수학

[1225 이상원]

수학공부 잘하는법
조선일보 맛있는공부 에  영희엄마님의 글을 퍼온것입니다.
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10년 넘게 수학을 가르치며 느끼는것을 적어보고 싶다.
주로 초등학교 고학년, 중학생을  가르치고 있는데 다양한 경헙을 하게 된다.

"수학은 문제를 많이 풀면 되잖아요 ? "
"우리 아이는 수학때문에 평균을 3점 정도 까먹어요."
" 초등학교 3학년때 까지는 경시대회 상도 타고 했는데 수학성적이 자꾸 떨어져요."
각양각색의 말을 듣는다.

결론부터 말하고 싶다. 수학을 하는데도 독서능력은 절대적인 힘을 발휘한다고.....
물론 선천적으로 수학적인 재능이 있는 아이도 있다.
그러나 대부분은 다 평범하고,  얼마나 수학에 관심을 갖는가?  집중력이 있는가 ? 가 수학성적을 좌우한다.

수학문제를 설명할때 우리말의 의미를 깨닫지 못하는 아이가 의외로 많다. 국어가 부족하다는 뜻이다.
예를 들어보자.
초등학교 5학년에 최소공배수, 최대공약수를 구하는 단원이 있다.
활용문제를 보았을때 최소공배수를 구할지 최대공약수를 구할지 구분할 수 있는 학생은 극히 드물었다.

쉬운문제 하나를 예로 보겠다.
"어떤수로 10을 나누면 1이 남고 15를 나누면 나누어 떨어진다. 어떤수를 구하라."
그 어떤수가 나누어주는 수인지 나뉘어지는 수인지를 구분하지 못한다.
나눗셈을 생각해 보라고 하지만 어떤수가 나누기 안쪽으로 들어갈지 밖으로 나올지 잘 모른다.
(답 : 9와 15를 나누어 줄 수 있는 수를 구하는 것이다.  즉 최대공약수 3을 구하라는 문제이다.)
이 단원은 중학교 1학년에 다시 나온다. 중 1학생들도 여전히 마찬가지이다.

또 다른 예를 들어보자. 방정식의 예이다.
"올해 딸의 나이가 10살, 엄마는 35살이다. 몇년후면 엄마의 나이가 딸의 나이의 2배보다 10살이 많아지는가?"
식을 세워보면 35+X=2(10+X)+10 이 된다.
그런데 많은 아이들은 35X로 시작한후 더이상 식을 쓰지 못하고 나의 얼굴을 쳐다보기 일쑤다.

"너희 엄마 나이가 몇살이시니? " "40세요"
"그러면 2년후에 80세가 되시니?" 하면 웃고 만다.
35+X 는 40세 엄마가 2년후 42세가 된다는 말이고 35X는 2년후 40세 엄마가 80세가 된다는 뜻이다.
심할경우 고 2 학생의 경우에서도 겪었던 일이다.

속으로 답답하다. 경우에 따라서는 국어선생 역할도 병행해야 한다.
수학공부와 책읽기를 함께 돌보아 주어야 하는 학생도 있다.

아직 초등학생을 둔 초보엄마에게 권해본다.
수학공부 시키겠다고 수학책 잔뜩 사서 문제풀이 시키는 것보다는
함께  독서를 하며 사고력, 이해력을 키워주라고....
최소한 전과책을 놓고 국어 낱말뜻이라도 암기를 시켜보면 좋을것 같다.

모든공부의 기본은 독서에서 나온다고 생각한다.
수학문제를 무조건 많이 풀어서 잘 할 수 있는것이 아니라 풀이과정을 통해 이해력과 사고력을 키워 나갈때 발전 할 수 있는 것이다.

나는 수학을 전공하지는 않았다.
다만 학창시절 수학을 좋아했고 수학과목에 약간의 자신이 있었을 뿐이다.
결혼 후 나의 일을 찾다가 10여년 전부터 아이들에게 수학을 가르치게 되었고 지금은 나름대로의 경험을 쌓아가고 있다.

