1.∫[-a,a]∫[-(a^2-x^2)^1/2, (a^2-x^2)^1/2] dydx를 극좌표변환으로 나타내고 계산하시오.
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2.∫[0,1]∫[0,(1-x^2)^1/2] e^-(x^2+y^2)dydx를 극좌표변환으로 나타내고 계산하시오.
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3. v가 아래로는 z=0, 위로는 x^2+y^2+z^2=4, 옆으로는 원기둥 x^2+y^2=1 을 경계로 하는 유한한 입체일때 이 입체의 부피를 구하는 식을 원기둥 좌표로 나타내시오. (적분순서가 dzdrdθ가 되게 하시오.)
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4. 3번의 입체의 부피를 구면 좌표계로서 dρdφdθ의 순서로 적분하는 식으로 나타내시오.
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적분의 범위는 표현하기 힘들어[]로(즉 1번은 인테그랄 -a에서 a까지라는 뜻입니다.)표현했고 ()^1/2는√(루트)입니다. 그래도 문제가 이해안가신거 있으시면 적어주세요..
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첫댓글 1.∫∫(area: x^2+y^2=a^2)dxdy=∫∫rdrdθ=∫[-a,a]∫[0,2pi]rdrdθ=0
답변 감사합니다.
∫∫rdrdθ=∫[0,a]∫[0,2pi]rdrdθ= pi a^2 (원의 면적인데, 0이나오면 안 되겠습니다.)
2. 단원원 1사분면에 대해 exp(r^2)적분. int(0,pi/2) int(0,1) exp(r^2) rdr dth = int(0,pi/2) [exp(1)/2 -exp(0)/2] dth = (e-1)pi/4
3. int(0,2pi) int(0,1) int(0,sqrt(4-r^2)) dz rdr dth
4번은 좀 복잡하네요. min{a,b} 함수(둘 중 크지 않은 것을 택하는 인위적인 함수)도 필요한 것 같은데...
4. int(0,2pi) int(0,pi/2) int(0,min{2,1/sin θ}) ρ dρρsin θ dφ dθ
답변 정말 감사합니다.
그런데 2번에서 exp(-r^2)의 적분이 아닌지 그래서 (1-e)pi/4인거 같은데요....
그렇네요. 그러나, (1-e)pi/4는 아닌듯.
그러면 (1-1/e)pi/4 아닌가요?
그리고 3번에서 dxdydz로 나타내면 어떻게 되죠?
사실 입체를 이해 못하겠거든요. z=0이 경계인데 어떻게 입체가 될수있는지 3번 그림의 입체 모양이 궁금합니다.
x^2+y^2=1 은 원기둥이고요. z=0이란 평면이 아랫면이 되고요. 위쪽은 약각 볼록하게, 구 x^2+y^2+z^2=4 의 일부가 되지요. 위쪽이 볼록한 원기둥이라고 하면 이해될런지요. 그리고 저도 (1-1/e)pi/4 나왔어요.
참 ,죄송합니다. 그리구 제때에 수정해주셔서 감사드립니다.