『괴델, 에셔, 바흐(박여성 옮김)』 번역 비판 – 14장

[이덕하]

『괴델, 에셔, 바흐(박여성 옮김)』 번역 비판 – 14장

이덕하

2006-07-18

『괴델, 에셔, 바흐 – 영원한 황금 노끈』, 더글러스 호프스태터(Douglas R. Hofstadter) 지음, 박여성 옮김, 까치, 초판 6쇄(2005년 6월).

『Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid』, 20th-anniversary Edition.

번역을 비판하며.. 2

“굴”의 두 개의 착상.. 3

첫번째 착상: 증명쌍.. 4

증명쌍이라는 속성은 원초-재귀적이다…….. 7

…… 그렇기 때문에 TNT로 표상되었다.. 7

증명쌍의 성능.. 7

대입이 두번째 착상으로 귀결된다.. 9

대수 콰인화.. 11

최후의 빨대.. 12

TNT는 “항복”을 선언하다.. 13

“대수 콰인화된다면 정리가 아니라는 속성이 입증되는가”. 14

괴델의 제2정리.. 15

TNT는 ω–불완전하다.. 16

구멍을 틀어막는 두 가지 다른 방법.. 17

초자연수.. 17

초자연적인 정리들은 무한히 긴 생성과정을 가진다.. 21

초자연수의 더하기와 곱하기.. 21

초자연수들은 유용하지만 …….. 22

….. 과연 실재하는가.. 23

기하학에서의 분지(分枝)와 물리학자들.. 24

수론에서의 분지와 은행원들.. 25

수론에서의 분지와 메타 수학자들.. 26

힐베르트의 열번째 문제와 거북.. 27

번역을 비판하며

호프스태터가 쓴 <한국어판에 부쳐>에는 이런 문장이 있다:

이 책의 번역자인 박여성 교수의 여러 해에 걸친 정성스런 번역은 독자들의 부담을 한결 덜어줄 것이며, 한국어로 정착된 독자적인 GEB의 운명을 짊어지고 책읽기의 색다른 묘미를 선사할 것으로 믿어 의심치 않습니다.(xix쪽)

<역자 후기>에는 이런 문장이 있다:

대부분의 번역판을 호프스태터 교수가 감수했듯이, 그는 한국어판에서도 검증을 요구했다. 자존심이 상하는 일이었지만, 이 책의 가치와 번역의 엄정성을 위해서 당연한 일로 받아들였다.(984쪽)

위에 인용된 저자와 역자의 말은 이 책의 번역이 양호함을 암시한다. 이런 식의 과대포장은 나를 더욱 짜증나게 했다.

하필이면 14장 <TNT 및 그것과 연관된 체계들의 형식적으로 결정 불가능한 명제>를 비판한 이유가 있다. 14장은 어떤 면에서는 이 책에서 가장 어렵고 가장 핵심적인 부분이다. 14장은 괴델의 불완전성의 정리의 증명이 완결되는 부분이며 이 정리는 이 책의 핵심 테마다. 이 정리를 이해하지 않고 이 책을 이해하려 한다면 수박 겉핥기를 넘을 수 없다.

결론적으로 말해 이 번역서로는 골치아픈 이 책의 핵심을 결코 이해할 수 없으며 아래의 구체적인 비판이 이런 결론을 충분히 뒷받침해준다고 나는 믿는다. 28쪽(영어판 23쪽) 분량의 번역문에서 이 글에서 내가 지적한 오역만 76개다.

여러 가지 이유로 용어에 대한 번역어는 전혀 비판하지 않았다.

“굴”의 두 개의 착상

박여성(567쪽, 주) : 1931년에 쓰인 괴델의 이 논문은 끝에 “I”이라는 번호가 매겨진 소설을 하나 포함하고 있는데, 이를 통하여 그는 좀 난감한 논제를 방어하려고 의도한 것 같다. 그러나 첫번째 논고는 두번째 논고가 단지 피상적이었으며 결코 쓰인 적이 없다는 사실을 암시하고 있다.

Hofstadter(744쪽, 주) : The title of Gödel’s 1931 article included a Roman numeral “I” at the end, signifying that he intended to follow it up with a more detailed defense of some of the difficult argument. However, the first paper was so widely acclaimed that a second one was rendered superfluous, and it was never written.

이덕하 : 괴델의 1931년 논문의 제목에는 로마 숫자 “I”가 끝에 포함되어 있었다. 이것은 그가 어려운 논거 중 일부에 대한 더 자세한 방어[변론]를 다루는 후속 논문을 쓰려고 했음을 보여준다. 하지만 첫 논문[1931년 논문]이 너무나 광범위하게 호평을 받아서 두번째 논문[후속 논문]은 불필요해졌으며 그는 두번째 논문을 쓰지 않았다.

a.       박여성 씨는 오역의 극치가 무엇인지를 보여주고 있다.

박여성(567쪽) : 괴델의 논문은 지극히 전문적인 내용으로서 그는 자신의 증명을 투명하고 빈틈없이 하려고 애썼다.

Hofstadter(438쪽) : Gödel’s paper was a technical one, concentrating on making his proof watertight and rigorous;

a.       “watertight and rigorous”는 “투명하고 빈틈없이”가 아니라 “빈틈없고 엄밀하게”이다.

박여성(567쪽) : 두번째로, 자가점검 특성은 전적으로 단 하나의 연쇄체에만 집중되는데 그 연쇄체의 유일한 관심의 초점은 바로 자기 자신이라는 것이다.

Hofstadter(438쪽) : The second key idea is that the property of self-scrutiny can be entirely concentrated into a single string; thus that string’s sole focus of attention is itself.

이덕하 : 두번째 착상은 자가 점검 특성이 하나의 연쇄체로만 집중될 수 있다는, 따라서 그 연쇄체의 유일한 관심의 초점이 자기 자신이 될 수 있다는 것이다.

a.       원문의 “can”을 빼먹으면 안된다.

박여성(567쪽) : 왜냐하면 그것이 기호를 조작하는 체계들에 있는 의미와 지시관계에 대한 모든 개념들과 연관되기 때문이다.