10년의 경험은 학생의 자질을 판단하는 육감을 발달시켜 놓은 것 같다.
그 육감을 기본으로 느낀대로 초보엄마들에게 작은 도움이라도 되고 싶어서 이 글을 쓰는 것이다.
절대적이 아니라 참고를 하시라는 의미이다.

"수학은 문제를 많이 풀면 되지 않아요?"
종종 이렇게 말하는 학생 엄마를 만난다.
그 기본적인 생각이 어디 있는지에 따라 다르겠지만 문제만 많이 풀어서는 수학 실력이 향상될 수가 없다.
나의 짧은 견해로 초중등수학은 1/3은 이해, 1/3은 암기, 1/3은 training 정도로 보고 싶다.

문제를 많이 푼다는 것은 training에 해당하는 부분이다.
가장 중요한 부분은 이해의 부분이며 그 이해를 돕기 위해 독서도 필요하고 주위의 관심이 필요한 것이다.
얼마전 수학문제를 1000문제 푸는 것보다 300문제를  반복해서 풀리는 것이 도움이 된다는 글과 같은 문제집을 두권 사서 풀리고 틀린 문제를 발췌해서 다시 풀렸더니 경시대회에서 1등을 했다는 글이 올라온 것을 보았다. 나도 종종 이런 식의 수업을 한다. 이 방법은 나의 경험에서 보면 학생에게 실수의 양을 줄여주는 효과가 있고 수학문제에 친근감과 자신감을 느끼게 해주는 듯 했다.

하지만 이런 방법은 느려질 수 뿐이 없는 학습속도에 대한 엄마의 인내심이 필요하다. 선행학습이 힘드니까 조급한 마음은 절대금물이다. 그러나 급할수록 돌아가라는 속담도 있고 급히 먹을 수록 체할 수 밖에 없다.
천천히 가는 것이 결코 느리지 않다는 경험을 나는 소중한 우리 두 아들을 통해서 겪었다.

두번째 풀거나 틀린 문제를 다시 풀릴 때는 가급적 설명을 줄이고 풀어나가는 과정을 옆에서 엄마가 집중해서 지켜보는 것이 효과적일 것이다. 학생이 확실히 이해를 하고 풀고 있는지에 대한 확인이 필요하다.

다음은 1/3의 암기 부분이다.
요즘 아이들의 암기력은 옛날보다 떨어지는 듯 하다. 암기의 필요성을 옛날에 비해 덜 느끼기 때문일 것이다. 몇년전에 조선일보에서 이 문제에 대해 다룬 기사가 있었다.
간단한 수학공식도 외우기가 힘들다. 철저한 암기를 꼭!!  시켜야 하겠다.
이 두가지의 과정을 거친 후에 문제를 다루어야 수학에 대한 흥미를 가질 수 있을 것 같다.

수학공부에 대하여 글을 쓰면서 우리 큰아이 이야기를 빼놓을 수가 없다.

초등학교 6학년 수학경시반 공부를 도와주기 위하여 가르치기 시작하였고

그 1년의 경험을 바탕으로 나의 일을 갖게 되었다.

돌이켜 보면 큰아이에게서 나는 수학을 가르치는 법을

깨우치게 된것 같다. 아무 의심없이 받아들였던 원리와 공식을

꼭 왜? 라는 물음을 던지는 큰아이 앞에서 다시 한번 생각하고 눈높이를

큰아이에게 맞추게 되었다

가령 큰아이는"삼각형의 넓이가 왜 (밑변X높이/2)야" 묻는 것이다.

"직사각형 넓이가 가로X세로 이니까 사각형의 반이라고 생각하면 돼"

"그럼 직사각형은 왜 가로X세로야?"

처음 큰아이와 수업을 할때는 수학을 싫어해서, 공부가 싫어서 이런 질문으로 시간을 보내려는 것으로 생각했다.

그러나 큰아이는 진짜 의문을 갖고 있었고 그런 질문에 성실히 대답 해주는것이 나의 할일이었다.

이러한 큰아이의 태도는 모든 공부를 스스로 해나갈수뿐이 없게 만들었다.

학원 수업을 해나갈수 없었던 것이다.

초등학교 6학년 1년동안 수학을 가르치면서 싫증이 났던 나는 학원등록을 시켜봤지만 스트레스만 쌓인채 3달

후 그만두었다.

