[수학경험론] - 수학엔 왕도가 있다..!!

[오세요]

제가 이글을 쓰는 이유는 예전에 수학을 공부하고 느끼고 깨달으면서,
'아!! 이런부분은 누군가가 내게 귓띔해줬으면 좀더 일직 수학을 깨우쳤을 텐데..' 라는 생각
이 너무 마니들고, 중간에 수학에 지쳐 포기하시는 분들을 볼때마다 안타까워서 입니다

저두 한창 수학 공부할때 나름대로 엄청 고민을 마니 했습니다.
해도해도 어려운 수학...언제나 자신없는 수학...
많은 시행착오와 고생, 좌절을 겪으면서 쌓아온 고등학교 수학에 대한 저의
노우하우 와 비결 , 공부법 등을 제 문장력 이 허락하는 대로
최대한 제 머리속 생각을 그대로 전달 하고자 합니다.

[학습동에 많이 들어오는 질문들 - 생각을 바꾸세요]
그런 질문을 볼때마다 참으로 안타깝고 답답한게 있습니다.
질문의 대부분이 이런 질문 이더군요
'어떤 문제집이 좋을까' '그 문제집을 몇번을 보면 될까'
다들 그렇더군요...정석이 좋더라...개념원리가 좋더라....
@#$%&* 문제집이 좋더라 등등
모를 3번 보고 모를 몇번 본후 모를 또 몇번봐라.....
거의 대부분의 수험생이 초점이 다
'''어떤 문제집이 좋으냐''' '''문제집을 몇번 보면 되느냐'''
이 두가지에 초점이 맞추어 져 있더군요.

가장 중요한건 위의 두가지 사항이 아닙니다.

수학공부를 어떻게 해야 할까??

이게 가장 중요한것 입니다!!!!!!!
어떤문제집이 날 키워줄 까 생각 하지 마시고,
어떠한 방법의 수학 학습법이 나를 키워 줄까를 생각해 보세요.
이것이 먼저 우선해야할 고민입니다.
그런 연후에 어떤 문제집을 볼까 몇번정도를 볼까 고민해 보세요.

사실 전 맨처음엔 정석을 보며 기초를 다졌는데 꼭 정석이 최고다 라고 권하지 않습니다.
물론 정석이 않좋단 얘긴 아닙니다. 정석... 정말 좋은 책이죠.
허나 요즘 시중에 나가면, 예전과 달리 정말 잘만들어 놓은 책들 엄청 많더군요.
꼭 정석이 아니더라도, 정석을 보지않더라도 수학 잘할수있습니다.
주요한것은 개념원리를 보시든,정석을 보시든, 수학거미를 보시든,신사고 를 보시든,
디딤돌,블랙박스,...등등..@#$%&*..

그 어떤 교재를 를 보시든간에!!!!
올바른 수학 공부법!! 효율적인 수학 공부법 을 터득해 나간다면,
수학에 만점의 기쁨을 느낄수있다는 것입니다.
올바른 수학공부법을 익히고 문제집 한번 본것이
무작정 3~4번 문제집 풀어본 학생보다 훨씬 낫다고 할수있습니다.
그렇다면 올바른 수학 학습법 + 많은 반복 까지 겪들인 다면 그야말로 금상첨화겠지요?
노파심에 같은 말 계속 반복 합니다.

당장 고민을 바꾸세요!!!!!!!!!
어떤 문제집을 풀까 보다는~~~
어떻게 하는 것이 올바른 수학 공부법 일까??? 로 말이죠!!
여러분을 칼을 다루는 검사 라고 생각해 보세요.
문제집을 검이라고 생각하시구요.
그렇다면 무턱 대고 명검(좋은 문제집)을 찾는 것보단
자기자신의 검법 실력(좋은 수학 공부법)을 더 키우는게 중요하겠지요.
아무리 하찮은 검이라도(그냥그런 문제집) 강한검사(좋은 공부법을 터득한 사람) 이
사용하면 무서운 위력을 발휘할테고(좋은 결실을 맺을테고)
아무리 좋은 명검이라도(좋은 문제집)이라도 하찮은 띨띨이 검사(수학 공부법이 틀린사람)
이 사용하면 띨띨한 위력이 발휘 될테고(별로그다지 얻는게 없을테고) 그럴껍니다.

