초월수부터 얘기를 하겠습니다. 고교 수학의 난감한 것 중 하나가 초월수의 정의를 가르쳐주지도 않구 초월함수라는 단어를 사용합니다. 물론 지수의 확장이라고 딱 유리수까지만 가르쳐주고 실상은 지수함수를 배우면서 지수를 실수까지 다룸니다. 좀 문제가 있져.

초월수는 유리계수의 다항식의 근이 될 수 없는 수입니다. 예로 파이랑 이번 글의 주인공인 e입니다. 뭐 증명은 저도 잘 모르겠구, 예전에 증명이 다 되었다고 하더군요.

그렇다면 e는 왜 만들어졌을까요?
파이처럼 기하적으로 존재하는 값도 아닌 인공미가 철철 넘치는 e의 탄생 이유는 멀까요. 그냥 없어도 아니 나오지도 않아도 돼는 e가 왜 나타났을까요.

수학책에는 e의 정의가
'n이 무한대로 증가할 때 (1+1/n)^n이 수렴하는 수' 라고 되어 있습니다.
여러분은 궁금하지 않으십니까??? ㅡ.ㅡ

이번에는 최민아님이 남겨주신 문제를 한번 보져

f(xy)=f(x)*f(y)
그리고 .. f'(1)=1 입니다. 이때 f(x)는 무었인가.
답은 x로 쉽게 나왔는데
풀이 과정에서 버벅데서 몹시 당황 했습니다.
아시는분 알려주세요.

포항 공대 입시에 나왔던 문제라고 소개하시면서 남겨주셨습니다.
근데 이문제를 약간 바꾸어서
f(xy)=f(x)+f(y) 그리구 f`(1)=1이라고 두면
이 문제는 e의 탄생 비밀과 연관이 있습니다. 어떻게 연관이 있을까요. 왜 수학자들은 e라는 새로운 수를 만들었을까요...

먼저 위 문제부터 풀어보도록 하겠습니다.
풀이 방법은 도함수 f`(x)를 구하면 쉽게 풀립니다. 그러기 위해서
y=1+h/x(x는 0이 아닌 실수, h는 양인 실수)라고 치환하겠습니다.
위 값을 주어진 식에 대입하면
f(x+h)=f(x)+f(1+h/x) 되며, f(x)를 이항하고 양변을 h로 나눕시다.
f(x+h)-f(x) f(1+h/x)-f(1)
--------------- = ----------------- * 1/x -------(1)
h h/x
가 됩니다. 맨 처음 식에 x=y=1을 대입하면 f(1)=0이라는 것을
알수 있습니다. 0이기에 우변의 분자에 빼주어도 상관 없겠져?
위 식에서 h---->0으로 보내면, 식은 다음과 같습니다.
f`(x)=f`(1)*1/x
그리구 f`(1)=1이란 주어진 조건에 의해서 f`(x)=1/x 가 되며.
수2를 공부하셨다면, f(x)=ln lxl 가 됨을 쉽게 아실 수가 있습니다.
(f(1)=0이므로 적분 상수는 0이 되구 문제 풀 때 x는 0이 아니라고 했으니 x가 0이 될때의 값을 구해 주면 f(x)=0이 됩니다.)

따라서 답은
f(x)= ln lxl (x가 0이 아닐 때), x=0 이면, f(0)=0
가 됩니다.

위 풀이 과정과 e의 정의를 연결시켜보겠습니다.
f(xy)=f(x)+f(y)란 꼴 어딘가에서 많이 보신 꼴 아닙니까?
로그 할 때 많이 보셨을 꺼에요. logxy=logx+logy 란 식으로요.
실상 함수가 f(xy)=f(x)+f(y)란 꼴은 곧 로그 함수를 의미하는 것입니다.

그리구 로그 함수의 도함수는 위에서 살펴본데로 이렇게 나타나져,
f`(x)=f`(1)*1/x 이쁘면서 간단한 꼴이져.
잘 보시면 f`(1)은 상수가 됩니다. 그리구 문제에서 주어진 조건 처럼
f`(1)을 1로 만들어 버릴 수만 있다면, 도함수는 훨씬 간단한 꼴로 나타날 수 있습니다.

그럼 f`(1)=1로 만들 수 있는 조건은 무엇일까요?
바로 e라는 수를 이용하는 것입니다.
f(x)를 로그 함수라고 했으니깐, e를 밑으로 하는 로그함수(자연로그)를 만들면, 그 함수의 도함수는 간단하게 나타납니다.

문제 풀이에서 (1)식에서 우변을 보십시요.
ln(1+h) - ln 1
f`(1) = limit ---------------- 가 됩니다.
h-->0 h

ln 1은 0이구 (1/h)*ln(1+h)은 ln(1+h)^(1/h) 가 됩니다.
마지막으로 1/h를 n 이라고 치환하면, h가 0으로 다가가면, n은
무한대로 발산하기에 위 식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

f`(1) = limit ln(1+1/n)^n 가 되져
n-->무한대

위 값을 1이라고 한다면, 왜 n이 무한대로 크질 때 (1+1/n)^n 이 e가 되는지, 그리고 왜 e라는 숫자를 사용하면 잇점이 생기는지 모여줍니다.
e라는 숫자를 도입하면 로그함수의 도함수를 구할 수가 있습니다. 그리고 간단한 꼴로 구할 수가 있습니다. 바로 이런 잇점 때문에 초월수 e는 등장하게 되었습니다. 물론 e를 사용하면 로그함수 뿐 지수함수도 미분을 할수 있구 그 미분된 꼴을 쉽게 알수가 있습니다.

y=a^x의 도함수는 뭘까요?
y=e^x 함수의 특성과 로그의 성질과 합성함수의 미분법을 이용하면 암산으로도 계산이 가능합니다.
x ln e^x lx a xlna
a = a = (e^x) = e 가 됩니다.

마지막 식을 합성함수 미분하듯이 하면
xlna
lna * e = lna * a^x가 됩니다.

이렇듯 지수함수 조차도 간단하게 도함수를 구해버릴 수가 있습니다.




초월수 e의 탄생의 비밀....
믿거나 말거나..... ㅡ.ㅡ 였습니다.