Hofstadter(438쪽) : for that idea is related to the whole notion of what meaning and reference are, in symbol-manipulating systems.

이덕하 : 왜냐하면 그 착상은 기호-조작 체계들에서 의미와 지시관계가 무엇인가하는 개념 전체와 연결되어 있기 때문이다.

a.       “의미와 지시관계에 대한 모든 개념들”은 문제가 있는 번역이다.

첫번째 착상: 증명쌍

박여성(568쪽) : 그 대답을 얻기 위해서, 일단 m을 코드화하는 유도공식을 써보도록 하자:

Hofstadter(439쪽) : To see the answer, let us write out the alleged derivation which m codes for:

a.       “alleged derivation(유도공식이라고 가정된 것)”을 “유도공식”이라고 번역했다. 유도공식은 수학용어이기 때문에 alleged를 빼먹으면 안된다. 저자는 둘(진짜 유도공식과 가짜 유도공식)을 철저하게 구별한다.

b.      “m이 코드화하는”으로 번역해야 한다.

c.      alleged를 빼먹고 번역한 곳은 몇 군데 더 있다.

박여성(569쪽) : 그것은 30을 가지고 MIU-증명쌍을 만드는 m의 다른 값일 수도 있다.

Hofstadter(439쪽) : There could be another value of m which forms a MIU-proof-pair with 30.

이덕하 : 30과 함께 MIU-증명쌍을 이루는 m의 다른 값이 있을 수도 있다.

박여성(569쪽) : 아래에 두 개의 평행적인 보기가 있다 – 첫번째 보기는 단지 TNT-증명쌍인 듯하며, 두번째 보기는 유효한 TNT-증명쌍이다. 여러분은 그것들을 서로 구별할 수 있는가? … 간단히 옛 표기방식으로 역번역해서 이하의 사실을 점검하면, 그것이 어느 것인지를 쉽게 확인할 수 있다:

Hofstadter(439쪽) : Here are two parallel examples, one being merely an alleged TNT-proof-pair, the other being a valid TNT-proof-pair. Can you spot which is which? … It is quite simple to tell which one is which, simply by translating back to the old notation, and making some routine examinations to see

이덕하 : 아래에 두 개의 평행적인 보기가 있다 – 하나는 단지 TNT-증명쌍인 것처럼 보일 뿐이며, 다른 하나는 유효한 TNT-증명쌍이다. 여러분은 어떤 것이 유효한 것이고 어떤 것이 가짜인지를 알아낼 수 있는가? … 단순히 옛 표기방식으로 역번역함으로써 그리고 이하의 사실을 기계적으로 점검함으로써 어떤 것이 유효한 것이고 어떤 것이 가짜인지를 매우 쉽게 알아낼 수 있다:

a.       “첫번째 보기”, “두번째 보기”는 잘못된 번역이다. 저자는 첫번째 보기가 가짜고 두번째 보기가 진짜라고 말하지 않았다. 둘 중 하나가 가짜고 나머지 하나가 진짜라고 말했다.

b.      “그것들을 서로 구별할 수 있는가”와 “그것이 어느 것인지를”은 문제가 있는 번역이다. 둘을 구별하는 것이 문제가 아니라 어느 것이 진짜인지를 알아내는 것이 문제다.

박여성(570쪽) : 이때 MIU-체계를 포함하는 앞의 보기를 기억하라. 그리고 이제 당신의 마음속에서 TNT에 대한 규칙들을 MIU의 규칙으로 그리고 TNT의 공리들을 MIU-체계의 공리들로 대체하라.

Hofstadter(440쪽) : Think of the examples above involving the MIU-system, and now just mentally substitute the rules of TNT for the MIU-system’s rules, and the axioms of TNT for the MIU-system’s one axiom.

이덕하 : MIU-체계와 관련된 위의 보기들에 대해 생각해 보자. 이제 마음 속에서 MIU-체계의 규칙들을 TNT의 규칙들로 대체하고 MIU-체계의 하나의 공리를 TNT의 공리들로 대체해 보자.

a.       “involving”은 “포함하는”이 아니라 “관련된”이다.

b.      MIU를 TNT로 대체하는 것인데 거꾸로 번역했다.

c.      원문에는 “MIU-system’s one axiom”이라고 되어 있는데 “MIU-체계의 공리들”로 번역했다.

박여성(570쪽) : 공리가 아닌 모든 행마다, 그것이 유도공식의 앞의 행으로부터의 어떤 추론 규칙을 따르는지 점검하라.

Hofstadter(440쪽) : For each line which is not an axiom, check whether it follows by any of the rules of inference from earlier lines in the alleged derivation.

이덕하 : 공리가 아닌 모든 행이, 유도공식으로 보이는 것의 앞의 행들로부터 추론 공식들을 적용하여 유도되었는지 여부를 점검하라.

a.       alleged를 빼먹고 번역했다.

b.      “어떤(any) 추론 규칙을 따르는지”를 점검하는 것이 아니라 “추론공식들을 적용하여 유도되었는지 여부(whether)”를 점검하는 것이다.

박여성(570쪽) : 만약에 모든 비공리가 앞의 행으로부터의 추론규칙들을 따른다면, 적절한 유도공식을 가지는 것이다;

Hofstadter(쪽440) : If all nonaxioms follow by rules of inference from ealier lines, then you have a legitimate derivation;

이덕하 : 만약 모든 비공리가 앞의 행들로부터 추론규칙들을 적용하여 유도한 것이라면 그것은 유효한 유도공식이다.

a.       lines는 “행”이 아니라 “행들”이다. 여기서 복수형을 살려주는 것은 중요하다.

b.      “따른다면”이 아니라 “적용하여 유도한”으로 번역해야 한다.

증명쌍이라는 속성은 원초-재귀적이다……

박여성(570쪽) : 그런데 여기에서는 끝없는 추적을 하게 될 것이다.

Hofstadter(441쪽) : and here you may be getting into an endless chase.

이덕하 : 그런데 여기에서는 끝없는 추적을 하게 될지도 모른다.

a.       “하게 될 것이다”와 “하게 될지도 모른다”는 다르다.

