수학/유클리드의 삼각형 1/6월19일

[나래님]

유클리드의 삼각형 1

그리스인들은 일찍이 수학과 철학을 발달시킨 지적인 사람들이었다. 탈레스라는 위대한 수학자가 나타난 이후 수학은 농사, 건축 등 생활 속에서 단순한 계산만을 하던 수준에서 벗어나 논리적으로 분석하고 연역적으로 증명하는 기하학이 본격적으로 등장하기 시작했다. 그리스인들은 도형의 성질들ㅇㄹ 그냥 놓아둔 것이 아니라 기본적인 원리로부터 그런 성질들이 어떻게 나타나는지 체계적으로 생각할 논리적으로 이끌어내는 증명을 사용했다. 기하학은 논리적인 생각의 흐름을 배워 사고력을 키우는 것이 목적이다. 깊은 사고력은 다른 학문을 배우는 데 도움을 주고, 이 세상의 수많은 문제들은 해결하고 더 좋게 고쳐 나가는 데 바르고 정확한 판단을 하게 도와준다. 유클리드가 쓴 유명한 책 기하학 원본 또는 원론은 명확하고 논리적인 방법으로 도형에 관한 체계화된 결과들을 적어 놓은 13권짜리 책이다. 이집트인이나 바빌로니아인들 그리고 중국인들의 기하학 지식은 주로 토지를 측량하거나 건축과 관련된 현실적인 문제를 해결하는 데 사용되었는데 이와 달리 그리스 사람들은 힘든 일을 떠나 깊은 생각을 할 수 있는 시간이 있었다. 그래서 수학을 계산술 같은 기술과 논증적인 수학인 기하학으로 구별하였다. 기하학 원본은 쉬운 가정에서 출발해 정리들을 이끌어 나가고 이것을 논리적으로 배열한다. 기하학 원본은 삼각형에 관한 많은 성질과 정리들을 직적 경험을 통해 알아낸 사람들과 그것을 연역적으로 증명해 낸 사람들의 힘이 합해진 결과이다. 물건들은 빛깔, 모양, 크기, 위치, 무게에 따라 서로 가른 특징을 가지고 있는데 이런 여러 특징 중 물체의 위치, 크기, 모양만을 생각할 때 도형이라는 말을 쓴다. 도형의 기본 요소는 점, 선, 면이다. 점이 세 개가 되면 드디어 평면도형인 삼각형을 만들 수 있다. 삼각형은 가장 적은 개수의 점으로 만들 수 있는 평면도형이라서 삼각형을 기본 도형이라 부른다. 세 개 이상의 선분으로 이루어진 평면도형들이 모두 삼각형으로 나누어진다. 삼각형으로 나누어지는, 세 개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 다각형이라고 한다. 삼각형은 세 개의 꼭짓점과 세 개의 변으로 이루어진, 닫힌 도형이다. 삼각형의 세 변의 안쪽 영역을 내부, 바깥쪽 영역을 외부라고 얘기한다. 삼각형의 내부에는 각이라는 부분이 있다. 각은 한 점에서 그은 두 갱의 반직선 사이에 이루어지는 도형을 말한다. 이때 다각형에서 두변으로 이루어지는 내부의 각을 내각이라고 한다. 삼각형은 세 개의 내각을 가지고 있다. 삼각형의 내각은 마주보고 있는 변의 길이에 따라 달라진다. 삼각형을 구분 할 때 한 각이 직각인 삼각형을 직각 삼각형이라고 한다. 두 변의 사이가 직각보다 더 크게 벌어지고 평각 보다는 작은 각이 될 때 우리는 둔각이라고 말하며 한 각이 둔각인 삼각형을 둔각 삼각형이라고 한다. 90° 보다 작은 각도를 예각이라 부른다. 세 내각의 크기가 모두 90°보다 작은 삼각형을 예각 삼각형이라고 한다. °두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변 삼각형이라고 한다. 세 변의 길이가 모두 다른 삼각형은 부등변 삼각형이라고 한다. 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라고 부른다. 변이 길이가 같기 때문에 세 내각의 크기도 모두 같다. 삼각형을 접어 내각을 모아 보면 평각이 만들어 진다는 것을 알 수 있다. 어떠한 삼각형이라 할지라도 삼각형의 내각의 합은 반드시 180°이다. 수학자들은 증명을 통해 ‘삼각형 내각의 크기의 합은 180°이다.‘ 같은 명제를 논리적으로 설명했다. 고대 그리스의 수학자 탈레스는 이런 증명을 시작한 사람 중 한분이다. 탈레스는 동위각과 엇각에 대한 특징들도 증명했다. 서로 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 동위각의 크기가 같고, 엇각의 크기 역시 같다. 동위각의 크기나 엇각의 크기가 같다면 두 직선이 평행하다는 거승ㄹ 아 룻 있다. 사각형의 세 내각의 합이 180°라는 증명에는 동위각, 엇각, 평행선에 대해 방금 배운 성질이 이용된다. 삼각형은 다각형 중 기본 도형이므로 삼각형의 내각의 크기의 합을 이용하여 다른 다각형으 내각의 크기의 합을 구할 수 있다. 사각형은 삼각형 두 개로 나눌 수 있다. 그래서 사각형의 내각의 크기의 합은 삼각형 두개의 내각의 크기의 합과 같다. n각형의 내각의 크기의 합을 구해보면 사각형(n-2)개의 내각의 크기의 합과 같다. (n각형의 내각의 크기의 합)=(n-2)×180° 다각형의 내부에 있는 각을 내각이라고 하며 외부에 있는 각을 외각이라고 한다. 외각의 크기는 180°에서 내각의 크기를 뺀 것과 같다. 삼각형의 한 외가그이 크기와 그것과 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합이 같다는 것을 알 수 있다. 일반적인 삼각형 ABC에서 논리적으로 생각해 보면 삼각형의 각 꼭짓점을 공유하는 한 내각과 외각의 크기의 합은 180°이므로 세 꼭짓점의 내각과 외각을 모두 합치면 540°가 된다. 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이므로 세 외각의 크기의 합은 540°-180°즉 360°가 되는 것을 알 수 있다.