연결 관련 질문

[eejjs]

서로소인 연결 ,열린집합이 존재해서 그 합집합이 전체일 때, 각각은 전체의 성분인데 (정리 8.7)
x의 한 점 집합이 x의 성분일 때, 한 점 집합이 연결집합이 됨은 자명하지만 한 점 집합이 열린집합이 아닌 경우에는 위의 정리에 적용이 안되지 않나요?
그 예로 유제 8-15의 경우 (1),(2),(3) 모두 한 점 집합이 성분이 되는데,
(3)은 한점 집합이 X∩(1/n+1,1/n-1)=1/n 이므로 열린, 연결집합이므로 위의 정리에 적용이 가능한데
(1),(2)는 구간과 Q,(R-Q)의 교집합이 유리수, 무리수 한점 집합이 안되지 않나요?

[수정과]

해당 정리는 약간 수정되어야 합니다. 24대비 위상수학 16강 00:44:40 ~ 의 판서내용을 참고해주세요.
판서된 정리를 살펴보면 해당 정리는 필요충분조건이 아닙니다. 즉 역은 성립한다고 할 수 없습니다. 또한 (3)의 한 점 집합이 정리에 적용가능하다고 하셨는데 한 점 집합 {0}는 X-열린집합이 아닙니다.