미술 속의 수학
황금분할, 황금비율, 황금률
아마도 대부분의 사람들이 황금분할, 황금비율 등에 대해서 들어 보았을 것이다.
그 중에는 공부를 했던 사람들도 있을 것이며 이미 잘 알고 있는 사람들도 있을 것이다.
사물을 대할 때 우리는 그 아름다운 형태나 빛깔이나 구조 등을 통해 그 대상물의 아름다움을 느끼게 되는데 그중 우리의 눈으로 보기에 가장 아름답게 느껴지는 사물의 비율, 분할, 배치 등을 황금분할 또는 황금비율이라고 부른다. 사람마다 기준의 차이는 있겠지만 황금비는 다양한 비율 중에서도 조화가 가장 잘 이루어진 보기 좋은 비율을 말하는 것이다. 그래서 건축물이나 그림 등에서 황금비가 응용되고 있다
피보나치수열과 미술의 관계
여러 가지 수열 중 피보나치수열이라는 것이 있다.
이것은 황금분할의 비로 잘 알려진 수의 배열로 식물, 동물, 곤충, 기상, 우주 등
많은 자연물들의 구조가 이 규칙을 따르고 있는 것으로 알려져 있다.
아래 있는 이미지들이 이 규칙을 따르는 대표적인 것들의 예이다.
(개미, 앵무조개, 솔방울, 큰 뿔 산양, 나무, 태풍의 눈, 은하계)
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/013CC84850F500872F)
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/133DE74850F4FEAB23)
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/0346A94850F4FEA915)
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/1260295050F4F6B836)
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/2150B84850F4FEA605)
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/16697C5050F4F70725)
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/1612F14F50F4F73401)
그러면 피보나치수열은 무엇인가?
피보나치수열은 번식하는 모든 동물의 개체 변화를 수학적으로 파악한 수열이다.
가정 1) 토끼는 죽지 않는다.
가정 2) 근친상간에 대한 생물학적 문제, 윤리적 문제가 없다고 정한다.
가정 3) 한 쌍의 토끼는 매달 암수 한 쌍의 새끼를 낳으며, 새로 태어난 토끼도 태어난 지 두 달 후 부터 매달 한 쌍씩의 암수 새끼를 낳는다.
갓 태어난 한 쌍의 토끼로부터 1년이 지나면 토끼는 모두 몇 쌍이 될까?
1 월 - 갓 태어난 1 쌍의 토끼.
2 월 - 성장한 1 쌍의 토끼.
3 월 - 갓 태어난 토끼 1 쌍과 성장한 토끼 1 쌍.
4 월 - 갓 태어난 토끼 1 쌍과 성장한 토끼 2 쌍.
5 월 - 갓 태어난 토끼 2 쌍과 성장한 토끼 3 쌍.
.......
12월 - 갓 태어난 토끼 55 쌍과 성장한 토끼 89 쌍.(아래 표 참고)
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/1923634A50F4F8A145)
이 식을 이미지로 표시하면 다음과 같이 된다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/2744684A50F4F8C70E)
이를 수열로 나타내면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…와 같이 된다.
이 수열은 앞에 두 수를 더하면 나오는 수를 말한다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/1833074A50F4F8C82B)
피보나치수열의 또 다른 규칙은 어떤 수를 제곱하면 그 수의 앞뒤 숫자를 더해서 나온 수보다 1이 크거나 1이 작다.
예를 들면 숫자 3을 제곱하면(3X3) 9가 되고, 그 앞뒤의 수 2와 5를 더하면 10이 된다.
“1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ……”
이 피보나치수열에서 재미있는 발상은 ‘앞의 수로 뒤의 수를 나누면 결과는 어떨까?’ 이다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/23395B4A50F4F8C91E)
이와 같이 뒤의 수를 앞의 수로 계속 나누어 나가면
1.6181.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890
24497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263544333
89086595939582905638322661319928290267880675208766892501711696207032221043216269548
62629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104432077134494704
95658467885098743394422125448770664780915884607499887124007652170575179788341662562
49407589069704000281210427621771117778053153171410117046665991466979873176135600670
87480710131795236894275219484353056783002287856997829778347845878228911097625003026
96156170025046433824377648610283831268330372429267526311653392473167111211588186385
13316203840052221657912866752946549068113171599343235973494985090409476213222981017
26107059611645629909816290555208524790352406020172799747175342777592778625619432082
75051312181562855122248093947123414517022373580577278616008688382952304592647878017
889921990270776903895321968198615143780.......
이와 같이 순환 꼬리가 없는 무리수가 된다. 이것을 파이( Phi / )라고 한다.
파이 1.618과 황금비(1:1.618)는 무슨 관계가 있을까?
피타고라스의 황금비
우리는 사람을 보거나 동물을 봐도 예쁜 것을 좋아하고, 생명이 있는 생물체나 생명이
없는 물체나 보기 좋은 모양, 듣기 좋은 소리, 편안한 색 등을 선호하게 된다.
사람마다 기준의 차이는 있지만 황금비는 다양한 비율 중에서도 조화가 가장 잘 이루어진
보기 좋은 비율을 말한다. 그래서 건축물이나 그림 등에서 황금비가 응용되고 있다.
황금비를 발견하고 연구한 사람은 고대 그리스의 수학자 피타고라스다.