그러므로 먼저 명검찾기(좋은문제집 찾기)보단
스스로의 검법 수양(좋은 수학 학습법 터득)이 먼저 되야겠습니다.
만약 엄청난 검법터득(아주조은 수학 학습법 터득)+천하명검(조은 문제집) 이라면
그야말로 최강 이겠죠..

허나 요즘엔 좋은 명검이 많으니(좋은 참고서가 많으니)
어지간한 경우엔 그어떤 검을 써도 괜찮을 것 같습니다.
(왠만한 요즘 참고서는 다 괜찮은것 같습니다)
그럼 여기서 말한 내용을 전제로 하고
이제 본격적으로 수학 공부법에 대하여 알아 볼까요???


[수학은 정말 타고나야만 만점을 받을수 있나?]

절대 아닙니다. 고등학교 수학과정은 수학이란 학문의
극히 일부에 지나지 않습니다. 수능 에 출제되는 문제들은
천재성을 확인하는 수준의 문제가 아닙니다.
따라서 누구나 열심히 한다면 그 만점의 쾌감에 도달할수있습니다.
그렇다면 수학에 유달리 뛰어난 학생이 있지않은가??
그렇습니다. 허나, 수능수학은 말한대로 천부적인 자질이 있어야만
풀수있는 문제는 아니기 때문에 누구든지,
좀더 많은 노력으로 그 차이를 극복할수 있습니다.

[쟤 는 수능스타일의 사고력 중시 문제만 나오면 잘푼단말야!?]

이런 학생들이 있습니다. 예전의 학력고사 체제 문제와는 달리
센스를 필요로 하는 문제가 있습니다.
무슨 아이큐 테스트 문제 비슷한 문제들이죠.
또한 그런 문제들중,공식을 몰라도 풀수있는 문제가 있어서,
수학을 반에서 꽤 한다는 애도 틀렸는데, 평소에 공부를 무지 못한 애가
그 문제를 맞추는 경우가 있습니다.
이런경우는 이렇습니다.
공부를 무지못하는애는 수학공부를 않하기 때문에 공식을 알아야만...
또한 어떠한 정의를 알아야만 풀수있는 문제는 틀립니다.
허나, 아이큐 테스트식 문제(?)는 풀었습니다.

바로 사고력이 뛰어난 학생이기 때문입니다.
실제 수능에선 그런 사고력을 측정하는 문제가 등장 합니다.
이건 유형문제도 아니고 공식암기해서 푸는 문제도 아니고
따라서 수학을 좀 공부한 사람이라면 이런문제들을 기피하는 경우가 있습니다.
왜냐면 수학공부를 하나 않하나 그문제에 관한한은 대비가 없기 때문입니다.
아까말한대로 공부는 않했지만, 소위 말하는 공부는 않하지만
머리가 똑똑한(?) 학생들이 푸는데 자신은 못푸는 경우가 발생해서 화가 나기때문이죠.
그런데 말이죠 저는 이렇게 생각합니다.
아이큐란것도 결국 인간이 만든 추상적 개념에 불과합니다.
수치를 줘서 높음과 낮음을 구분하게 만든...
사고력이 좋은 학생들은 분명히 어릴적부터 그런것이 키워져 온것입니다.

즉 선천적으로 타고난 것이 아니라,
태어난후 유아시절에 만들어지는 것이죠.
그래서 조기교육조기교육 하는것이구요.
어릴적부터 퍼즐이나, 조립식 장난감등을 만들면서 자란애들은
그렇지 않은 애들보다 공간도형에 관한 인식이나
수식에 대한 감각이 탁월할수벆에 없습니다.

