[피보나치 수/루카스 수]의 일반화에 대하여

[재후]

자연계에 존재하는 

식물의 90% 정도(?)가 피보나치 수(열)를 따른다고 합니다.

이런 것을 역학에 어떻게 적용할 수 있는 지는 모르겠습니다.

찾아보니 피보나치 수(열)와 관련하여

루카스 수(열)도 유명합니다. 

피보나치 수(열)는 다음과 같이 정의됩니다.

F₁ = 1

F₂ = 1

F_n = F_n-2 + F_n-1     (n≥3)

루카스 수(열)는 다음과 같이 정의됩니다.

L₁ = 1

L₂ = 3

L_n = L_n-2 + L_n-1     (n≥3)

그런데

[피보나치 수(열)/루카스 수(열)]를 관찰하다보니

이상한 점이 발견됩니다.

첫번째 항과 두번째 항만 다를 뿐

적용되는 규칙은 같음을 알 수 있습니다.

그렇다면...

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일반화 시도: W-수(열)

다음과 같이 

첫번째 항과 두번째 항을 각각 a, b로 놓고 연구하는 

일반적인 수열 W_n (a, b)를 정의하면 안되는 것일까요?

W₁ = a

W₂ = b

W_n = W_n-2 + W_n-1     (n≥3)

이 경우

a = 1, b = 1이면 [피보나치 수열]

a = 1, b = 3이면 [루카스 수열]이 되겠지요.

W_n (a=1, b=1) = F_n

W_n (a=1, b=3) = L_n

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W_n과 F_n 사이의 기본 관계식 

그러면 다음과 같은 중요한 관계식이 성립함이 확인되는군요.

중요:

W_n (a, b) = a×F_n-2 + b×F_n-1   

따라서...

W_n (a=1, b=1) = F_n 이니까

W_n (1, 1) = 1×F_n-2 + 1×F_n-1 = F_n 

W_n (a=1, b=3) = L_n 이니까 

W_n (1, 3) = 1×F_n-2 + 3×F_n-1 = L_n 

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W_n (a, b) = a×F_n-2 + b×F_n-1 

적용 사례

만약 w_m+1 , w_m+2 , w_m+3  이 연속된 W-수(열)라면

w_m+1 = a = W₁,  w_m+2 = b = W₂로 놓을 수 있고

그러면 

w_m+3  = W₃ = a×F₁ + b×F₂ = w_m+1×1 + w_m+2×1 = w_m+1 + w_m+2

좀 더 일반화해보면

w_m+1 , w_m+2 ,w_m+3  , …, w_m+n 이 W-수(열)일 경우,

w_m+1 = a = W₁,  w_m+2 = b = W₂로 놓을 수 있고

그러면 

w_m+n  = W_n = a×F_n-2 + b×F_n-1 = w_m+1×F_n-2 + w_m+2×F_n-1

그런데 w_m  = W_m 이므로 

다음과 같은 관계식이 성립합니다.

W_m+n  = W_m+1×F_n-2 + W_m+2×F_n-1

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피보나치 수(열)의 관계식:

F_m+n  = F_m+1×F_n-2 + F_m+2×F_n-1

임의의 a, b에 대하여 

W_m+n  = W_m+1×F_n-2 + W_m+2×F_n-1 공식이 성립하므로

a=1, b=1일 때도 성립합니다.

W_m+n  (a=1, b=1) = W_m+1(a=1, b=1)×F_n-2 + W_m+2(a=1, b=1)×F_n-1  

그러면 W(a=1, b=1) = F 이므로 

피보나치 수(열)의 경우에 다음이 성립합니다.

F_m+n  = F_m+1×F_n-2 + F_m+2×F_n-1

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루카스 수(열)의 관계식:

L_m+n  = L_m+1×F_n-2 + L_m+2×F_n-1

임의의 a, b에 대하여 

W_m+n  = W_m+1×F_n-2 + W_m+2×F_n-1 공식이 성립하므로

a=1, b=3일 때도 성립합니다.

W_m+n  (a=1, b=3) = W_m+1(a=1, b=3)×F_n-2 + W_m+2(a=1, b=1)×F_n-1  

그러면 W(a=1, b=3) = L 이므로 

루카스 수(열)의 경우에 다음이 성립합니다.

L_m+n  = L_m+1×F_n-2 + L_m+2×F_n-1

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W에 대해 성립하는 공식은

F와 L에도 당연히 성립하게 됩니다.

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W_m+n  = W_m+1×F_n-2 + W_m+2×F_n-1

변형 시키기

위 공식에 m 대신 (m-1), n 대신 (n+1)을 대입하면

W_m+n  = W_m×F_n-1 + W_m+1×F_n 

다시 바로 위 공식에 n 대신 (n+1)을 대입하면

W_m+n+1  = W_m×F_n + W_m+1×F_n+1

다시 바로 위 공식에 m 대신 (m-1), n 대신 (n-1)을 대입하면

W_m+n-1  = W_m×F_n + W_m-1×F_n-1

[어은]

수학을 잘 모르지만 요즘 素數에 대한 관심이 많습니다.
패턴을 찾으려는 거 같은데, 문왕 주역서괘의 패턴도 있을까요?
경우의 수는 64!이겠지만, 서괘에서 짝수에서 홀 수번호로 넘어가는
전체의 일률적 패턴이 있는지 궁금합니다.
예를 들어 문왕서괘의 2번에서 3번, 4번에서 5번등이죠.
서괘전에서의 설명만으로 안주하고 싶지않고,
뭔가 수학적인 패턴이 있을까해서요.^^
늦은 밤 질문드려 봅니다.^^

[서흠]

주역 서괘의 설계원리는 규명해 놓은 상태입니다. 과학역연구소의 16년 수업에서 했습니다. 주역에 관한 책을 쓰면서 세상에 발표하겠습니다.

[어은]

기대가 됩니다. 선생님

[재후]

저는 주역을 잘 모릅니다
아마도 이진법 연산과 의미 연결 및 확장의 원리가 들어있지 않을까 예상해봅니다.

시간적으로 변하지 않는 것, 공간적으로 변하지 않는 것.
또
시간적으로 변하는 것, 공간적으로 변하는 것.

주역은
이런 것들의 일반적 혼합성과 작용성을 담고 있지 않을까 싶습니다.

문왕서괘의 2번에서 3번, 4번에서 5번 등을 알려주시면 생각해보겠습니다.

[어은]

지금 보았습니다.
괘를 그려보려 했는데 댓글에는 안되네요..
메일로 보내 드리겠습니다.