…… 그렇기 때문에 TNT로 표상되었다

증명쌍의 성능

박여성(571쪽) : 그것이 존재함으로 인하여 우리의 기본사실 2를 보장하는 공식을 다음과 같이 요약할 수 있다:

Hofstadter(441쪽) : Let us abbreviate that formula, whose existence we are assured of by Fundamental Fact 2, this way:

이덕하 : 그 공식 – 기본 사실 2로부터 우리는 그 공식의 존재를 확신할 수 있다 – 를 다음과 같이 요약하자.

a.       그 공식은 기본 사실 2로부터 유도되는 것인데 거꾸로 번역했다.

박여성(572쪽) : 이때 제8장에서와 같이 모든 a'를 다른 수사로 대체하는 것을 보여주기 위하여, 그 표시 다음에 “/a'”가 뒤따르도록 했다는 것을 기억하라

Hofstadter(442쪽) : remember also from Chapter VIII that to indicate the replacement of every a' by a numeral, we write that numeral followed by “/a'”

이덕하 : 제8장에서 모든 a'를 수사로 대체한다는 것을 가리키기 위해 수사 다음에 “/a'”가 뒤따르도록 했다는 것을 기억하라

a.       “그 표시 다음에”가 아니라 “수사 다음에”다.

박여성(572쪽) : 이에 유추하여 (다시 두 개의 자유변수를 가지고서) 우리에게 기본사실 2를 보장하는 공식을 축약할 수 있다:

Hofstadter(442쪽) : We may abbreviate the formula which Fundamental Fact 2 assures us exists, in an analygous way (with two free variables, again):

이덕하 : 기본사실 2가 그 존재를 보장하는 공식을 비슷한 방식으로 (다시, 두 개의 자유변수를 써서) 축약할 수 있다:

a.       “기본사실 2를 보장하는”이 아니라 “기본사실 2가 보장하는”이다.

박여성(572쪽) : 이에 대한 TNT-공식은:

Hofstadter(442쪽) : The TNT-formula which expresses this is:

이덕하 : 이것을 표현하는 TNT-공식은:

a.       express는 중요한 용어이므로 “이에 대한”으로 얼버무리면 안된다.

박여성(573쪽) : 말하자면 우리는, TNT-증명쌍의 원초-재귀적인 개념에 대해서 말할 뿐만 아니라, 그것과 관련되지만 아직은 불확실한 TNT 정리-수의 개념에 대해서도 말하는 방법이 있다는 것을 알게 된다.

Hofstadter(442쪽) : So you see that there is a way to talk not only about the primitive repcursive notion of TNT-proof-pairs, but also about the related but trickier notion of TNT-theorem-numbers.

이덕하 : 따라서 TNT-증명쌍이라는 원초-재귀적인 개념뿐 아니라 관련되어 있지만 더 까다로운 TNT-정리-수라는 개념에 대해서도 말할 수 있는 방법이 있다는 것을 알게 되었다.

a.       “trickier”는 “아직은 불확실한”이 아니라 “더 까다로운”이다.

박여성(573쪽) : 앞의 보기들과 이 해답은 서로 어떻게 다른다?

Hofstadter(443쪽) : How do solutions differ from the example done above, and from each other?

이덕하 : 해답들이 앞에서 해본 보기와 어떻게 다른가? 그리고 그 해답들은 서로 어떻게 다른가?

박여성(573쪽) : 그것을 이 “메타-JŌSHŪ”를 표현하는 TNT-연쇄체라고 부르자.

Hofstadter(443쪽) : Call the TNT-string which expresses this “META-JŌSHŪ”.

이덕하 : 이것을 표현하는 TNT-연쇄체를 “META-JŌSHŪ”라고 부르자.

a.       바로 아래에서도 똑 같은 오류를 반복하고 있다.

대입이 두번째 착상으로 귀결된다

박여성(574쪽) : 이를 위해서 우리는 또한, 괴델의 수를 구조적으로 간단하게 수정할 경우, 공식의 괴델 수에 무슨 일이 생기는지 볼 필요가 있다.

Hofstadter(443쪽) : To do this, we need to look at what happens to the Gödel number of a formula when you modify the formula structurally in a simple way.

이덕하 : 이를 위해서, 우리는 어떤 공식을 간단한 방식으로 구조적으로 수정했을 때 그 공식의 괴델 수에 어떤 일이 벌어지는지를 보아야 한다.

a.       “괴델의 수”를 수정하는 것이 아니라 “공식”을 수정하는 것이다.

박여성(574쪽) : 예를 들면 더하기, 곱하기, 10의 거듭제곱 등과 같이, 낡은 수로부터 새로운 수를 만들어내는 기능은 산술적으로 기술하기에 그리 어렵지 않을 것이다.

Hofstadter(444쪽) : The function which makes the new number from the old one would not be too difficult to describe arithmetically, in terms of additions, multiplications, powers of 10 and so on

이덕하 : 이전의 수로부터 새로운 수를 얻어내는 함수를 더하기, 곱하기, 10의 거듭 제공 등을 이용하여 산술적으로 기술하기는 그리 어렵지 않을 것이다.

a.       function은 “기능”이 아니라 “함수”다.

박여성(575쪽) : 그것은 우리가 BlooP 테스트에 대한 입력으로서 세 자연수를 입력할 때, 그것들이 이런 식으로 연관되면 그렇다를, 그렇지 않으면 아니다를 말한다는 것을 의미한다.

Hofstadter(444쪽) : That is to say, a BlooP test could be written which, when fed as input any three natural numbers, says YES if they they are related in this way, and NO if they aren’t.

이덕하 : 그것은, 임의의 세 자연수를 입력할 때 이런 방식으로 연관되면 예를 아니면 아니오를 말하는 BlooP 테스트를 작성할 수 있음을 뜻한다.

a.       “they they”는 오식인 듯하다.

b.      이 문장의 핵심은 <그런 BlooP 테스트를 작성할 수 있다>는 것이다.