결국 주위에서 보는 똑똑하다 선척적으로 타고났다 란 것도,학습에 의해
생긴 후천적 결과 라는 것이죠.

오ㅐ 이말을길게 하느냐고요???
후천적인 학습의 중요성을 말하는겁니다.
그러니까 여러분들도 쟤는 천잰가바 하는 생각 버리십시오.
그 학생들도 다 유아기든 그이후든 간에 후천적으로
님들 보다 몬가 그 부분에관하여 경험이 있기때문인겁니다.
[수학에는 왕도가 없다???  과연???]

NONONONO 수학에는 왕도가 있다!!!!! 왕도는 있다!!!!

제가 이말씀을 드리는 것은 수학엔 정말 왕도가 없다란 말을
반대해서 그런게 아닙니다. 수학에 왕도가 없다고 말한것은, '첫 술 부터 배부르랴'
라는 울나라 속담과 같은 말로 꾸준한 노력의 강조를 위해 쓴말입니다.
그러니 그말엔 저두 찬성이죠..^^
제가 왕도가 있다고 말한거는 꾸준한 노력없이도 된다는 뜻이 아니구요
물론 꾸준한 노력은 필수고, 같은 시간을 공부 해도
보다 훨씬 많은 수확을 얻을수있는 효율적인 공부를 하라는 겁니다.

그렇습니다. 올바른 학습법을 익히신 분들에겐
' 수학엔 왕도가 있다!!!!' 가 맞는 겁니다.

즉 수학 공부법의 중요성을 강조한 말이죠.....
시간은 기다리지 않습니다. 따라서 여러분들은
적은 시간을 가지고 효율을 극대화 할 방법을 끊임없이 모색하여야 합니다.

즉 수학의 왕도를 찾으십시오!!!!


일단 각설하고...본격적으로 공부법에 대해 말씀드리겠습니다.

1. 수학공부의 첫번째 단계 - 공식, 정의, 개념 이!해!

가장 기초적이면서 가장 중요하다고 할수있는부분입니다.
하지만 여러 공부법을 보면서 알고는 있어도 직접느껴보지 못한
대부분의 학생들은 이것이 얼마나 중요한지 간과 하고 넘어갑니다.
우리가 한국사람과 의사소통을 하려면 한국어를 알고 있어야 하겠지요?
그렇다면 여기서 한국어는 바로 수학기호 이고 의사소통은 수학의 이해가 되는겁니다.

즉 수학을 올바르게 이해하려면 수학공식, 기호들을 알고있어야
수학을 할수있는 기본조건이 준비되는거지요
그리고 한국어를 할주안다고 해도 단어뜻에 대해 제대로 이해하고
있지못하다면 어려운말로 하면 못알아들을겁니다.
그것이 바로 수학의 개념이해 에 해당되겠지요.

즉, 수학에대한 개념이해가 제대로 되지않은 상태서는 쉬운문제(쉬운말)는
쉽게 풀지만(쉽게 이해하지만) 어려운문제(어려운말) 은 풀지못합니다(이해하지못합니다)
따라서 단순히 정의나 공식등을 외우고 넘어갈것이 아니라
그 공식이나 정의가 의미하는것..또는 나타나는것에 대한
그 개념에 대한 깊은 이해가 되어있어야만 비로소 수학적인 기초를
갖추었다고 할수있을것입니다.

[그렇다면 어떤식으로 기초를 다질것인가????]
● 공식같은 것을 외울때 단순히 외우고만 넘어가지말고 그 공식을 유도하여 본다.

