Re:정역의 표수는 0 이거나 소수 p 이다. (2가지 방법)

[폭풍속으로]

[문제] 5. Show that the charateristic of an integral domain D must
be either 0 or prime p.
[Hint: If the characteristic of D is mn, consider (m*1)(n*1) in D]

[보조 정리1] R 이 단위원 1을 갖는 환이라고 가정합니다.
이때, R의 표수가 n일 필요충분조건은 n*1 = 0 입니다.

[증명] 증명과정에서 표기의 간편성을 위해 D 의 표수를 Ch(D) 로 표기하겠습니다.

Ch(D) ≠ 0 이라고 가정하고 Ch(D) 가 소수임을 보입니다.
Ch(D) = mn (즉, 표수가 합성수) 라고 가정합니다.
그러면 (mn)*1 = (m*1)(n*1) = 0 입니다. (mn)*1 은 1을 mn번 덧셈한 것을 말합니다.

그러면 D 가 정역이므로 (m*1) = 0 이거나 (n*1) = 0 입니다.
그러면 [보조정리1]에 의해 D 의 표수는 m 이거나 n 입니다.

그런데 임의의 환에 대한 표수는 유일하므로 이것은 모순입니다.
그러므로 Ch(D) 는 소수이어야만 합니다.

========================== 다른 증명 ==========================
[보조 정리2] 자연수 p 에 대하여 다음이 성립하면 p 는 소수이다.
p = ab 이면 p = a 이거나 p = b 이다.

[다른 증명] 위의 [보조정리2]를 이용하여 증명합니다.
Ch(D) ≠ 0, Ch(D) = mn (즉, 표수가 합성수) 라고 가정합니다. 단, mn ≥ 1.
그러면 (mn)*1 = (m*1)(n*1) = 0 이므로 (m*1) = 0 이거나 (n*1) = 0 입니다.

이때, D 가 정역이므로 D 는 최소한 2개의 원소는 포함해야 합니다.
즉, 덧셈에 대한 항등원 0(영원)과 곱셈에 대한 항등원 1(단위원)은 D 에 존재합니다.
그러면 |D| ≥ 2 입니다.
또, Ch(D) = 1 이라면 모든 원소가 한번 덧셈하여 0 이 되므로 D = {0} 입니다.
그러면 |D| = 1 이므로 위의 |D| ≥ 2 라는 조건에 위배됩니다.
그러면 Ch(D) ≥ 2 입니다.

이때, (m*1) = 0 이거나 (n*1) = 0 이므로 세가지로 나눠서 생각할 수 있습니다.
① (m*1) = 0 이고 (n*1) ≠ 0 인 경우
(m*1) = 0 이므로 표수의 최소성에 의해 Ch(D) = mn ≤ m 입니다.
그러면 n ≤ 1 이고 n 은 자연수이므로 n = 1 입니다.
그러면 Ch(D) = m 입니다.

② (m*1) ≠ 0 이고 (n*1) = 0 인 경우
(n*1) = 0 이므로 표수의 최소성에 의해 Ch(D) = mn ≤ n 입니다.
그러면 m ≤ 1 이고 m 은 자연수이므로 m = 1 입니다.
그러면 Ch(D) = n 입니다.

①,② 에 의해 Ch(D) = mn 이면 Ch(D) = m 이거나 Ch(D) = n 입니다.
그러면 [보조 정리2]에 의해 Ch(D)는 소수입니다.

③ (m*1) = 0 이고 (n*1) = 0 인 경우
(m*1) = 0 에 의해 n = 1 이고, (n*1) = 0 에 의해 m = 1 입니다.
그러면 Ch(D) = mn = 1 입니다.
그러면 D = {0} 이므로 Ch(D) ≥ 2 인 조건에 모순이 됩니다.
그러므로 (m*1) = 0 이고 (n*1) = 0 일 수는 없습니다.