스크랩 미술 속의 수학 - 황금 비율 1

[tomato4758]

미술 속의 수학

황금분할, 황금비율, 황금률

아마도 대부분의 사람들이 황금분할, 황금비율 등에 대해서 들어 보았을 것이다.

그 중에는 공부를 했던 사람들도 있을 것이며 이미 잘 알고 있는 사람들도 있을 것이다.

사물을 대할 때 우리는 그 아름다운 형태나 빛깔이나 구조 등을 통해 그 대상물의 아름다움을 느끼게 되는데 그중 우리의 눈으로 보기에 가장 아름답게 느껴지는 사물의 비율, 분할, 배치 등을 황금분할 또는 황금비율이라고 부른다. 사람마다 기준의 차이는 있겠지만 황금비는 다양한 비율 중에서도 조화가 가장 잘 이루어진 보기 좋은 비율을 말하는 것이다. 그래서 건축물이나 그림 등에서 황금비가 응용되고 있다

피보나치수열과 미술의 관계

여러 가지 수열 중 피보나치수열이라는 것이 있다.

이것은 황금분할의 비로 잘 알려진 수의 배열로 식물, 동물, 곤충, 기상, 우주 등

많은 자연물들의 구조가 이 규칙을 따르고 있는 것으로 알려져 있다.

아래 있는 이미지들이 이 규칙을 따르는 대표적인 것들의 예이다.

(개미, 앵무조개, 솔방울, 큰 뿔 산양, 나무, 태풍의 눈, 은하계)

그러면 피보나치수열은 무엇인가?

피보나치수열은 번식하는 모든 동물의 개체 변화를 수학적으로 파악한 수열이다.

가정 1) 토끼는 죽지 않는다.

가정 2) 근친상간에 대한 생물학적 문제, 윤리적 문제가 없다고 정한다.

가정 3) 한 쌍의 토끼는 매달 암수 한 쌍의 새끼를 낳으며, 새로 태어난 토끼도 태어난 지 두 달 후 부터 매달 한 쌍씩의 암수 새끼를 낳는다.

갓 태어난 한 쌍의 토끼로부터 1년이 지나면 토끼는 모두 몇 쌍이 될까?

1 월 - 갓 태어난 1 쌍의 토끼.

2 월 - 성장한 1 쌍의 토끼.

3 월 - 갓 태어난 토끼 1 쌍과 성장한 토끼 1 쌍.

4 월 - 갓 태어난 토끼 1 쌍과 성장한 토끼 2 쌍.

5 월 - 갓 태어난 토끼 2 쌍과 성장한 토끼 3 쌍.

.......

12월 - 갓 태어난 토끼 55 쌍과 성장한 토끼 89 쌍.(아래 표 참고)

이 식을 이미지로 표시하면 다음과 같이 된다.

이를 수열로 나타내면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…와 같이 된다.

이 수열은 앞에 두 수를 더하면 나오는 수를 말한다.

피보나치수열의 또 다른 규칙은 어떤 수를 제곱하면 그 수의 앞뒤 숫자를 더해서 나온 수보다 1이 크거나 1이 작다.

예를 들면 숫자 3을 제곱하면(3X3) 9가 되고, 그 앞뒤의 수 2와 5를 더하면 10이 된다.

“1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ……”

이 피보나치수열에서 재미있는 발상은 ‘앞의 수로 뒤의 수를 나누면 결과는 어떨까?’ 이다.

이와 같이 뒤의 수를 앞의 수로 계속 나누어 나가면

1.6181.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890

24497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263544333

89086595939582905638322661319928290267880675208766892501711696207032221043216269548

62629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104432077134494704

95658467885098743394422125448770664780915884607499887124007652170575179788341662562

49407589069704000281210427621771117778053153171410117046665991466979873176135600670

87480710131795236894275219484353056783002287856997829778347845878228911097625003026

96156170025046433824377648610283831268330372429267526311653392473167111211588186385

13316203840052221657912866752946549068113171599343235973494985090409476213222981017

26107059611645629909816290555208524790352406020172799747175342777592778625619432082

75051312181562855122248093947123414517022373580577278616008688382952304592647878017

889921990270776903895321968198615143780.......

이와 같이 순환 꼬리가 없는 무리수가 된다. 이것을 파이( Phi / )라고 한다.

파이 1.618과 황금비(1:1.618)는 무슨 관계가 있을까?

피타고라스의 황금비

우리는 사람을 보거나 동물을 봐도 예쁜 것을 좋아하고, 생명이 있는 생물체나 생명이

없는 물체나 보기 좋은 모양, 듣기 좋은 소리, 편안한 색 등을 선호하게 된다.

사람마다 기준의 차이는 있지만 황금비는 다양한 비율 중에서도 조화가 가장 잘 이루어진

보기 좋은 비율을 말한다. 그래서 건축물이나 그림 등에서 황금비가 응용되고 있다.