피타고라스를 중심으로 한 피타고라스학파는 종교적인 색채가 강해지면서 사회에 큰 영향력
을 행사할 정도로 힘 있는 단체였다고 전해지고 있다. 피타고라스학파는 우주는 수로써 설
명이 가능하고, 우주의 질서나 조화는 모두 정수의 비로 표현할 수 있다고 믿었다.
그래서인지 피타고라스학파의 로고(?)에 정오각형 모양을 사용했다고 한다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/1311D24F50F4FAC918)
위 이미지에서처럼 오각형 안의 별 모양에는 숨겨진 황금비가 있다.
오각형에 또 다른 황금비가 숨어 있는데, 다음 그림을 보자.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/1514884F50F4FAE010)
황금비는 여러 가지 가 있는데, 약 1:1.618, 약 1.618:2.618, 약 0.618:1, 약 5:8 등이 있는데,
여기선 1:1.618로 설명하기로 한다.
그럼 1:1.618의 황금비를 구하는 방법을 알아보자.
선분 황금분할 법
면 황금분할 법
위에서 설명한 것처럼 피타고라스가 찾은 황금비인 1:1.618과 맨 앞에서 언급했던 피보나치수열의 1:1.618이 같은 것은 우연일까? 결코 우연이라고 할 수 없다.
자연 속 피보나치수열과 황금비
앞에서 예를 들었던 개미, 앵무조개, 솔방울, 알래스카 큰 뿔 양, 나무, 태풍의 모양, 은하계 모양이
황금비와 어떤 관계인가를 알아보자.
앞 서 설명한 피보나치수열과 면 황금분할 법을 조합해 보자.
아래 그림은 피보나치수열과 황금비의 연관성을 잘 보여주고 있다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/0104B35050F4FC6E12)
사각형 가로세로비가
21 : 34,
13 : 21,
8 : 13,
5 : 8,
3 : 5,
2 : 3
이와 같이 황금비에 해당하는 6개의 사각형이 들어 있고, 앞에 두 수를 더하면 나오는 수
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21은 피보나치수열이다.
그럼 정사각형의 한 변의 길이를 반지름으로 1/4 원을 그리면 다음 그림처럼 된다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/137C525050F4FC701C)
그 원 들을 연결한 모양을 보면 앵무조개, 알래스카 큰 뿔 양, 태풍, 은하계의 모양과
유사한 것을 알 수 있다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/2354B34850F5006007)
개미의 경우 머리가 1이라고 한다면 가슴이 1.618, 가슴이 1이라고 한다면 배가 1.618로 개미의 머리, 가슴, 배의 비례가 황금비다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/185A055050F4F6183C)
식물에서는 꽃잎의 수, 나무줄기와 가지의 수, 잎의 비례 등 많은 곳에서 황금비를 찾아볼 수 있다.
물론 예외의 경우도 있다. 여기서는 해바라기를 예로 들어 설명한다.
해바라기 씨앗의 배열을 보면 나선모양이 두 방향인 구조를 이루고 있다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/271E834F50F4FCDC0E)
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/19178C4F50F4FCED18)
그림 2에서처럼 빨간색 줄 나선 방향으로는 55개가 있고, 그림 3에 파란색 줄 나선 방향으로는 34개가 있다.
해바라기 씨가 이런 식으로 피보나치수열의 수를 따르는 것은 좁은 공간에 최대한 많은 씨를 품기 위한 것은 아닐까?
솔방울도 해바라기와 유사하게 나선모양의 구조를 이루고 있는데, 그 이유는 그런 구조가 햇빛을 최대한 고르게 많이 받을 수 있기 때문일 거라 생각된다.
다음 그림에서처럼 솔방울의 왼쪽 나선과 오른쪽 나선 모두 13개로 피보나치수열의 수인 것을 알 수 있다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/1875125050F4F66B0C)
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/03634F5050F4F69330)
다음은 나무의 경우를 살펴보자. 우리들이 야외로 나가 나무를 그릴 때 한번쯤은 생각해
보고 그려야 할 내용이다.
나무의 종류와 환경에 따라 예외적인 경우도 있지만 다음 그림처럼 나뭇가지는 분명 많은
빛을 받기 위해 어떤 방법을 찾아야 했을 것이다.
- 나뭇가지의 수가 위로 올라가면서 피보나치수열과 같이 1개, 1개, 2개, 3개,
5개, 8개 이런 식으로 가지가 뻗어 나간다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/1964225050F4F6DF30)
또 다른 예로 홍콩야자나무 잎을 보면 반대쪽 잎끼리는 황금비로 자란다.
![](https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/0134254850F4FE9A33)
이렇게 식물이나 동물, 자연계에 많은 것들이 피보나치수열과 황금비의 규칙 안에서
공생하고 있다는 것을 알 수 있다.
그럼 자연과 더불어 살아가는 사람의 몸은 어떨까?
원시시대부터 사람은 다른 동물과는 다르게 도구를 사용했고, 문화를 창조하고, 그 문화 속에서 동물과는 다르게
살아간다고 생각하는 사람의 몸은 동물과 식물, 곤충보다 더욱 철저하게 황금비의 규칙을 따르고 있다.
다음 시간에는 인체 속의 황금비에 대해 알아 보도록 하겠다.