오일러 표수 증명

[귀뚜라미]

르네상스 시대 문화 부흥기에 그림을 그리는 중요한 한 방법이 탄생하였다. 그것은 풍경화를 비롯한 인간의 주변 현상을 표현한 예술작품에 보편적으로 사용되고 있는 방법이다. 아래 그림은 프레드릭 에드윈 처치(Frederic Edwin Church)의 1859년 작품으로, 근대 이후 보편화된 투시화법을 사용하여 그린 작품이다.

투시화법으로 그린 그림. <출처: [안데스의 심장] 프레드릭 처치 작, 1859>

투시화법은 중세시대의 신(God) 중심적인 사고에서 벗어나 인간 중심 사상에 입각하여 작품을 그리는 시대적인 정신의 반영이었다. 즉 인간의 눈에 보이는 그대로를 사실적으로 그림을 그리는 대표적인 한 방법인 것이다.

투시화법 – 눈에 보인 대로 사실적으로 그림을 그리는 방법

투시화법과 관련된 최초의 기원은 이탈리아의 브루넬레스키(Filippo Brunelleschi, 1377~1446)이다. 그는 1425년 경 기하학과 광학에 대한 연구에서 원근법의 이론을 예술활동 속에 도입하였다. 그 후 알베르티(Leon Battista Alberti 1404~1472)는 그의 논문 ‘배경화’에서 투시화법과 관련된 최초의 발행물을 발표하였다. 독일의 화가인 알브레이트 뒤러는 자신의 저서 [측량법](1525)에서 투시화법을 정확히 구현하는 방법을 설명하였다.

화가 알브레이터 뒤러의 저서[측량법]에 등장하는 투시화법에 관한 삽화.

투시화법의 원리를 설명하는 그림.

투시화법은 한 시선에 포착되는 사물의 형태를 평면에 그대로 그리는 방법이다. 이 방법에 따라 그림을 그리고자 할 때는 먼저 인간의 눈으로부터 그리고자 하는 대상까지를 직선으로 연결하고, 인간의 시선과 대상 사이에 캔버스가 오도록 한 다음, 인간의 시선에 포착된 3차원 세계를 2차원 평면 위에 투사하여 그림을 그린다. 투시화법은 미술에서 3차원 세계를 2차원 세계에 투영시키는 한 방법이다. 사실 미술에서 가장 보편적으로 사용되는 이 방법은 사영기하학이라고 불리는 수학에 그 뿌리를 두고 있다. 그런데 사영기하학에 근원을 두고 있는 이러한 투시화법을 활용하면 매우 흥미로운 수학적 사실을 증명하는데 활용할 수 있다.

오일러 표수 - 입체도형의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수의 관계

보통 중학교 수학시간 때, 입체도형의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수에 대해 배우게 된다. 학교에서 배우는 여러 입체도형 중에서 정다면체(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체), 각기둥, 각뿔 등과 같이 구와 연결상태가 동일한 입체도형에 대해 생각해 보자. 여기서 구와 연결상태가 동일한 입체도형이라는 것은 어떤 입체도형이 고무와 같이 늘어날 수 있는 재질로 만들어졌다고 가정할 때, 바람을 불어 넣거나 팽창시켜 구와 같은 모양으로 만들 수 있는 입체도형을 의미한다. 이러한 입체도형에서 꼭짓점의 개수를 V, 모서리의 개수를 E, 면의 개수를 F라고 하면, 항상 V-E+F=2가 성립한다는 것이 오일러 표수(오일러 공식)이다.

    입체도형의 오일러 표수

     구와 연결상태가 같은 다면체의 꼭짓점의 개수를 V, 모서리의 개수를 E, 면의 개수를 F라고 하면 V-E+F = 2 이다.

투시화법을 이용하여 오일러 표수를 증명하자

그럼, 정말로 구와 연결상태가 동일한 모든 다면체는 항상 V-E+F=2가 성립할까? 어떻게 이러한 사실을 확신할 수 있을까? 인터넷을 검색하면 오일러 표수 값이 2라는 것을 찾을 수는 있지만, 왜 2인지에 대해서는 쉽게 이해하기 어려운 것 같다. 이는 투시화법에 착안하면 다음과 같이 이해할 수 있다.

1단계) 모든 다면체는 삼각형 모양의 면만을 가지는 새로운 다면체로 변형시킬 수 있고, 이 때 V-E+F의 값은 불변한다.
예를 들어, 육면체가 주어져 있다고 하자. 이 육면체의 한 면에 사각뿔을 붙여보자. 그러면 사각형의 한 면은 없어지지만 4개의 삼각형 면이 생성된다. 즉, 새로운 다면체로 변형된 것이다.

육면체의 한 면을 변형하여도 V-E+F의 값은 불변한다.