박여성(575쪽) : 아마 그러한 테스트를 수행할 수 있을지 여러분 스스로 점검할 수 있으며, 동시에 다음과 같은 3중수의 두 집합을 검증하는 가운데, 그 과정 속에 어떤 은폐된 무한한 반복고리도 존재하지 않음을 확신할 것이다:

Hofstadter(444쪽) : You may test yourself on your ability to perform such a test – and at the same time convince youself that there are no hidden open-ended loops to the process – by checking the following two sets of three numbers:

이덕하 : 아래와 같은 3장수의 두 집합을 검사함으로써 그런 테스트를 수행하는 여러분의 능력을 여러분 스스로 테스트할 수 있을 것이며 동시에 어떤 은폐된 무한한 반복고리도 존재하지 않음을 확신하게 될 것이다.

대수 콰인화

박여성(576쪽) : 이상한 동시에 경박한 생각은 그 공식 자체의 괴델 수가 자기 스스로를 대입한다는 것이다.

Hofstadter(445쪽) : A curious and perhaps frivolous-seeming notion is that of substituting a formula’s own Gödel number into itself.

이덕하 : 이상하면서도 아마도 실없어 보이는 착상이 있는데 그것은 바로 어떤 공식 자체의 괴델 수를 바로 그 공식에 대입한다는 착상이다.

a.       “자기 스스로를[괴델 수 자체를]”를 대입하는 것이 아니라 “바로 그 공식에” 대입하는 것이다.

박여성(577쪽) : 대수 콰인화를 한다면, 우리는 당연히 앞에서 정의된 대입 연산이라는 특별한 경우를 실행하는 것이다.

Hofstadter(445쪽) : When you arithmoquine, you are of course performing a special case of the substitution operation we defined earlier.

이덕하 : 대수 콰인화를 한다면, 우리는 물론 앞에서 정의한 대입 연산 중 특별한 경우를 실행하는 것이다.

a.       “대입 연산이라는 특별한 경우”가 아니라 “대입 연산 중 특별한 경우”이다.

박여성(577쪽) : 우리는 TNT의 내부에서 곧바로 대수 콰인화라고 말할 수 있다.

Hofstadter(446쪽) : We can speak quite easily about arithmoquining inside TNT.

이덕하 : 우리는 TNT 내부에서의 대수 콰인화에 대해 꽤 쉽게 이야기할 수 있다.

최후의 빨대

박여성(577쪽) : 최후의 빨대

Hofstadter(446쪽) : The Last Straw

이덕하 : 마지막 지푸라기

a.       “the last straw”는 “It’s the last straw that breaks the camel’s back”이라는 속담을 암시한다. 따라서 “빨대”는 적절치 않다.

박여성(577쪽) : 이제 “G선상의 아리아”를 뒤돌아보자면, 우리는 콰인의 방식으로 재귀준거에 도달하는 궁극적인 트릭이 콰인화의 개념 자체에 대해서 말하는 정리를 콰인화하는 것임을 알게 될 것이다.

Hofstadter(446쪽) : Now if you look back in the Air on G’s String, you will see that the ultimate trick necessary for achieving self-reference in Quine’s way is to quine a sentence which itself talks about the concept of quining.

a.       sentence는 “정리”가 아니다 “문장”이다.

박여성(578쪽) : 그렇다면, 우리의 경우에 그에 상응하는 트릭은 대수 콰인화의 개념 자체에 대해서 말하는 어떤 공식을 콰인화하는 것이어야 한다.

Hofstadter(446쪽) : All right, then – the parallel trick in our case must be to arithmoquine some formula which itself is talking about the notion of arithmoquinig!

a.       arithmoqine는 “콰인화하는”이 아니라 “대수 콰인화하는”이다.

박여성(578쪽) : 그것은 모든 자유변수들을 “추방하는” 결과를 야기한다 – 그중에서 a''라는 단 하나의 변수만이 존재하며 – 모든 곳에서 u에 대한 수사를 대체하는 것이다.

Hofstadter(447쪽) : What this entails is “booting out” all free variables – of which there is only one, namely a'' – and putting in the numeral for u everywhere.

이덕하 : 그것은 모든 자유변수들 – 오직 하나, 즉 a''만 있다 - 을 “추방하는”, 그리고 모든 곳에 u에 대한 수사를 삽입하는 결과를 야기한다

a.       “u에 대한 수사를 대체하는” 것이 아니라 “u에 대한 수사를 삽입하는[u에 대한 수사로 대체하는]” 것이다.

b.      전체적으로 번역문이 이상하다.

박여성(579쪽) : (1) 둘 다 공히 TNT-증명쌍을 만들고 그리고 (2) a'가 u의 대수 콰인화인 그런 수 a와 a'는 존재하지 않는다.

Hofstadter(447쪽) : There do not exist numbers a and a' such that both (1) they form a TNT-proof-pair, and (2) a' is the arithmoquinification of u.

이덕하 : (1) TNT-증명쌍을 이루고 (2) a'가 u의 대수 콰인화인 숫자 a와 a'는 존재하지 않는다.

a.       both를 잘못 번역했다. 여기서 both는 “둘 다 공히”가 아니라 (1)과 (2)를 모두 만족시킨다는 뜻이다.

박여성(579쪽) : u를 대수 콰인화함으로써 TNT-증명쌍을 형성하는 그런 수 a는 없다.

Hofstadter(447쪽) : There is no number a that forms a TNT-proof-pair with the arithmoquinification of u.

이덕하 : u의 대수 콰인화[어떤 숫자임]와 TNT-증명쌍을 이루는 숫자 a는 없다.

a.       “u를 대수 콰인화함으로써”는 잘못된 번역이다.

TNT는 “항복”을 선언하다

박여성(580쪽) : 이때 그 위트의 핵심은 우리가 수를 기술(記述)할 때 수사가 아니라 술어로 대체하는 데 성공했다는 것이다.

Hofstadter(448쪽) : The point is that we have achieved a way of substituting a description of a numeber, rather than its numeral, into a predicate.

이덕하 : 요점은 우리가 어떤 수에 대한 기술 – 그 수사가 아니라 – 을 술어로 대체하는 방법을 찾아냈다는 것이다.

a.       원문에 “위트”라는 단어가 없다.

b.      “기술(記述)할 때”는 잘못된 번역이다.