황금비를 발견하고 연구한 사람은 고대 그리스의 수학자 피타고라스다.

피타고라스를 중심으로 한 피타고라스학파는 종교적인 색채가 강해지면서 사회에 큰 영향력

을 행사할 정도로 힘 있는 단체였다고 전해지고 있다. 피타고라스학파는 우주는 수로써 설

명이 가능하고, 우주의 질서나 조화는 모두 정수의 비로 표현할 수 있다고 믿었다.

그래서인지 피타고라스학파의 로고(?)에 정오각형 모양을 사용했다고 한다.

위 이미지에서처럼 오각형 안의 별 모양에는 숨겨진 황금비가 있다.

오각형에 또 다른 황금비가 숨어 있는데, 다음 그림을 보자.

황금비는 여러 가지 가 있는데, 약 1:1.618, 약 1.618:2.618, 약 0.618:1, 약 5:8 등이 있는데,

여기선 1:1.618로 설명하기로 한다.

그럼 1:1.618의 황금비를 구하는 방법을 알아보자.

선분 황금분할 법

 

면 황금분할 법

 

위에서 설명한 것처럼 피타고라스가 찾은 황금비인 1:1.618과 맨 앞에서 언급했던 피보나치수열의 1:1.618이 같은 것은 우연일까? 결코 우연이라고 할 수 없다.

자연 속 피보나치수열과 황금비

앞에서 예를 들었던 개미, 앵무조개, 솔방울, 알래스카 큰 뿔 양, 나무, 태풍의 모양, 은하계 모양이

황금비와 어떤 관계인가를 알아보자.

앞 서 설명한 피보나치수열과 면 황금분할 법을 조합해 보자.

아래 그림은 피보나치수열과 황금비의 연관성을 잘 보여주고 있다.

사각형 가로세로비가

21 : 34,

13 : 21,

8 : 13,

5 : 8,

3 : 5,

2 : 3

이와 같이 황금비에 해당하는 6개의 사각형이 들어 있고, 앞에 두 수를 더하면 나오는 수

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21은 피보나치수열이다.

그럼 정사각형의 한 변의 길이를 반지름으로 1/4 원을 그리면 다음 그림처럼 된다.

그 원 들을 연결한 모양을 보면 앵무조개, 알래스카 큰 뿔 양, 태풍, 은하계의 모양과

유사한 것을 알 수 있다.

개미의 경우 머리가 1이라고 한다면 가슴이 1.618, 가슴이 1이라고 한다면 배가 1.618로 개미의 머리, 가슴, 배의 비례가 황금비다.

식물에서는 꽃잎의 수, 나무줄기와 가지의 수, 잎의 비례 등 많은 곳에서 황금비를 찾아볼 수 있다.

물론 예외의 경우도 있다. 여기서는 해바라기를 예로 들어 설명한다.

해바라기 씨앗의 배열을 보면 나선모양이 두 방향인 구조를 이루고 있다.

그림 2에서처럼 빨간색 줄 나선 방향으로는 55개가 있고, 그림 3에 파란색 줄 나선 방향으로는 34개가 있다.

해바라기 씨가 이런 식으로 피보나치수열의 수를 따르는 것은 좁은 공간에 최대한 많은 씨를 품기 위한 것은 아닐까?

솔방울도 해바라기와 유사하게 나선모양의 구조를 이루고 있는데, 그 이유는 그런 구조가 햇빛을 최대한 고르게 많이 받을 수 있기 때문일 거라 생각된다.

다음 그림에서처럼 솔방울의 왼쪽 나선과 오른쪽 나선 모두 13개로 피보나치수열의 수인 것을 알 수 있다.

 

다음은 나무의 경우를 살펴보자. 우리들이 야외로 나가 나무를 그릴 때 한번쯤은 생각해

보고 그려야 할 내용이다.

나무의 종류와 환경에 따라 예외적인 경우도 있지만 다음 그림처럼 나뭇가지는 분명 많은

빛을 받기 위해 어떤 방법을 찾아야 했을 것이다.

- 나뭇가지의 수가 위로 올라가면서 피보나치수열과 같이 1개, 1개, 2개, 3개,

5개, 8개 이런 식으로 가지가 뻗어 나간다.

또 다른 예로 홍콩야자나무 잎을 보면 반대쪽 잎끼리는 황금비로 자란다.

이렇게 식물이나 동물, 자연계에 많은 것들이 피보나치수열과 황금비의 규칙 안에서

공생하고 있다는 것을 알 수 있다.

그럼 자연과 더불어 살아가는 사람의 몸은 어떨까?

원시시대부터 사람은 다른 동물과는 다르게 도구를 사용했고, 문화를 창조하고, 그 문화 속에서 동물과는 다르게

살아간다고 생각하는 사람의 몸은 동물과 식물, 곤충보다 더욱 철저하게 황금비의 규칙을 따르고 있다.

다음 시간에는 인체 속의 황금비에 대해 알아 보도록 하겠다.