이때, V-E+F의 값을 살펴보자. V는 1개 증가, E는 4개 증가, F는 3개 증가하게 된다. 즉, V-E+F의 값에는 차이가 없고, 여전히 V-E+F=2가 성립한다. 위와 같은 방법을 삼각형이 아닌 다른 모든 면에 적용하게 되면, V-E+F의 값은 변하지 않으면서 주어진 다면체를 삼각형 모양의 면만을 가지는 새로운 다면체로 변형시킬 수 있다.

2단계) 다면체의 한 면을 유리로 된 캔버스라고 가정하고, 다면체 외부에서 이 면에 투시된 다면체의 내부 그림을 그린다.
예를 들어, 정사면체, 정팔면체, 정이십면체 각각의 한 면에 투시된 이들 다면체 내부의 그림은 아래 그림과 같다.

정사면체, 정팔면체, 정이십면체의 한면에 투시된 다면체 내부의 그림.
정다각형의 한 면에 눈을 아주 가까이 대고 다른 면과 꼭짓점이 어떨게 보일지 생각하면 아래 그림이 나오는 이유를 알 수 있다.

3단계) 삼각형 면만을 가진 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수를 각각 V, E, F라고 하면, 다면체의 한 개의 면에 투사된 다면체의 내부 모양을 그린 도형의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수는 각각 V, E, F-1이 된다.

왜냐하면, 삼각형의 한 면에 다면체의 꼭짓점, 모서리는 모두 투사되어 들어오기 때문에 꼭짓점, 모서리의 개수는 변함이 없지만, 화가의 캔버스에 해당하는 면 한 개는 사라지기 때문이다.

4단계) 다면체의 한 삼각형 면에 투사된 F-1 (개) 삼각형에 대한 내각의 총합을 두 가지 방법으로 구한다.
첫째, 삼각형의 개수를 이용하는 방법이다. 삼각형 한 개의 내각의 합은 180°(혹은 π라디안)이므로, 삼각형 F-1(개)의 내각의 총합은 180⨉(F-1)이 된다.

둘째, 큰 삼각형 내부에 존재하는 꼭짓점 V-3 (개)를 이용하는 방법이다. 먼저, 예를 들어 살펴보자. 아래 그림에서 세 삼각형의 내각의 총합을 구해보자.

큰 삼각형 내부에 한 점이 있는데, 이 점은 360°의 각을 가진다. 또한 큰 삼각형 내각의 합이 180°이므로, 세 삼각형의 내각의 총합은 540°가 된다. 이제 이러한 사실을 일반화시켜 보자. 한 면에 투사된 F-1(개)삼각형의 내각의 총합은 삼각형의 내부에 존재하는 꼭짓점 V-3(개)가 만드는 각과 캔버스에 해당하는 큰 삼각형의 내각을 합한 것과 같다. 즉, 각 꼭짓점이 만드는 각은 360°이고, 큰 삼각형의 내각의 합은 180°이므로, 내각의 총합은 180°+360⨉(V-3)이 된다.

5단계) 앞 단계에서 얻은 두 각의 크기가 같다는 사실로부터 오일러 표수가 증명된다.
앞 단계로부터 180⨉(F-1)=180+360⨉(V-3)이 성립해야 한다. 이를 계산하면, 다음과 같다.

F - 1 = 1 + 2V - 6
F - 2V + 4 = 0

이제, 캔버스 위에 그려진 도형에서 E와 F사이의 관계를 구해 보자. 이 관계를 구하기 위해 모서리의 개수를 이용해 보자. 먼저, 면의 개수를 이용하면, 모든 면이 삼각형이므로 한 개의 삼각형은 3개의 모서리를 가진다. 따라서 모서리의 개수로 3⨉(F-1)을 얻을 수 있다. 그런데 이것은 캔버스 역할을 하는 큰 삼각형 세 모서리를 제외하면 모서리가 중복되어 있다. 따라서 모서리의 개수는 2E-3과 같다. 즉, 다음이 성립한다.

2E - 3 = 3 ⨉ (F - 1)
3F = 2E

이상을 정리하여 보자. 앞에서 얻은 식 F-2V+4=0을 변형하면 다음과 같다.

F - 2V + 4 = 0
3F - 2F - 2V + 4 = 0

또한, 이 식에 3F=2E를 대입하면 오일러 표수가 증명된다.

2E - 2F - 2V + 4 = 0
V - E + F = 2

미술의 캔버스도 수학에 적용할 수 있다

투시화법은 미술에서 가장 보편적으로 사용되는 방법이다. 하지만 이 투시화법의 기원은 수학에 있었고, 현재 사영기하학이라는 이름으로 발전되었다. 오늘 우리는 미술에서 널리 알려져 있는 이러한 투시화법을 수학적 아이디어와 결합시켜 보았고, 이를 통해 구와 연결상태가 동일한 다면체에서 V-E+F=2임을 증명하는 특별한 방법을 살펴보았다. 즉, 수학적 아이디어가 미술에 활용되어 투시화법으로 그림을 그리듯이, 미술의 캔버스도 수학에 적용할 수 있는 것이다.

글 서보억 / 대구가톨릭대학교 수학교육과 교수