결국 내가 선택한 것은 스스로 학습이다.

윤선생영어와 현대수학 이라는 오디오 교재로 공부를 시켰다.(현대수학은 윤선생영어에서 나오던 수학교재였

다.) 당연히 선행학습은 불가능했고 대신 기본을 확실히 다져나가는 공부 방법을 택했다.

오디오 교재의 장점은 반복청취를 통해 스스로 해결하는 능력을 키워주는 것이었다.

또한 공부를 하고자 하는 의지가 있다면 집중력이 커지는 결과가 보너스로 얻어지는것 같았다.

물론 엄마의 지도가 있었지만 많은 부분을 본인 스스로 터득해 나갔다.

이런식의 공부로 외고 입학을 하였고 외고에서도 자신의 페이스를 지켜나갔다.

현재도 그렇지만 그당시에도 외고 학생들은 보통 수학의 정석이라는 문제집을 고등학교 1학년 단원을 2번정

도, 빠른 아이들은 고2 부분까지도 선행학습을 하고 왔다.

기본기만을 다졌던 큰아이가 처음에 힘들었던 것은 당연하였지만 큰아이 특유의 근성과 집중력과 탄탄한 기

본기를 바탕으로 수능에서는 80점 만점에서 80점을 받게되었다.(지금은 100점 만점이지만 그 당시는 수학과

외국어 영역이 80점이 만점 이었다.)

그 과정에서 고등학교 1학년 2학기 부터 8개월간 수학 단과학원 수강을 하였다.

다른 과목도 비슷하겠지만 특히 수학은 기초가 튼튼하여야 한다.

원리를 파고드는 성격, 정확히 알고 윗단계로 넘어가려는 치밀함 등이 엉성한 선행학습보다 어려운 수학과목에서 성공하는 기본이 되는 것 같다.

참고로 부언하지만 큰아이의 공부방법을 모두가 이런식이다.

흔히 성공한 엄마들이 내세우는 정보나 공부전략보다 아이의 성격에 맞춘 공부 방법이 들어맞은 것 같다.

끝까지 파고들고 논리적으로 따지는 성격에 맞추어 조급함을 버리고 "Slow and steady wins the race."라는

속담을 믿으며 끝까지 흔들리지 않고 간 것이 서울대 법대라는 좋은 결과를 나타낸 것이다.

초등학교부터 고1정도까지의 수학 단원을 살펴보면 몇번의 고비가 있는 것 같다.
초등학교 4학년이 되면 수학이 어려워진다고 하는데 내가 경험한 바로는 5학년이 고비인 것 같다.

물론 4학년때 수의 단위가 커지면서 힘들어지지만 5학년부터는 방정식 활용에 대한 개념이 나오기 시작하고 이때부터 본격적으로 수학이 어려워진다. 중학교 수학을 위한 전단계라고 할까? 생각하는 수학이 시작된다고나 할까?

문제를 읽으며 자꾸 문제의 내용을 이해시켜나가는 노력이 필요하겠다. 글의 뜻을 알도록...
수학의 식을 어렵게 생각하지 않고 문장을 숫자와 기호로 옮기는 것이라고, 쉽게 여기도록 최면을 걸어보면 좋겠다.

분수에 대한 개념 파악도 무척 중요하다. 소수의 계산을 익숙하게 할수있게 엄마의 도움이 필요한 것 같다.  요즈음 아이들은 소수계산을 무척싫어한다. 분수와 소수는 중2  첫단원에 근사값의 계산과 함께 다시 나오는데 초등학교때의 기초가 약한 아이들은 무척 힘들어하고 짜증을 내는 단원이다. 방정식을 공부할때에는 분수나 소수의 답이 나올때 "문제가 이상해요" "모르겠어요"라는 말들을 한다. 분수나 소수도 수라는 개념이 부족하고 계산이 힘들어서인것 같다.

초등학교6학년의 비와 비율은 그 중요함을 아무리 강조해도 부족함이 없겠다 비에거 비율이 나오고 비율에서 %, 할푼리로 이어진다. 중학교 방정식, 부등식 활용에서 아이들이 제일 힘들어하는 부분이 소금물 문제라고 하는데 바로 비율의 문제라고 보면 된다.