“대수 콰인화된다면 정리가 아니라는 속성이 입증되는가”

박여성(581쪽) : 일정한 조망을 얻기에 가장 좋은 방법은 콰인의 처리방식이 에피메니데스의 이율배반과 가지는 관계를 구체적으로 보여주는 것이다.

Hofstadter(449쪽) : The best way I know to give some perspective is to set out explicitly how it compares with the version of the Epimenides paradox due to Quine.

이덕하 : 어느 정도의 조망을 얻기에 내가 알기로 가장 좋은 방법은 콰인에게 돌릴 수 있는 에피메니데스의 이율배반과 그것[괴델의 정리]이 어떻게 비교되는지를 명시적으로 보여주는 것이다.

a.       “due to Quine”의 정확한 의미는 잘 모르겠다.

b.      콰인의 처리 방식과 에피메니데스의 이율배반을 비교하는 것이 아니라 그것[괴델의 정리]과 에피메니데스의 이율배반을 비교하는 것이다.

박여성(581쪽) : 정리 부분의 인용

Hofstadter(449쪽) : quotation of phrase

a.       phrase는 “정리 부분”이 아니다.

박여성(581쪽) : 열린 공식에 하나의 수(또는 한정적 표현)를 대체

Hofstadter(449쪽) : substituting a numeral (or definite term) into an open formula

a.       numeral은 “수”가 아니라 “수사”다.

b.      term은 “표현”이 아니다.

박여성(581쪽) : 이 열린 공식에 있는 괴델 수 자체를 열린 공식 속에 대입(“대수 콰인화”)

Hofstadter(449쪽) : substituting the Gödel number of an open formula into the formula itself(“arithmoquining”)

a.       “열린 공식에 있는 괴델 수 자체”가 아니라 “열린 공식의 괴델 수”다.

괴델의 제2정리

박여성(581쪽) : G의 해석이 참이기 때문에, 그 부정인 ~G의 해석은 거짓이다. 그래서 우리는 TNT에서는 어떤 거짓 명제도 유도될 수 없다는 것을 안다.

Hofstadter(449쪽) : Since G’s interpretation is true, the interpretation of its negation ~G is false. And we know that no false statements are derivable in TNT.

a.       여기서 “And”는 “그래서”가 아니라 “그리고”로 번역해야 한다. 왜냐하면 앞의 문장에서 뒤의 문장이 유도되는 관계가 아니기 때문이다.

박여성(581쪽) : 비록 G나 ~G 둘 다 정리가 아니지만, 명제계산의 규칙들이 <P∨~P>라는 형태의 모든 논리식이 정리라는 사실을 보장하기 때문에, 공식 <G∨~G>는 하나의 정리이다.

Hofstadter(449쪽) : although neither G nor ~G is a theorem, the formula <G∨~G> is a theorem, since the rules of the Propositional Calculus ensure that all well-formed formulas of the form <P∨~P> are theorems.

a.       “well-formed formulas”는 “논리식”이 아니다. well-formed를 정확히 번역해 주어야 한다. 다음 쪽에서도 이런 오류는 반복된다.

박여성(582쪽) : 그 대답은 단순한 사실, 즉 그 무모순성이란 서로를 부정하는 x와 ~x가 둘 다 정리라는 것을 의미하다는 사실에 토대하고 있다.

Hofstadter(450쪽) : It hinges on this simple fact: that inconsistency means that two formulas, x and ~x, one the negation of the other, are both theorems.

a.       inconsistency는 “무모순성”이 아니다. 반대로 번역했다.

TNT는 ω–불완전하다

박여성(583쪽) : 우리는 TNT의 불완전성이 제8장에서 정의된 것과 같은 “오메가(ω)” 다양성에서 유래한다는 것을 보게 될 것이다.

Hofstadter(450쪽) : We shall see that TNT’s incompleteness is of the “omega” variety – defined in Chapter VIII.

이덕하 : 우리는 TNT의 불완전성이 “오메가” 불완전성 - 8장에서 정의되었다 – 의 일종임을 보게 될 것이다.

a.       “같은 “오메가(ω)” 다양성에서 유래한다”는 잘못된 번역이다.

박여성(583쪽) : 그것들은 모두 다 정리이기는 하지만 그것에 연상되는 “요약하는 연쇄체”가 비정리인 몇 개의 무한한 피라미드형으로 정렬된 연쇄체들의 무리가 있음을 의미한다.

Hofstadter(450쪽) : This mean that there is some infinite pyramidal family of strings all of which are theorems, but whose associated “summarizing string” is a non-theorem.

이덕하 : 이것은, 연쇄체들로 이루어진 어떤 무한한 피라미드형 가족의 경우에는 그 가족에 포함되어 있는 모든 연쇄체들이 다 정리지만 그 가족과 연결되는 “요약하는 연쇄체”는 비정리일 수 있음을 뜻한다.

a.       family를 여기에서는 “무리”라고 뒤에서는 “가족”이라고 번역했다.

b.      “연상되는”은 적절하지 않다.

c.      통 알아먹기 힘들게 번역했다.

구멍을 틀어막는 두 가지 다른 방법

박여성(584쪽) : 이러한 제안은 해롭지 않으며, 결국에는 G가 자연수의 체계에 대한 무엇인가 참인 것을 주장하기 때문에, 오히려 바람직할 것이다.

Hofstadter(452쪽) : This suggestion seems rather innocuous and perhaps even desirable, since, after all, G asserts something true about the natural number system.

a.       seems를 빼먹었다. “해롭지 않은” 것과 “해롭지 않아 보이는” 것 사이에는 때에 따라서 엄청난 차이가 있다.

박여성(584쪽) : 그러나 그렇게 골치 아프고 복잡한 일을 도대체 어떻게 처리할 수 있을까?

Hofstadter(452쪽) : But how can we even contemplate doing such a repugnant, hideous thing?

이덕하 : 하지만 그렇게 비위에 거슬리고 꺼림칙한 일을 한다는 것을 어떻게 상상이라도 할 수 있단 말인가?

a.       “repugnant, hideous”를 “골치 아프로 복잡한”으로 번역하면 안된다. 수학자들은 골치 아프고 복잡하다고 연구를 중단하지 않는다. 예컨대 수학자들이 비유클리드 기하학을 거부했던 것은 복잡했기 때문이 아니라 뭔가 꺼림칙했기 때문이다.

