질문 proofs without word 2 에 나온문제인데 도와주십시요.

[굿모닝]

Parametric Representation of Primitive Pythagorean Triples


< c를 빗변으로 하고 b를 밑변, a를 높이로 하는 직각삼각형에서 >

a/2 , b, c ∈양의 정수 (a, b) = 1

(c+b)/a = n/m , (n,m)=1 => (c-b)/a = m/n,
=> c/a = (n^2 + m^2)/2mn ,
b/a = (n^2 - m^2)/2mn

=> n과 m은 합동이 아니다(mod 2)
따라서 (a,b,c) = (2mn, n^2 - m^2, n^2 + m^2).

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제가 이해가지 않은 부분은
1) a/2 , b, c 의 세수를 선택하는 이유
2) (c+b)/a = n/m , (n,m)=1 => (c-b)/a = m/n 가 되는 이유
3) n과 m은 합동이 아니다(mod 2) 로 인하여 결론이 도출될수 있는 이유

이 문제는 proofs without word 2 에 나온 문제입니다.
도와주십시요...

[xaos의답과신금물]

1) c^2 == 2 mod 4 를 만족하는 정수 c는 없습니다. 즉, a, b 가 모두 (mod 4) ±1 일 수는 없다는 이야기죠. 즉, a, b중 하나는 짝수, 일반성을 잃지 않고, a를 짝수라 놓아서 나온 거라고 기억합니다.

[xaos의답과신금물]

2) a^2 = c^2 - b^2 = (c+b)(c-b) <=> 1 =[(c+b)/a][(c-b)/a]

[xaos의답과신금물]

3)(깔끔하지 않은데요.) (n^2 - m^2)/2mn 이 기약이란 걸 말하면 되겠죠. 분자가 분모로 나뉘는지 봅시다. (n^2 -m^2) == m^2 == 1 =/= 0 (mod n), 마찬가지로 (n^2 - m^2) =/= 0 (mod m), (앞에 두개를 자명하다고 넘어간 것 같음.) 그리고 쓰인조건, n^2 - m^2 == 0 - 1 혹은 1 - 0 =/= 0 (mod 2), 따라서 기약분수. b/a?

[xaos의답과신금물]

3) 번이 조금 틀렸거든요. mod m,n으로 하면, m,n의 약수로 나뉘어진 경우는 안보고 넘어가는거라. (m,n)=1 -> (m±n,n)=1 =>(m^2 -n^2,n)=1 , 마찬가지로 (m^2-n^2,m)=1 이렇게 해야 하는 것 같습니다. 수론은 어려워서...