중2학생에게 "10000원 짜리 T-shirts를 10% sale하면 얼마 주면 되겠니?" 물어 본적이 있다.
"몰라요" "그럼 어떻게 해?" "점원이 달래는 데로 줘요"   농담을 한것이 아니었다. 남의 아이들 가르치기 시작해서 얼마 안됐을때인데 놀랐던 기억이 생생하다.

중학교 1,2학년 과정에서는 방정식, 부등식, 함수의 비중이 무척 큰데 활용문제를 힘들어 하는 것은 물론 함수의 개념도 어렵게 느낀다.

함수는 몇가지 용어 즉 일대일대응, 정의역, 공역, 치역, 좌표평면, x축y축등의 뜻만 정확히 알고 있어도 문제 풀이에는 큰 지장이 없을텐데... 가장 중요한 것은 중3부분이다. 고1공통수학과 직접적인 관련이 있고 고등학교 수학의 기본이 된다고 본다. 무리수나 인수분해를 빼고 고등학교 수학을 할 수가 없다.

피타고라스의 정리, 삼각비, 통계, 원 모두모두 힘들고 중요한 단원이다. 중학교3학년 부터는 본격적으로 정말 열심히 수학을 할수 있도록 신경써 줘야 할 것 같다.

수학문제를 푸는데 공식 암기는 필수이다.
구구단 외우기부터 시작해서 수많은 공식을 머리속에 입력해놓고 있어야 한다.
그런데 요즈음 학생들은 예전에 비해 암기능력이 떨어지고 악착스럽게 하겠다는 근성도 부족하다.
공식을 이용해야 하는 문제가 나오면 내 얼굴을 쳐다보는 학생이 많다.

초등학교때 나오는 기본공식을 몇가지 적어보겠다.

1) 직사각형의 둘레 = (가로 + 세로) * 2
  아이들은 가로가 2개 세로가 2개라는 사실에 무관심하다.
  예를 들어보자.
  "가로가 세로보다 2cm 긴 직사각형의 둘레가 36cm 이다. 가로, 세로의 길이를 구하라 ? "
            가로 + 세로 =18 , 가로 = 세로 + 2 라는 식을 세우지 못한다.
  " 가로 + 세로 가 왜 18 이예요 ? " 라고 반문한다.

2) 사다리꼴의 넓이 = (밑변 + 윗변) * 높이/2
3) 평행사변형의 넓이 = 밑변 * 높이
4) 원의 넓이 = 반지릅 * 반지름 * 파이
5) 부채꼴의 넓이 = 반지름 * 반지름 * 파이 * 중심각/360
6) 원의 둘레 = 지름 * 파이
7) 마름모의 넓이 = 한 대각선 * 다른 대각선/2

꼭 알고 넘어 갔으면 하는 것을 적어 보았다.  이 공식들을 기억 못하는 학생이 의외로 많다.
위 공식들은 자다가도 외울 수 있는 정도가 되어야 하겠다.
중학생이 되어서
" 원의 둘레를 어떻게 구하죠 ?" , " 원의 넓이를 어떻게 구해요 ? "  라는 질문은 수없이 듣는다

또 단위에 대한 개념이 별로 없다.
쉽게는 몇명, 몇개부터 cm, m,  등의 단위를 답에 꼭 쓰는지, 습관을 확인하자.
요사이 초등학교 수학 문제집에는 친절하게도 답을 쓰는곳에 단위를 써 놓았지만 이것을 무시하고 단위
쓰는 습관을 갖도록 하면 좋겠다.

단위에 대한 몇가지 관계를 써 보겠다.

(길이) 1 km = 1,000m ,  1 m = 100cm , 1cm = 10mm
(무게) 1 ton = 1,000kg , 1kg = 1,000g , 1g = 1,000mg
(들이) 1 KL = 1,000L,  1L = 10dL , 1L = 1,000mL
(부피와 들이와의 관계) 1KL = 1 세제곱 미터 , 1L = 1,000 세제곱 센티미터

들이의 dL는 데시리터로 읽는데 초등학교 5학년에 배운후 자주 쓰이질 않으니까 중학교 들어와서는
거의 기억을 못한다. 심지어 "디엘이 뭐예요 ? " 라고 묻는 경우도 있다.