● 어떤것을 정의할때 그정의 가 나타내고자하는 바를 깊이 생각해본다

● 공식이나 정리 같은것을 외우고만 넘지말고 증명해본다.
    예) 사인 3배각공식의 유도,근의공식의 유도, 삼수선의 정리 증명,
       도형에 관한 여러성질 증명

공식을 외울때 복잡한 공식같은 것은 잘외워 지지도 않을뿐더러
외워도 금방 까먹는다. 허나 유도를 해보면 잘 잊어먹지도 않을뿐만 아니라
유도하는 과정을 통해 다시 공식을 떠올릴수있다.
또한 유도를 해봄으로써 수학적인 사고를 넓힐수있다.

수학은 논리다. 또한 연역적인 학문이다.
따라서 증명이란것을 함으로써 더욱 수학이란 학문에서
요구되는 논리적인 두뇌 훈련에 부응 할수있다.

전체적인 공부방법 은 일단 정의,공식,정리,개념숙지에 중점을 두고 진도를 나간다.
사람이라면 분명히 그중 절반은 까먹은 부분이있을것이다.
까먹지 않았더라도, 이해가 잘안된부분은 좀 꺼림칙 하게 넘어간곳도 있고, 그럴것이다.

그담엔 반복 학습이다.
반복학습이란것 은 모든 공부를 함에 있어서 엄청 효율적이고 좋은것이다.
반복학습을 하게 되면 잊었던 부분을 다시 보충할수있으며
처음 볼땐 잘이해가 안되던것이 반복해서 다시 보게될때
그 사이 자신이 문제도 풀고 사고력도 넓히고 하면서 이해가 될때가 있다.
처음볼땐 무슨 암호같던게

다시볼때" 아!!! 이소리구낫!!" 하면서 탁~~깨달을때가 있다~~
으흐흐 얼마나 신나겠는가^^
그런 반복을 계속 하다 보면 나중엔 공수(요즘은 가,나) 수1 수2 이 세과정이
하루에 요약이 가능해질정도가 된다.
이정도되면, 기초는 어느정도 잡혔다고 할수있을것이다.

허나 사실상, 처음 수학 공부를 하면서 부터 이렇게 올바르고
효율적으로 공부할수있는 사람은 없다고 본다.
내 경우도 그랬다. 미비하게 기초를 닦구나서 무조건 어려운 문제만 풀고 그랬다.
그러다가 기초의 중요성을 실감하구선 다시 수학교과서를 몇번이고 반복해서
보곤 했던 기억이 난다.

결국 시행착오란것을 겪은 것이다.
그러므로 내가 이런것을 말해줌으로써 여러분들은
그 시행착오의 시간을 줄이라는 것이다.
그것이 내가 말한 수학에 왕도가 있다는 말뜻이다!!!!!

내가 시행착오를 겪느라 1년에 배울거를
시행착오를 겪은 내가 여러분들에게 조언함으로써
여러분들은 그런 시행착오를 최소하하여 6개월로 줄이라는 것이다.

그렇다면 수학의 왕도는 열리는 것이다!!!!
(그렇다고 수가나, 수1, 수2 를 6개월에 다띠란소리는 아님 ㅡㅡ;;)

[자아~ 기초가 어느정도 잡혔다면 이제 많은 응용문제를 풀어보자!!!]

여기서 주의 하실것은 기초가 어느정도 잡혔다고 보고
교과서 보는것을 게을리 하시거나 반복하시던 개념잡기를 손 놓아서는 안된다는 겁니다.
그 반복학습은 수능이 끝나는 그날까지 계속 끊임없이 반복 되어야 하죠.

문제를 푸는데 있어 다각적인 사고가 필요합니다.
수학을 푸는 데 답은 하나지만 길은 여러가지 인경우가 대부분입니다.
그럴땐 여러가지로 생각해보는 것이 좋습니다.
예를 들어 어떤 도형이 주어지고 거기서 어느부분각의 코사인 값의
최대값을 구한다고 해보자

그렇다면
1.그도형을 평면 좌표의 적당한 부분에 위치시켜 문제를 풀수도 있는 것이고
2.벡터와 벡터의 내적을 이용하여 풀수도 있으며
3.절대부등식을 이용한 풀이도 생각해 볼 수 있고
4.함수꼴로 바꿔서 풀어볼수도 있고
5.기하학에서 여러가지 도형의 성질을 이용하여 풀 수 도있다.

