미분 기하학 주어진 곡면들이 정칙곡면인지가 궁금합니다

[무제]

일단 올려놓고 보니 질문이 너무 많네요..
그래서 몇개 도형들이 정칙인지 아닌지만 알려주셔도 정말정말 감사할거 같습니다 (__)

어떤 문제를 풀다가 원기둥 또는 가운데가 뚫린 휴지심 모양 원기둥에서 가우스 보네를 적용해서 푸는 문제가 나왔는데 제 생각에는 그러한 곡면들은 꺾인 부분이 있기 때문에 정칙이 아니라 생각했습니다
정칙곡면은 기하적으로 볼 때 경계를 제외한 내부에서 매끄러운 모양을 띄어야 한다고 생각해서 질문 드립니다

[신선물고기]

저렇게 각진도형은 정칙곡면이 아닙니다. 따라서 가우스-보네 정리하고 연관성은 직접적이지 않습니다. 다만 가우스-보네 공식이랑은 어느 정도 연관이 있습니다.

[신선물고기]

혹시나 해서 말씀드리는데 가우스-보네 공식이 적용되는 곡면상의 도형 중에서 경계가 매끄러운 경우를 가우스-보네 정리에 포함시키기도 합니다.

[신선물고기]

저런 형식의 문제를 풀기 위해서는 곡면을 너무 기계적으로 정칙곡면이라고 생각하기 보다는 출제 의도와 문맥에 맞게 해석해야하는 경우가 있습니다. 문제를 올려주시면 더 구체적으로 말씀드릴 수 있겠으나 지금으로써는 이 정도 말씀드릴 수 있겠네요.

[무제]

타 강사분의 문제입니다

[무제]

그리고 이게 풀이인데

[무제]

이 부분에서 컴팩트곡면에 대한 가우스-보네 정리가 이용된거 같습니다

[무제]

혹시 이런 모양의 곡면에 대해서는 컴팩트곡면에 대한 가우스-보네 정리가 이용될 수 있는 걸까요?
저는 컴팩트곡면에 대한 가우스-보네 정리든 대역적 가우스-보네 정리든 항상 정칙곡면에서만 적용이 가능하다고 알고 있었는데 혹시 그 부분이 오개념일까요?

[신선물고기]

아...
그 타강사 문제라고 하셔서 좀 말씀드리기 조심스럽지만 너무 자의적이고 부자연스럽고 개념적으로 잘못된 문제입니다. 일단 저기 주어진 집합은 경계가 있는 곡면(surface with boundary)도 아니구요. 풀이와 문제를 같이 보면 출제 의도를 파악할수는 있겠으나 문제 워딩이 수학적으로 잘못되었습니다.

[신선물고기]

이 문제는 죄송하지만 제가 들여다보고 해설해드리기 곤란하고 출제자에게 질문을 하시는 편이 좋겠습니다.

[무제]

먼저 출처를 밝혔어야 했는데 뒤늦게 공지를 읽어보고 수정을 했습니다 죄송합니다

그래도 개념적으로 많은 도움이 됐습니다 감사합니다 ~ 🙂🙂

[신선물고기]

말머리를 달아주세요. 이번엔 제가 달겠습니다.

[무제]

옙 유념하겠습니다 ~