해류의 역학

[김동석]

해류의 역학

11-1. 운동방정식

   해류는 하층대기에서 부는 바람이 해면에 작용하였을 때 생기는 바람응력와 해면에서 생기는 해수의 결빙이나 증발에 의해 생기는 밀도의 분포상태에 따라 생기게 된다.

   해수의 유동 즉 해류를 일으키는 주동력(Primary forces)는 해면에 작용하는 바람응력(Wind stress), 해수의 밀도분포에 기인하는 압력경도력(Pressure gradint force), 중력(Gravity)이며, 부차력(Secondary forces)는 지구자전에 의한 전향력(Coriolis force), 마찰력(Friction force), 원심력(Centrifigal force)이다.

   해수의 운동에 대한 운동방정식(Equation of Motion)은 다음과 같다.   u, v, w는 x, y, z방향의 유속을 나타낸다.    왼쪽의 항은 힘 즉 가속도, 오른쪽 1번째항은 수평방향의 압력경도력, 2번째항은 Coriolis력, 3번째항은 바람응력 (Wind stress; 바람에 의한 해수가 움직일수 있는 힘), 4번째항은 마찰력을 의미한다.   

   각 항은 다음과 같이 계산할 수 있다.    수평수압경도력(Horizontal pressure gradient force)은 아래와 같이 오른쪽의 해수면이 높고 왼쪽의 해수면이 낮아서 경사가져 있을 때 해저에서 받는 수압인 P₂와 P₁이 다르다.   수평거리Δx에서 오른쪽 해면이 Δz 만큼 차이가 나므로  기울기는 i=Δz/Δx 가 된다.  

따라서 수압경도력을 계산하면, Δp = P₂ - P₁이고, 정역학방정식(Hydrostatic equation)에서 Δp = -ρgΔz 이므로  Δp를 대체하여 전개하면 다음과 같다.  

여기서 수심에 따른 중력 g(z)는 해면에서의 중력 g(=980cm/s²)에 수심이 깊을수록 증가한다.

   Coriolis력(지구편향력)은 지구자전각속도Ω =7.292x10^-5 이고 Φ는 위도(예, 강릉 경포)로 된 Coriolis parameter에 속도를 곱하여 나타낼 수 있다.

   바람응력(Wind stress)  τ는 x, y 방향에 따라 τ_x,τ_y 로 나타내면 응력은 해면에서 해수의 저층(깊은 수심)으로 전파되어 간다.   해수는 점성(A_z; 점성계수(Eddy viscosity))을 갖이므로 응력이 전파되어 가는 동안 응력은 차츰 감소해 가므로 바람에 의해 해수의 이동은 표층에서 크고 저층으로 갈수록 작다.

여기서 점성계수는 다음과 같은 크기를 갖는다.

   마찰력은 x, y, z방향에 따라 Ju, Jv, Jw로 나타낼 수 있다.

마찰력 Ju, Jv, Jw는 수평과 연직점성계수인 A_h, A_z를 포함된 항으로 전개하면

만약 난류(Turbulent flow)인 해수에서의 마찰력을 계산할려면 순간난류속도(Instantaneous velocity; u)는 평균속도(Mean velocity)에 편차속도(Deviation velocity or fluctation velocity; u')를 합한 식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

따라서 윗 식을 앞에서 나타낸 마찰력식에 대입하여 전개하면 다음식이 된다.

11-2. 연속방정식

   직각좌표계에서 x, y, z방향의 속도 u, v, w를 고려한 질량보전법칙(Conservation of mass)은 다음과 같다.

여기서 ρ는 밀도이다.   염분의 보전(Conservation of salt)에 관한 식으로 나타낼 수 있다.

   보전되는 물질에 대한 연속방정식의 형태로 유사하게 보전되지 않는 물질인 수소와 산소에 대한 연속방정식은 다음과 같다.

여기서 γ와 ε은 반감되는 율을 나타내며 비보전시키는 역할을 하는 항이 된다.

   해수를 비압축성이라고 가정하면 연속방정식을 간략하게 나타낼 수 있다.

만약 해양이 정상상태(Steady state; 시간에 따라 변화없음)라면 월변화, 년변화는 없게 될 것이다.   정상상태라면, 위식의 염분과 산소의 시간변화량을 나타내는 1번째항은 zero가 된다.

11-3. 성층해양에 있어서의 해류

   해수면이 경사져있지 않더라도 밀도가 다른 해수가 상하로 있게 되면 두 밀도가 다른 내부경계면(interface)에서 경사가  생길 경우 수평방향으로 수압경도력이 생기게 되고 해수의 이동이 생기게 된다.   이와같이 성층해양(成層海洋; Stratified ocean)에서 해면에 경사가 있을 때 생기는 해류에 대해 생각해 보자.

앞의 11-1에서 나타낸 바와같이 다음과 같이 수압경도력을 나타낼 수 있다.

만약 n개의 층으로 경사져 있으면 다음과 같이 계산할 수 있으며 이식을 Margule's equation이라 한다.

         1  ∂p_n           ρ_n -∂ρ_n-1           1   ∂p_n-1

        -- ---  = g( ----------) i_n + ---- -----

        ρ_n  ∂x             ρ_n              ρ_n-1  ∂x 

11-4. 지형류

   성층해양에서 마찰을 무시하고 중력이외의 외력이 없다고 가정하면 해수의 수평운동을 지형류(Geostrophic current)라고 한다.

             2ΩsinΦv = 1/ρ∂p/∂x

             2ΩsinΦu = - 1/ρ∂p/∂y

             g - 1/ρ∂p/∂z = 0

일반적으로 대양에서의 해류는 지형류로 간주해도 좋다.   그러나 연안에서는 해저 지형과, 조류 및 풍력에 의해 해류가 매우 다양하게 생성되므로 지형류로 생각하기는 어렵다.

   일반적으로 연안에서의 해류의 순환인 조류, 풍성해류, 밀도류의 유속과 유향을 연직, 수평으로 계산하는 3차원적 수치모델이 많이 발달되어 있다.   계산 결과가 관측치에 매우 잘 부합될 만큼 매우 정확하다.   이를 토대로 연안에서의 선박의 파손에 의해 유출되는 유류(Oil)의 이동과 확산을 계산할 수 있다.    

<예제1> 운동방정식을 기입하고 각항을 어떻게 계산하는가를 설명하시오

<예제2> 밀도가 같은 1층성층해양에서 해면에 1/100정도로 경사져 있다면 경사가 안져있는 면에서 수심이 200m라고 할 때 수압경도력을 계산하시오