외각의 크기

[귀뚜라미]

우리를 둘러싼 주변 환경을 살펴보면, 많은 부분이 다각형과 다면체로 이루어져 있음을 발견하게 된다. 학교에서는 다각형과 다면체를 거의 동시에 학습하지만, 다각형에서 다루어지는 성질 중 일부는 다면체에서 전혀 다루지 않고 있다. 이런 것 중 가장 대표적인 내용이 오늘 살펴볼 내각과 외각의 크기에 대한 부분이다.

다각형과 다면체로 이루어진 건축물. 루브르 박물관의 유리 피라미드. <출처: Gettyimage>

평면도형에서 내각과 외각의 크기의 관계

아래 그림과 같이, 볼록 다각형 각 꼭짓점에서 다각형의 내부에 만들어지는 각을 내각이라고 하고, 변의 연장선과 다각형의 변에 의해 만들어지는 각을 외각이라고 한다. 따라서 한 꼭짓점에서 만들어지는 내각의 크기와 외각의 크기의 합은 항상 180°가 된다. 따라서 볼록 n각형에서 내각과 외각의 크기의 총합 T_n은 180n°가 된다.

볼록다각형에서 각 꼭지점의 내각과 외각의 합은 항상 180°.

평면도형에서 외각의 총합

앞에서 볼록 n각형의 내각과 외각의 크기의 총합을 구하여 보았으니, 이를 바탕으로 외각과 내각의 크기의 총합이 어떻게 되는지 알아보자. 앞의 결과를 이용하면 외각의 크기의 총합 O_n은 T_n=180n°에서 내각의 크기의 총합 I_n 을 뺀 값임을 알 수 있다. 볼록 다각형에서 내각의 크기의 합은 아래 그림을 이용하면 간단하게 구할 수 있다.

볼록 다각형의 내각의 합을 구하는 그림
n각형은 n개의 삼각형으로 나눠지므로, n개의 삼각형의 내각에서 360°를 빼면 된다.

볼록 n각형에서 내각의 크기의 총합 구하기 :
n각형의 내부의 한 점을 결정하고, 이 점으로부터 각 꼭짓점에 선분을 연결하면 n개의 삼각형을 얻을 수 있다. 따라서 삼각형 n개의 내각의 크기의 총합에서 내부 한 점에서 만들어지는 360°를 빼면, 내각의 크기의 총합 I_n이 구해진다. 즉, 볼록 n각형에서 I_n은  180n-360=180(n-2)이 된다.

이로부터 볼록 n각형의 외각의 크기의 총합 O_n은 T_n- I_n=180n - 180 (n-2)이므로 360°가 된다. 지금까지의 사실로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

평면도형에서는 볼록 다각형의 종류에 관계없이 외각의 크기의 총합은 항상 360°로 동일하다.

그렇다면, 다면체에서는 어떻게 될까? 이 경우에 대해 구체적으로 살펴보기로 하자.

다면체에서 내각과 외각의 정의

학교에서는 평면도형에 대한 내각과 외각만을 다루고 있다. 하지만 입체도형에서도 동일한 방법으로 내각과 외각을 정의할 수 있다는 것을 기억하자. 여기에서는 입체도형 중에서 우리에게 가장 익숙한 정다면체를 이용하여, 다면체에서 내각과 외각이 어떻게 정의되는지 살펴본다.

좌로부터 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체. <출처: (cc) DTR at Wikipedia.org>

정사면체의 경우, 한 꼭짓점에 정삼각형 세 개가 모여 있는데 이것을 펼쳐 그리면 아래 왼쪽 그림과 같은 전개도를 얻을 수 있다. 이 때, 한 꼭짓점에 모여 있는 정삼각형의 세 꼭지각의 크기의 합을 정사면체 한 꼭짓점에서의 내각이라고 하고, 펼친 전개도에서 내각을 제외하고 남은 각을 외각이라고 한다. 같은 방법으로, 정십이면체는 한 꼭짓점에 정오각형 세 개가 모여 있는데 이것을 펼쳐 그리면 아래 오른쪽 그림과 같은 전개도를 얻을 수 있다. 이 때, 한 꼭짓점에 모여 있는 정오각형의 세 꼭짓각의 크기의 합을 내각이라고 하고, 남은 각을 외각이라고 한다.

정사면체와 정십이면체의 전개도.

위와 같은 다면체에서의 내각과 외각의 정의를 이용하면, 모든 정다면체의 내각과 외각의 크기를 구할 수 있고, 이것을 표로 나타내면 아래와 같다.

다면체에서 내각과 외각의 크기의 관계

다면체에서는 전개도를 그려서 한 꼭짓점에 모이는 모든 꼭지각의 크기의 합을 내각이라고 하고, 남은 각을 외각이라고 정의한다. 따라서 다면체에서는 한 꼭짓점에서 만들어지는 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 합은360°가 됨을 알 수 있다.