이렇듯 한가지 문제에 대하여 다른 여러가지 풀이방법을 생각해보는것은
수학실력 배양에 아주 좋은 태도가 될것이다.

[출제자의 의도를 파악하라!!!! ]

문제가 나왔다는것은 출제자가 있다는것이고 그 출제자는
어떠어떠한 개념 조건 공식을 이용해서 풀라고 그문제를 냈을 것이다.
따라서 답을 보면 그 출제자의 의도를 담은 답의 풀이과정이 있을것이다.
문제를 보고 어떤 공식과 어떤 개념을 도입해 풀어야겠다는
생각을 가지는 것은 아주 중요하다.

이것이 곧,
그 문제를 푸는 출발지이며, 키 포인트인 것이다.

예를 들어 보자 문제 부분에 실수... 라는 말이 나왔다면,
출제자는 이 말을 왜썼는지 의심해보아야 한다.
분명히 실수란 말을쓴것이 문제를 푸는데 키워드가 될것이란것을
생각하고는 실수 의 제곱 >= 0 란 성질이나 복소수의 상등(요즘은 교과과정에서
제외되었지만)이라든지, 이차방정식에서 계수가 실수이면 두근은 켤레근 이다.
등 무수히 많은 실수와 관련된 내용의 입력정보가 튀어나와야 한다.
그리고 그중에서 그 문제와 가장 잘어울리는 한가지를 찾으면
그것이 바로 그 문제를 푸는 키 포인트가 되는것이다.

[답을 보지마라!?? NONONONO]

답을 보는것도 보는사람의 태도 나름~~~+@+@+@+@
보통 수학을 잘할라면 답을 보지말라는 말들을 많이 한다.

왜냐면 혼자 끙끙앓으면서 고민하고 생각한후 풀어야
자기것이 되고 더 머리속에남는것이지... 좀 풀다가 안되면 답보고
그런태도는 절대 그문제를 자기것으로 할수없다는것이다.

맞는말이다. 하지만 분명히, 그것을 사람들이 답을 어떻게
활용하느냐 에 따라 다르다.
잘 모르는 문제를 만날경우 물론 처음에는 풀려고 시도를 해봐야 한다.
그래도 안되면 생각을 해본다.

1. 좀만 더 보면 풀수도있을것같다.
2. 전혀 감이 안잡힌다.

1의 경우는 게속 답을 보지말고 뒀다가 나중에 다시풀어 보는것이 좋다.
나중에 다시풀게 되면 그때는 생각안나던 획기적인 방법이
떠 올라 신기하게 그 문제를 풀어버리는 경우가 종종 있다.

2. 경우는 물론 끝까지 안볼수도 있지만 시간은 계속 흐르고
그 문제하나로 며칠을 낑낑댄다면 시간적 효율상, 않좋을수있다.
이럴땐 답을 본다.
답을 보더라도 그냥 그렇게 해서 답이 되는 구나 하고
넘어가지 말고 반드시 왜 이렇게 풀었는지 숙지해야한다.
그리고 답을 보지앟고 풀었을때
생기는 이득 바로,
“다음엔 이런스타일 문젠 반드시 푼다.“ 는 장점을 취할수있을정도로
빠삭하게 본다.
그렇다면 오랜시간 소모하여 문제를 풀었을때
생기는 이점의 이득도 답을 봄으로써 시간도 줄이고, 답 안보고 풀었을때
챙기는 이점 까지 같이 챙길수 있는것이다.