초자연수

박여성(585쪽) : 이러한 접근 – 즉 제5공준을 부정함으로써 생긴 기하학의 많은 “모순적인” 명제들을 증명하려는 그의 접근 – 이 명철함에도 불구하고, 사케리는 점과 선을 다른 방식으로 생각하는 가능성을 시도해보지 않았다.

Hofstadter(452쪽) : Despite the cleverness of his approach – which involved denying the fifth postulate, and then proving many “repugnant” propositions of the ensuing geometry – Saccheri never entertained the possibility of other ways of thiking about points and lines.

a.       “repugnant(비위에 거슬리는)”을 “모순적인”이라고 번역해서는 절대 안된다. 비유클리드 기하학에 모순이 있다면 누가 지금 그것을 연구하겠는가?

b.      아래에서는 repugnant를 “저촉되는”이라고 번역했는데 이것도 문제가 있다.

박여성(585쪽) : 그것은 예를 들면 “무비수”나 “허수”와 같이, 그 이름부터 꺼림칙한 신조어의 명칭에서 특히 두드러진다.

Hofstadter(452쪽) : You can hear this particulary loudly in the names attached to the unwelcome arrivals, such as “irrational numbers”, “imaginary numbers”.

a.       “무비수”에 원어를 병기해 주어야 한다. “irrational numbers”은 “비이성적인 수”라는 뜻도 된다. 이전에는 무리수라고 번역해서 그 뉘앙스를 살렸지만 무비수는 그 뉘앙스를 살리지 못하고 있다. 따라서 원어를 병기해야 “그 이름부터 꺼림칙한”을 독자가 이해할 수 있다.

박여성(585쪽) : 이런 전통에 충실하여 우리는 ~G를 설명해주는 수들을 초자연수(超自然數)로 부르고자 하며, 이를 통하여 그것들이 마치 타당하고 상식적인 모든 개념을 파괴한다는 느낌을 준다는 것을 보여주고자 한다.

Hofstadter(452쪽) : True to this tradition, we shall name the numbers which ~G is announcing to us the supernatural numbers, showing how we feel they violate all reasonable and commonsensical notions.

a.       “which ~G is announcing to us”는 “~G를 설명해주는”이 아니라 “~G가 선언하는”이다.

박여성(585쪽) : 우리가 ~G를 TNT의 여섯번째 공리로서 추가한다면, 방금 언급한 무한한 피라미드형의 가족의 체계 안에서 그것이 도대체 어떻게 공존할 수 있는지를 더 잘 이해했을 것이다.

Hofstadter(452쪽) : If we are going to throw ~G in as the sixth axiom of TNT, we had better understand how in the world it could coexist, in one system, with the infinite pyramidal family we just finished dicussing.

이덕하 : 만약 ~G를 TNT의 여섯번째 공리로서 추가할 생각이라면 도대체 어떻게 그것이 한 체계 안에서 우리가 방금 논의를 마친 무한한 피라미드형 가족과 공존할 수 있는지를 이해해야 할 것이다.

a.       “무한한 피라미드형의 가족의 체계 안에서”는 잘못된 번역이다.

b.      “더 잘 이해했을 것이다”도 문제가 있다.

박여성(586쪽) : u의 대수 콰인화를 통하여 TNT-증명쌍을 만드는 약간의 수가 존재한다.

Hofstadter(452쪽) : There exists some number which forms a TNT-proof-pair with the arithmoquinification of u.

이덕하 : u의 대수 콰인화와 함께 TNT-증명쌍을 이루는 어떤 수가 존재한다.

a.       뒤에 “…를 통하여”라고 번역한 곳에 몇 군데 더 있다.

박여성(586쪽) : 따라서 우리가 그 어떤 기호도 새로 해석하려는 것이 아님을 분명히 밝혀 둔다 – 또한 그것은 가능하지도 않은 일이다.

Hofstadter(453쪽) : we want to get away without reinterpreting any symbols – and of course that will prove impossible.

이덕하 : 우리는 어떤 기호도 재해석하지 않으면서도 잘 해나가길 바란다. 그리고 물론 그것이 불가능하다는 것이 입증된다.

박여성(586쪽) : 그에 상응하여 ∀도 새롭게 정의할 수 있을 것이다.

Hofstadter(453쪽) : As we do this, we shall also reinterpret ∀ in the corresponding way.

a.       “reinterpret”는 “새롭게 정의하다”가 아니라 “재해석하다”이다. 정의와 해석은 엄연히 다르다.

박여성(587쪽) : 따라서 나는 I[허수(虛數)]가 얼마나 큰지 감을 전달할 수 없다.

Hofstadter(454쪽) : so I am afraid I cannot convey a sense of I’s magnitude.

a.       여기서 I는 허수가 아니라 초자연수다.

박여성(587쪽) : 사람들이 그에게 “남자의 다리는 얼마나 길어야 합니까?”라고 물었을 때, 그는 다리를 길게 늘어뜨리면서 “바닥에 닿을 정도로 길면 되지요”라고 말했다.

Hofstadter(454쪽) : When he was asked, “How long should a man’s legs be?” he drawled, “Long enough to reach the ground.”

a.       drawled는 “다리를 길게 늘어뜨리면서 말했가”가 아니라 “점잔빼며 말했다”이다.

박여성(587쪽) : 물론 TNT 안의 어떤 정리도 상이한 여러 생성과정을 가진다. 그래서 I에 대한 나의 성격규정도 별다를 게 없다고 볼 수도 있다.

Hofstadter(454쪽) : Of course, any theorem of TNT has many different derivations, so you might complain that my characterization of I is nonunique.

a.       앞에서는 derivation을 “유도공식”으로 번역했다.

b.      여기에서 nonunique는 “별다를 게 없다”는 뜻이 아니다. 어떤 것이 허수 i이고 어떤 것이 -i인지를 명확하게 규정할 수 없듯이 유일하게 정할 수 없다는 뜻이다.

c.      뒤에서도 nonuniquely를 잘못 번역했다.