단위중에 빼놓을 수 없는 것이 있다. 속도의 단위이다.
속도는 < 단위시간당 간 거리>를 말하는데 이 설명의 의미를 제대로 이해하는 아이는 많지않다.
단위시간 이란 1시간, 1분, 1초를 말하며 따라서 속도의 단위는 " 거리(km, m, cm)/시간(시, 분, 초 )" 이다.
이 속도의 단위는 중학교 2학년 과학시간에도 다루어 지는데 학생들이 수학을 하면서 어렵게 생각하는 문제들중 하나이다. 속도와 거리와 시간의 개념을 정확히 인식시켜줄 필요가 있겠다.

중학교에 들어가서 수학성적이 떨어지기 시작하는 단원이 방정식의 활용과 함수부분이다.
방정식의 활용중 에서도 소금물에 대한 문제는 웬만한 상위권 학생도 짜증을 내는 부분이다.
아이들이 쉽게 소금물 문제라고만 하는데 이 문제는 농도, 더 자세히 말하면 비율의 문제라고 할 수 있다.

초등학교 6학년에 비와 비율이라는 단원이 있다.
이 단원에 대한 철저한 이해와 훈련이 필요하다고 본다.
간단한 설명을 해보면
비 3 : 5 가 있다. 3 대 5 라고 읽는데, 3은 비교당하는 수이고 5는 기본이 되는 수이다.
즉 5에 대한 3의 비 이다.
이것을 분수나 소수로 나타내는 것이 비율이다.
비율은 비교하는 량/기준량 이 되는 것이다.

3 : 5 를 비율로 나타내면 3/5 즉 0.6 이 된다.
보통 말하는 퍼센트(percent)는 percentage 이며 백분율 이라고도 하는데 기준량을 100 으로 봤을때의
비교하는 양의 크기를 나타내는 것이다.(센트는 라틴어로 100을 말 하는 것이다.)
따라서 3/5 = 60/100 이며 60%를 말한다.
(여기서는 비교하는 양을 구하려면 %를 다시 100 으로 나누어야 한다.)

이러한 비율에 대한 개념없이 소금물에 대한 문제를 푸니까 식을 만들 수가 없으며,
뒤죽박죽 식이 나오기도 하는 것이다.
정확히 말하면 소금물의 농도는 기준이 되는 소금물에서 소금이 차지하는 양이 얼마나 되는가 ?
를 말하는 것이다.  농도(%) = 소금의 양/소금물의 양 * 100 이다.

예를 들어보면
1) 10% 소금물 100g이 있다. 는 소금물 100g 중에 10%가 소금이라는 것이다.
   즉 100g * 10/100 = 10g 이다. 10g 이 소금의 양이 된다.  90g 은  물의 양이다.

2) 10% 의 소금물 xg과 6% 의 소금물 yg을 섞어서 8%의 소금물 400g을 만들었다.
   각각의 소금물의 양을 구하라.
   x * 10/100 + y * 6/100 = 400 * 8/100,  x + y = 400 이 된다. 답은 10% 짜리 200g, 6% 짜리 200g 이다.
  (x * 10/100은 10% 소금물 x g중에 들어잇는 소금의 양이고, y * 6/100은 6% 소금물 y g 중에 들어있는
   소금의 양이다.)

내가 답답하게 느끼는 부분이 잇다.
흔히 문제 풀이식의 수학공부를 한 학생중에는  x * 10 + y *  6 = 400 * 8 로 식을 쓴다.
내용을 알고 이런식이 세워지면 문제가 없지만 학생들의 대답은
" 학원에서 그렇게 배웠는데요."  "그냥."    " ......"  이다.
결과는 같은 답이 나오지만 농도(%)의 개념이 없다는 뜻이다.
x * 10 + y * 6 = 400 *  8은  x * 10/100 + y * 6/100 = 400 * 8/100 의 양변에 100을 곱한 것이다.

