보의 처짐 ( 모멘트-면적법,moment-area method)

[바니디자인]

[ 보의 처짐 ( 모멘트-면적법,moment-area method) ]

이 방법은 보의 임의의 한 점에서의 처짐이나 회전각을 처짐 곡선 방정식을 구하지 않고 알고자 할 때 특히 유용하다.

모멘트 면적법 제 1 정리

[보의 처짐(1)]의 (1)식으로부터

Mdx/EI항은 위 그림에서 파랗게 칠해진 부분의 면적이다.
위 식을 적분하면

위 식의 우변은 A점과 B점 사이의 M/EI선도의 면적을 뜻하고, 임의의 두 점 A와 B에서 처짐곡선에 그은 접선의 상대각 Θ_ba 는, M/EI선도에서 A와 B사이의 면적의 음의 값과 같다는 말이다.(두 접선사이의 상대각 Θ_ba는 Θ_b가 대수적으로 Θ_a보다 클 때 양(陽)이다. 이 경우 보의 축을 따라 x방향으로 이동할 때 B점이 원점에서 더 먼 곳에 있어야 한다.)

모멘트 면적법 제 2 정리

제 2 정리에서 Θ_a와 Θ_b는 매우 작은 값이어서, A점과 B점에서의 접선은 거의 수평선에 가깝다고 볼 수 있다면, 위 그림에서 수직거리 dΔ는 m1과 m2의 수직거리와 같다고 볼 수 있다. 그러므로,

이것도 적분하면

즉, B점으로부터 A점에서 그은 접선까지의 연직거리 Δ_ba는 A점과 B점사이의 M/EI선도 면적의 B점에 관한 1차 모멘트의 음의 값이다.

집중하중을 받는 단순보를 다시 한 번 보자.

위 그림에서 점선은 A점에서의 접선이다.

M/EI선도의 면적은

그러므로 이 면적의 도심 C는 B점으로부터 (L+b)/3거리에 있다.
모멘트 면적법 제 2 정리에 의해 BB'은 해당 구간 내의 M/EI선도의 B점에 관한 1차 모멘트이다.

그림에서

θ_a가 구해 졌으니 하중 작용점 P위치에서의 처짐은 D'D"에서 D'D를 빼면 된다.

δ_max도 최대값이 생기는 위치(x₁)를 구한 후에 마찬가지 방법으로 구할 수 있다.

θ_e는 0이므로

최대 처짐은 E'E"에서 E'E를 빼면 된다.

또한 최대 처짐은 E점에서 그린 접선과 A사이의 수직 거리와 같으므로, A점과 E점 사이에 있는 M/EI선도 면적의 A점에 관한 1차 모멘트를 구하면 그것이 최대 처짐이 되어 좀더 손쉽게 구할 수 있다.

[박정희장군]

안녕하세요 기계공학을 공부하고 있는 학생입니다. 단순보에 대한 것 이외에 양단고정보로 가정하고 축의 자중을 무시한다고 했을때 처짐량을 구하는 공식 유도는 어떻게 하는지 궁금합니다. 답변부탁드립니다.
[최대처짐이 아닌 하중 작용점에서의 처짐입니다. 분모의 term이 3EI*(L3승) 으로 나오는 텀입니다.]