박여성(588쪽) : 따라서 우리가 수백 년 동안 잘못된 “i”를 불러왔는지도 모르기 때문에, 아무래도 괜찮다.

Hofstadter(454쪽) : So for all we know we could have been calling the wrong one “i” for all these centuries and it would have made no difference.

이덕하 : 따라서 혹시 우리가 수 세기 내내 엉뚱한 것을 “i”라고 불렀다고 해도 별 차이가 없다.

a.       “모르기 때문에”는 잘못된 번역이다.

초자연적인 정리들은 무한히 긴 생성과정을 가진다

박여성(588쪽) : 자신의 공리 중 하나가 자기 자신의 부정을 증거로 채택한다면, 하나의 체계가 도대체 어떻게 살아남을 수 있는가?

Hofstadter(454쪽) : How can a system survive, when one of its axioms asserts that its own negation has a proof?

이덕하 : 어떤 체계의 공리들 중 하나가 자기 자신의 부정이 증명을 가지고 있다[증명될 수 있다]라고 주장한다면 그 체계가 어떻게 살아남을 수 있을까?

a.       “자기 자신의 부정을 증거로 채택한다면”은 엉터리 번역이다.

초자연수의 더하기와 곱하기

박여성(588쪽) : 초자연수와 관련하여, 증명할 수는 없지만, 내가 독자로서 말하고 싶은 매우 놀랍고도 예기치 못한 사실이 하나 있다(나 자신은 그 증명을 알지 못한다).

Hofstadter(455쪽) : There is one extremely curious and unexpected fact about supernaturals which I would like to tell you, without proof. (I don’t know the proof either.)

a.       증명할 수 없다는 말이 아니라 이 책에서 증명을 제시하지 않겠다는 말이다. 저자 자신이 증명을 모르는 것과 증명 자체가 불가능한 것은 다르다.

박여성(589쪽) : 그리고 다른 열거 목록에서는, 곱해져야 할 두 수의 목록이 주어질 경우, 두 개의 초자연수의 산출물을 위한 3중수 목록을 계산하는 것은 아주 쉽다.

Hofstadter(455쪽) : Under some indexing schemes, it is very easy to caculate the index triplet for the product of two supernaturals, given the indices of the two numbers to be multiplied.

a.       product는 “산출물”이 아니라 “곱”이다.

박여성(589쪽) : 그러나 열거목록이 없을 경우에도 이 둘을 다 계산할 수 있다.

Hofstadter(455쪽) : But under no indexing scheme is it possible to caculate both.

이덕하 : 하지만 이 둘[합과 곱] 모두를 계산할 수 있는 열거 목록indexing scheme은 없다.

a.       완전히 엉터리다.

초자연수들은 유용하지만 ……

박여성(589쪽) : 사실 그 계산은 초자연 실수의 개념을 사용함으로써 새롭게 해석될 수 있다.

Hofstadter(455쪽) : In fact, the calculus can be put on a new footing, using the notion of supernatural real numbers.

이덕하 : 사실 초자연적 실수의 개념을 사용함으로써 미적분학을 새로운 기반 위에 놓을 수 있다.

a.       calculus는 “계산”이 아니라 “미적분학”이다. 박여성 씨는 앞에서 function(함수)을 “기능”으로 product(곱)을 “산출물”로 번역한 바 있다.

박여성(589쪽) : 수학자들의 오래 된 망령과도 같은 dx나 dy 같은 미분표현은, 그것들을 무한히 큰 실수의 역수로 파악하면 완벽히 증명될 수 있다.

Hofstadter(455쪽) : Infinitesimals such as dx and dy, those old bugaboos of mathematicians, can be completely justified, by considering them to be reciprocals of infinitely large real numbers!

a.       justified는 “증명될”이 아니라 “정당화될”이다. 다른 분야에서도 그렇지만 특히 수학에서는 “증명”이 아주 특별한 것을 뜻한다.

박여성(589쪽) : 더 진전된 분석에서의 일정한 정리들은 “비표준 분석”의 도움으로 보다 더 직관적으로 증명될 수 있다.

Hofstadter(455쪽) : Some theorems in advanced analysis can be proven more intuitively with the aid of “nonstandard analysis”.

a.       analysis는 “해석학”, advanced analysis는 “고등 해석학”이다. “더 진전된 분석”이 아니라.

….. 과연 실재하는가

박여성(590쪽) : 형식화의 수순을 밟아감으로써 우리는 이 용어들이 배태할 수 있는 어떤 부정적인 의미도 수용하기도 했다.

Hofstadter(456쪽) : By taking the step of formalization, we were committing ourselves to accepting whatever passive meanings these terms might take on.

a.       passive는 “부정적인(negative)”이 아니라 “수동적인”이다.

박여성(590쪽) : 그러나 – 사케리와 마찬가지로 – 우리는 별로 놀라지 않았다.

Hofstadter(456쪽) : But – just like Saccheri – we didn’t anticipate any surprises.

이덕하 : 그러나 – 사케리와 마찬가지로 – 우리는 놀라운 일이 벌어지리라고는 전혀 예상하지 못했다.

박여성(590쪽) : 그러니 수론이 “당연히” 이러저러하다고 말할 수 있는 근거는 없다.

Hofstadter(456쪽) : Thus, there is no basis on which to say that number theory “really” is this way or that,

a.       really는 “당연히”가 아니라 “실제로”다.

기하학에서의 분지(分枝)와 물리학자들

박여성(590쪽) : 실제의 물리적인 세계에서의 실험들이 그 어떤 다른 형태보다도 기하학의 형태로 설명하면 훨씬 경제적으로 설명될 수 있다고 가정해보자.

Hofstadter(456쪽) : Suppose experiments in the real, physical world can be explained more economically in terms of one particular version of geometry than in terms of any other.

이덕하 : 실제의 물리적인 세계에서의 실험들이 그 어떤 다른 버전의 기하학보다도 특정한 버전의 기하학에 의해 더 경제적으로 설명될 수 있다고 가정해보자.

a.       기하학과 다른 형태를 비교하는 것이 아니라 특정한 버전의 기하학과 다른 버전의 기하학을 비교하는 것이다.