비율을 다룰때 할, 푼, 리 라는 용어가 나온다.
퍼센트와 같은 원리로 기준량을 10으로 봤을때의 비교하는 양의 크기가 할 이다.

비와 비율은 우리생활 곳곳에 습관처럼 많이 쓰이고 있다.
운동경기에서 몇 : 몇, 야구선수들의 타율(안타의 수/ 총타석), 세일 판매할때의 몇 % 할인 등등 ....

기본적인 내용을 정확히 알고 문제를 대할 수 있도록 엄마들이 지도를 해 보시기를 바랍니다.
수학공부는 이렇게 !! (여섯번째 글) 끝부분에 속도의 단위에 대한 이야기를 썼다.
아이들의 속도, 시간, 거리 세가지 단어에 대한 얽힌 관계의 이해가 상당히 부족하다.
쉽게 말하면 속도는 점의 개념, 거리는 선의 개념이라고 보면 될 것 같다.
아이들에 따라 공식을 외우는 방법을 보면 어떤 이해의 노력없이 무작정 단순 암기를 하고 있어서 답답한 마음이 생긴다.
(거, 속, 시) 라고도 하고  (속, 시, 거) 라고도
심지어는“거리에 나서니 속이 시원하다. ” 라는 암기까지 한다.
“그런 소리 누가하니 ? ”
“학원요.”   오죽하면 그런 설명을 하실까 ?

정확한 공식을 보자

① 거리 = 시간×속도,  ① 의 양변을 속도로 나누어 보자,
② 거리/속도 = 시간
③ ①의 식을 다시 시간으로 나누어 보면 거리/시간 = 속도 이다.

속도는 단위시간에 간 거리이다

수를 분류하는 방법중 소수(素數)와 합성수로 나누는 방법이 있다.
소수는 1과 자기 자신으로만 나눌수 잇는 수이고, 합성수는 1과 자기 자신이외의 나눌수 있는 수, 즉 약수가 있는 수이다.
그런데 1은 소수도 합성수도 아닌 단위수가 된다.
가장 기본이 되며 속도에서 단위시간 이란 이 1을 기준으로 한 시간을 말한다.
즉 1초, 1분, 1시간을 뜻한다.

“ 1분에 50m 씩 10분동안 가면 얼마나 가게되니 ? ”
“ 500m 요 ”
“ 1km 를 가는데 10분이 걸렸어. 속도가 얼마니 ? ”
“ ....... ”

답은 100m/분 이 된다.
공식 세가지를 자유자재로 이용할 수 있어야 되겠다.

재미있는 문제 하나를 풀어보자.
갑, 을 두사람이 둘레의 길이가 1.8km 인 호수 주위를 도는데 같은 방향으로 뛰면 6분만에 다시 만나고
서로 반대방향으로 뛰면 2분만에 다시 만난다고 한다.
이때, 갑이 1분동안 뛸 수 있는 거리를 구하라. (단, 을이 갑보다 빠르다)

이 문제는 갑의 속도를 구하라는 문제이다.
1분 동안 뛴 거리를 구하라는 문제니까 분속을 말한다.
갑은 X 로,  을은 Y 로 놓고 식을 세워보자.
을의 속도가 빠르므로

(Y-X)×6=1,800  → ① (1.8km = 1,800m 이다)
(X+Y)×2=1,800  → ②

연립방정식을 풀어보면 갑은 300m/분, 을은 600m 이다.

① 번 식에서 Y-X 가 되는 이유는 같은 방향으로 뛸 경우 두사람의 속도의 차이가 모여서 한 바퀴의 거리만큼이 되면(즉 1,800m)
   두사람이 만나게 되는 것이다.
   즉 속도가 빠른 사람이 느린 사람보다 한바퀴를 더 돌게 되는데 그 내용에 대한 이해가 무척 힘들다.

②번 식의 X+Y 는 반대방향으로 돌 경우 두사람이 합하여 한바퀴(1,800m)를 가게 되는 것이므로 더하기가 된다.

내용 파악을 정확히 하려는 아이들의 노력이 필요하다.

[김기재(1404)]

스크롤의 압박 ..... ㄷㄷ