이것이 바로 답을 보더라도 슬기롭게 답 보기를 활용하는 것이다.
답을 보되 꼭 지킬것이있다.
답의 풀이말고 다른 자신만의 풀이법을 하나 발견하여
다른 방법으로 풀어보는것이다.
그리고 답을 볼때 주의할것이 있다 바로 논리의 인과성을
확실히 따지고 넘어가는 것이다.

그렇담 내가 말하려는 논리의 인과성은 모????


[논리의 인과성!!!!!!!  그것을 주시하라 !!!!!!!!!!!]

보통 쉬운 문제는 이런것들을 가리킨다.

1.기계적 암기로 풀리는 단순 막노동 계산 문제
(사고력이 개입하지않고 단순 공식대입으로 쉽게 풀린다)

2.기계적인 암기는 아니지만 유형화 되어 풀이법 자체가 몸에 익은 문제
  예)무한히 반복 하는 어떤 무언가에서 점화식을 찾고
     그점화식에 일반항을 구하여 극한 무한대로 보내주는거
     자취의 방정식은 그자취를 (x,y)로 놓고 조건에 만족하는
      y와 x 의 사이의 관게식을 도출해내는것

1번 같은 스타일문제는 공식을 모르지 않는한 반드시 풀수있는 대부분이
맞출수있는 문제이고

2번같은 문제는 기초가 어느정도 잡혀있고 유형문제정도는 꽤 알고있는
사람이라면 어렵지 않게 풀수있는 문제다


그렇담 어려운 문제란 어떤것을 가리키나??

문제를 봤을때 그문제가 말하는것이 무엇인지 다 이해는 가는거 같은데,
문제를 처음에 시작할때 어떠어떠한 성질이나 공식을 어떤식으로 적용할까를
떠올리지 못하는 문제 (즉 이해는 가나,어떻게 시작할지 손을 못대는 문제)

이런문제는 문제를 읽고나면 처음에 식을 어떻게 세워야 할지,
또는 어떠어떠한 개념을 어떤방식으로 사용할지, 감을못잡는 경우가 많다.
새로운 유형문제도 이런 문제중 하나이다.
전에 접해본적이 없기 때문에 어떤식으로 처음에 접근을 해야하는지 막막한것이다.

더욱 과관인 경우도있다.
그런문제의 답을 봤을때 그 답을 보구서 자신이 이런생각이 드는 때이다.

"이런식으로 풀어야 한다는 것을 내가 문제를 봤을때 과연 떠올릴수있나?
나는 못풀꺼야!! "'

하고 생각이들때이다.

정말 문제도 문제지만
답 조차 사람 절망하게 만든다...
답 도 사람 머리 돌아가게 하니... 그럼 정말 절망에 빠진다.
'난 이런 문제는 절대 못 풀어....' 하면서

그럼 이런문제는 어떻게 해야 풀수있는것일까.?????

해결책은 바로 [논리의 인과성]이다.
첨엔 잘안보일지 몰라도 분명히 답에서 그문제를 풀어논것은
그문제에 어떤어떤 조건이 있기때문에 그 조건에 의해
이러이러한 개념또는 식을 이용한것이다

즉 인과 관계가 성립한다는 것이다.
문제의 a라는 조건 ----------------> b 라는 개념 or 식 사용!!
이런 인과 관계가 생긴다는것이다.
아무리 어려운 문제라도 이것은 항상 성립한다.
그렇다면 답을 볼때 '으앙 난 못해 ' 하고 침이나 빨지말고
이러한 인과를 찾아내어 머리속에 입력해야한다.
'아!! 문제에서 a라는 조건이 있을때는 b라는 것을 사용하여 이러이러케
써야하는구나' 라는 것이 머리속에 입력이 되면 당신은 그문제에서 하나 얻어가는것이다.
그럴때 당신이 효율적인 공부를 한 것이다..!!
그문제에서 뭔가를 얻어 간것이다.
솔직히 유형문제도 그렇다.
쉬운유형문제도 사실은 첨엔 푼다면 무지하게 어려운 문제일수도 있는것들이있다.
그것은 그런 인과관계가 머리속에 아직 없기때문이다.
하지만 몇 번풀고 나면 자기도 모르게 무의식적으로 그런 데이타가
입력되는것이다. '요런스타일 문제는 이렇게 푼다..라고'
결국 유형문제도 자기가 알게모르게 머리속에서 인과관계를 인지하고 있는것이다.
다만 유형문제라 너무자주 나오니까 자연스레 그것이 떠올라 쉽게 풀리는것뿐이다.