박여성(590쪽) : 그 모델의 작위성에도 불구하고 그 모델이 가지는 예술성 때문에, 몇 가지의 기본적인 중요한 특징들이 도표에 확연히 나타났다.

Hofstadter(456쪽) : Despite – or rather, because of – the artificiality of the model, some fundamental features emerged conspicuously in the graph.

이덕하 : 그 모델의 인위성에도 불구하고, 아니 바로 그 인위성 때문에, 어떤 근본적인 특성들은 그래프에 눈에 띄게 나타난다.

a.       “예술성”…

박여성(590쪽) : 그러한 종류의 사물은 현실의 깊이 갗추어진 속성에 대해서 무엇인가를 발견하기 위하여 “비실제적인” 상황을 사용하는 물리학에서 늘 다시 확인될 수 있다.

Hofstadter(456쪽) : One can see this kind of thing over and over again in physics, where a physicist uses a “nonreal” situation to learn about deeply hidden features of reality.

이덕하 : 물리학자들이 현실의 깊이 감추어진 특성들에 알기 위해 “비현실적인” 상황을 이용하는 그런 일들을 우리는 물리학에서 수도 없이 많이 볼 수 있다.

박여성(591쪽) : 그렇기 때문에 우리는 물리학자가 사용하려는 “참된” 기하학을 표상하는 일종의 기하학을 언급할 때에는 아주 조심해야 한다.

Hofstadter(456쪽) : Therefore, one should be extremely cautious in saying that the brand of geometry which physicists might wish to use would represent “the true geometry”,

이덕하 : 따라서 물리학자들이 사용하고 싶어하는 종류의 기하학이 “참된 기하학”을 나타낸다고 말하려 했다면 매우 신중하게 재고해보아야 할 것이다.

수론에서의 분지와 은행원들

박여성(591쪽) : 만약에 2 더하기 2가 4가 아니라면, 세계 경제는 순식간에 겉잡을 수 없이 붕괴되지는 않을까?

Hofstadter(457쪽) : And moreover, if 2 and 2 did not make 4, wouldn’t economies collapse immediately under the unbearable uncertainty opened up by that fact?

a.       “under the unbearable uncertainty opened up by that fact(그 사실에 의해 열리게 되는 참을 수 없는 불확실성 때문에)”를 빼먹었다.

수론에서의 분지와 메타 수학자들

박여성(592쪽) : 실제로 무엇인가 걱정하는 사람들이 있다면 어떤 결정적인 방식으로 무한한 실체의 본질에 집착하는 그런 사람들이다.

Hofstadter(458쪽) : The only people who might actually be a little worried are people whose endeavors depend in some crucial way on the nature of infinite entities.

이덕하 : 실제로 조금이라도 걱겅할만한 유일한 사람들은 자신들의 작업이 무한한 실체들의 본성에 어느 정도 결정적으로 의존하는 사람들이다.

박여성(592쪽) : 그 층위들은 우리가 믿을 수 있는 수학의 형식주의적인 정의가 가지는 층위들과 명확히 구분되지 않는다.

Hofstadter(458쪽) : Levels are not clearly separated, as the formalist version of what mathematics is would have one believe.

이덕하 : 층위들은, 수학이 무엇인가에 대한 형식주의적 버전에서 믿었던 것과는 달리, 명확히 구분되지 않는다.

박여성(593쪽) : 사실 그것은 TNT의 결정 불가능한 공식들이 아니다.

Hofstadter(459쪽) : In fact, there might be no undecidable formulas of TNT at all.

이덕하 : 사실, TNT에 결정 불가능한 공식이 전혀 없을지도 모른다.

박여성(593쪽) : 그것은 즉 그들이 TNT와 그것의 부정을 공리로 추가하도록 선택할 수 있음을 의미한다.

Hofstadter(459쪽) : That means that they can choose to add either it or its negation as an axiom.

이덕하 : 그것은, 그들이 그것[괴델 연쇄체Gödel sting]을 공리로서 추가할지 아니면 그것의 부정을 공리로서 추가할지를 선택할 수 있음을 의미한다.

a.       둘 모두를 공리로 추가하는 것이 아니라 둘 중 하나를 선택하는 것이다.

b.      it는 “TNT”가 아니라 “괴델 연쇄체”다

힐베르트의 열번째 문제와 거북

박여성(594쪽) : 금세기 초반 힐베르트는 그의 유명한 강연에서, 특정한 부정방정식이 정수로 된 해답을 가지는가의 여부를 결정할 수 있는 유한한 수의 단계들을 결정해주는 일반적인 알고리듬을 찾을 것을 수학자들에게 촉구했다.

Hofstadter(459쪽) : In fact, in a famous lecture at the beginning of th century, Hilbert asked mathematicians to look for a general algorithm by which one could determine in a finite number of steps if a given Diophantine equation has integer solutions or not.

이덕하 : 사실, 금세기 초반에 한 어떤 유명한 강연에서 힐베르트는 주어진 디오판투스 방정식에 정수 해답이 있는지 여부를 유한한 수의 단계들로 알아낼 수 있는 일반적인 알고리즘을 찾아보라고 수학자들에게 촉구했다.

a.       “유한한 수의 단계들을 결정해주는”은 잘못된 번역이다.

박여성(594쪽) : 힐베르트는 그런 알고리듬이 존재하지 않는다는 것을 전혀 의심하지 않았다.

Hofstadter(459쪽) : Little did he suspect that no such algorithm exist!

이덕하 : 그런 알고리즘이 존재하지 않을지도 모른다는 생각을 그는 거의 하지 못했다!

박여성(594쪽) : 우리가 그것에 대한 해답을 찾았다면, 그 체계 안에서 한 증명의 괴델 수로부터, 그 방정식이 해답을 가지지 않는다고 추론할 수 있다.

Hofstadter(460쪽) : if you found a solution to it, you could construct from it the Gödel number of a proof in the system that the equation has no solutions!

이덕하 : 그에 대한 해답을 찾았다면, 그로부터[그 해답으로부터] 그 방정식이 해답을 가지지 않는다는 것에 대한 그 체계에서의 증명의 괴델 수를 구성해낼 수 있다!