다면체에서 한 꼭짓점의 내각의 크기와 외각의 크기의 합은 360°이다.

다면체에서 외각의 크기의 총합

앞에서 제시한 정다면체에서의 외각의 크기의 총합에 대한 표에서 한 가지 공통점을 찾는다면, 모든 정다면체에서 외각의 크기의 총합이 720°로 일정하다는 사실이다.

그렇다면 정다면체가 아닌 다른 다면체에서도 항상 720°의 값을 가질까? 이러한 의문을 품고 그 해답을 아래와 같은 절차로 찾아보자.

첫째, v개의 꼭짓점을 가지는 다면체에서 내각과 외각의 크기의 총합은 위의 성질에 의해서 360v가 된다. 그렇다면, 외각의 크기의 총합은 아래와 같은 방법으로 구할 수 있다.

(외각의 크기의 총합) = 360v - (내각의 크기의 총합)

둘째, 다면체에서 내각의 크기의 총합을 구해 보자. 임의의 다면체에서 모서리의 개수를 e, 면의 개수를 f라고 하면, 오일러 공식에 의해 v-e+f=2 가 성립한다. 그런데, 다면체의 내각의 크기의 총합은 다면체를 이루고 있는 모든 다각형의 내각의 크기의 합과 같다. 이 기본적인 사실로부터 모든 다각형의 내각의 크기의 합은 아래 오른쪽 그림과 같이 분할된 삼각형의 내각의 크기의 총합으로 볼 수 있다.

정6면체(좌)의 전개도(우). 12개의 삼각형으로 분할할 수 있다.

구체적으로 살펴보면, 정육면체의 면을 이루는6개의 정사각형을 12개의 삼각형으로 분할할 수 있으므로, 정육면체의 모든 내각의 크기의 합은 삼각형 12개의 내각의 크기의 합 즉, 180 X 12 = 2160°가 된다.

결국, 다면체의 내각의 크기의 총합은 각각의 면을 삼각형으로 분할할 때, 생기는 삼각형의 개수에 의해 결정됨을 알 수 있다.

 

삼각형으로 분할할 때, 생기는 삼각형으로 개수 구하기 :
모서리의 개수가 e고 면의 개수가 f인 다면체가 있다고 하자. 각각의 모서리는 두 개의 면에 중복되어 사용되고 있으므로, 다면체를 이루고 있는 각각의 다각형 입장에서는 변의 개수가 2e개가 된다. 또한, 2e개의 변을 가지는 한 다각형이 있다면 분할 가능한 삼각형의 개수는(2e-2)개가 된다. 그런데, 2e개의 변이 f개의 다각형을 만들고 있으므로, 2e개의 변을 가지고 있는 f개의 다각형을 삼각형으로 분할할 때, 만들어지는 삼각형의 개수는 2e-2f개가 된다.

즉, 모서리의 개수가 e, 면의 개수를 f인 다면체에서 각각의 면을 이루는 다각형을 삼각형으로 분할하면, 만들어지는 삼각형의 개수는 2e-2f 가 된다. 따라서, 다면체의 내각의 크기의 총합은 180(2e-2f)°가 됨을 알 수 있다.

셋째, 다면체의 외각의 크기의 총합을 구해 보자. 앞에서 구한 공식, 즉,

(외각의 크기의 총합) = 360v - (내각의 크기의 총합)

에 의해서, 외각의 크기의 총합은 360v-180(2e-2f)가 된다. 즉, 아래와 같다.

360(v - e + f)°

그런데, 구와 연결상태가 동일한 다면체에서 오일러 공식 v - e+ f = 2가 성립하므로, 우리가 구하고자 하는 외각의 크기의 총합은 720°가 된다.

다각형과 다면체 외각의 총합은?

지금까지의 사실을 종합하면, 평면도형인 볼록 다각형의 외각의 크기의 총합이 360°로 일정한 것처럼, 입체도형인 다면체에서는 외각의 크기의 총합이 720°로 일정하다.

1. 오목 다각형의 외각

   오목 다각형에서 오목한 꼭짓점의 외각을 어떻게 정의하냐에 대해서는 2가지 방법이 있다. 각 정의에 따라 외각의 총합은 달라진다.

    

   경우1. 오목 꼭짓점에서 외각을 다각형 외부의 각으로 정의한다. 이와 같이 정의하면, 오목 꼭짓점에서 한 내각과 한 외각의 크기의 합은 360°가 된다.

   경우2. 오목 꼭짓점에서 외각을 음의 값으로 정의한다. 이와 같이 정의하면, 오목 꼭짓점에서 한 내각과 한 외각의 크기의 합은 180°가 된다.

글 서보억 / 대구가톨릭대학교 수학교육과 교수