결국 그런 어렵다 싶은, 선뜻 해결책이 잘떠오르지않는 문제들은
끊임없는 노력과 수많은 고난이도 문제를 풀어봄으로써 여러가지 상황에 대한 대비책이

즉,  A 라는 상황에 대한 처리방법 B

라는 것을 많이 경험하고 입력해둔 사람이 수학의 실력이 올라가게 되는것이다.

정리해보면
어느문제든 놀리의 인과성은 있다.
쉬운 문제일수록 그것이 잘보이는 것이고,
어려운 문제일수록 그것이 꼭꼭 숨어있는것이다.

잘보이는 경우는 문제 자체가 풀이과정을 떠올리기 쉬운 경우거나
아니면 유형화 되어 풀이법 자체가 몸에 익은 경우이다.

결국 어떤 문제든 그 실마리는 있는 법이므로
위에 말한 논리적 인과성을 항상 염두에 두고 공부해나간다면,
그리고 수많은 경우에 대한 해결책
[ A일땐  ------>  B로 ] 이런 데이터를 많이 저장한 사람이
결국 고난이도라 불리우는 문제를 풀게 되는 것이다.

그리고 점수는 점점 만점 을 향하여... 가게 되는 것이다....^^


[만점을 향해 도전한다 - 발상과 수학적 처리 능력]

이제 기초개념도 꽤 단단해졌고 유형문제도 잘풀고 어렵다 하는
고난이도 문제도 꽤 잘처리하지만 정말 이런문제는 인과성이고 모고
전에 풀어본적도 없고 문제의 지문 자체가 이해가 안가는 문제들이 있다.
어떻게 손을 댈지 깜깜한 그런문제들,
이런문제가 어려운 이유는 도무지 처음부터 감이 안잡히는거다.
이런문제를 만나면 두가지 경우를 경험한다.

1.우연하게 기발한 풀이법이 떠올라 그문제를 푼다.
2. 끝까지 욕만해대다가 결국 시간만 잡아먹고 못푼다.

2번의 경우가 대부분 일테고 1번의 경우도 그리좋은건 아니다.
왜냐면 ..우연으로 기발한 생각이 떠올랐다면 매번 그런 문제가 나올때마다
기발한 생각이 떠올라 주길바란 다는건 너무 도박성이 짙기 때문이다.

그렇다면 이런문제는 어떻게 대비해야할것인가?

결국 그런 발상이 우연이 아닌 필연으로 떠올라 줘야 한다는 소린데,
그 필연은 위에 말한 그런 하나의 문제해결방법
즉, 인과성 지어 입력하기의 보유량, 말이 점점 꼬이는데...ㅡㅡ;;

다시 말하면 얼마나 많은 상황에 대해 해결책을 자신 나름대로
가지고 있느냐에 따라서 그런 탁!! 하는 순간의 기발한 발상이 떠오른다.

하나의 문제에 대해서 여러가지 다각적인 풀이방법을 시도해보라는것도
이런 이유에서이다.

4가지의 방법이 있다면 4가지중 2개를 합성하여 또다른 새방법 6개를
착안해 낼수있다. 이게 바로 발상을 일으키는 원동력인것이다.
결국 여러가지 상황에 대한 대처법이 많을수록 응용력이 높아진다는 것이다.

여태까지 했던 말을 짧게 정리해보면 이렇다.

1.기본개념,정의,공식 들을 반드시 숙지하고 반복하여
  그 이해의 깊음을 더욱더 깊이 하여라
2. 유형문제는 반복된 연습으로 자기것으로 만들수있다.

3. 한가지 문제를 여러가지 풀이법으로 생각해보아라.

4. 반드시 문제와 그 풀이의 인과성을 연관지어 머리속에 입력하여라

5. 발상의 어려움을 느기게 하는 초 고난이도 문제는 결국 위의 과정을
   되풀이하고 더욱더 수학적 사고력이 넓어짐으로써
   (여러상황에 대한 해결책이 머리에 입력되어있으므로써) 해결할수있다.


[마지막......수학이라는 전체적인 학문의 성격을 느껴라]

여러분은 처음에 집합을 배운다.
첨엔 집합을 왜배우는지, 이것이 다항식 ,함수,극한 ,벡터,미적분
확률,통계등과 등과 무슨 연관이 있는지 의아했다.
결론부터 말하면 집합이란 단원은 수학이란 학문의 특성을
아주 잘나타내 주고 있고 수학을 공부하면서 수학문제를 풀면서 사고하는
우리의 두뇌의 흐름을 잘 표현해준다.
조건의 진리집합이 바로 논리를 집합과 연결지어주는 어떻게 말하면 같은건데
표현을 그런식으로 달리하여 집합은 곧 논리다, 그리고 수학의적 사고의 체계이다.
라는 것을 보여준다.

이말이 지금 은 안 닿을 지 모른다.
수학공부를 하다보면 나중에 언젠가 느낄것이다.
집합을 왜 배우는지, 문제를 해결할때 나타나는 그 논리적인 특성을
표현해주는 집합.. 집합이 왜 중요한지 이게 수학이란 학문의 특성과
무슨 연관이 있는지 느낌이 올때 여러분의 수학적 소양은 이미 엄청 올라와 있을것이다.




아무튼 현재 나의 위치는 모든 감각이 가물가물해진 장수생(실제론 재수지만..-_-‘’)
이곳에 있는 모른 사람들이 나와 같은 생을 살아가는 사람들이고,
현재 나에겐 보이지 않는 선의의 도전적인 경쟁자이기도 하다.

하지만, 내가 꿈이 생기고 다시금 수능이란 시험을 준비하게 마음을 갖게 되면서..
힘들때마다 [도전]이란 말이 다시금 나 자신의 이빨을 깨물게 해주는듯하다..

인생은 꿈이 있기에 아름다워진다..그리고 도전이 있기에 아름다워 보이는 것이다.

인생 별거 없다..!?  nonono....인생은 별거 있다!!

별거있는 인생 계속 꿈을 쫓고, 힘들어하기도하고, 쳐지기도, 따라잡기도 하면서

더욱더 아름답게 다져졌으면 하는 바람이다...^^

[아름다운오후]

어린 나이에 이렇게 글을 잘쓰고 그러다니.. 약대를 가려고 하는 사람으로써.. 넘 글 잘읽었슴다.. 저도 저지만.. 님도 잘 되시길 바랍니다..

[곰돌이 푸우]

좋은 게시물이네요. 스크랩 해갈게요~^^

[natia]

좋은 글 감사드려요!~ 머릿속이 정리되는 느낌^^

[룰루랄라-]

좋은 게시물이네요. 스크랩 해갈게요~^^

[blueskyzz]

좋은 게시물이네요. 스크랩 해갈게요~^^

[보라초]

좋은 게시물이네요. 스크랩 해갈게요~^^

[wijdfg]

좋은 게시물이네요. 스크랩 해갈게요~^^

[euse]

좋은 게시물이네요. 스크랩 해갈게요~^^

[약대가는거다]

정말정말 많은 도움이 될 것이예요 정말 많이 감사하구요... 제가 수학 만점 맞으면 그건 님의 덕분일 거예요 님의 말을 되새기면서 열심히 하겠습니다