.. 해석학을 공부하다 의문이 생겨 이렇게 물어봅니다.
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Compact 의 개념에 대해 좀 더 확실히 설명해 주실 수 있나요?
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하인 보렐 정리에서 실수 공간에서 closed and bounded 이면 된다고 했지만 일반 공간에선 어떻게 되는건가요? 다소 질문이 애매하지만, 아시는대로 적어주세요. 서로 이것에 대해 이야기하는 것만으로도 큰 도움이 될 것 같군요.
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여분으로, Complete, compact를 비교해 보는 것도 재밌을 것 같네요. 이것도..^^
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15년전 기억을 잠시 더듬어서...임의의U(k=1 to 무한)S_k =A에 대하여 유한개의 S_1,S_2,....,S_n이 존재하여 U(k=1 to n)S_k =A 일때 Compact라 하지 않나요?? 예를 들어 open set(0,1) 은 집합을 (1/n,1)으로 잡으면 U(1/n,1)=(0,1)이지만 U(1/n,1)=(0,1)가 되는 n이 존재하지 않는다. 따라서 Compact가 아니겠죠..
Compact라는 것은 용어 그대로 특정 공간에 조밀하게 몰려있다는 뜻이죠. 물론 이게 Topology를 어떻게 정의하느냐에 따라서 저런 직관이 통하지 않을수도있지만, 애초에 시작된 개념은 그렇다는 것입니다. Bolzano-Weierstrass Theorem도 그런의미이고, Sequentially compact도 그런 개념이죠.
일반적으로 finite open cover로 덮을수 있는것을 compact로 정의하면 finite set은 무조건 compact가 되는데, 그건 Compact의 정의에는 맞지만, 그 의미와는 다소 떨어진점이 있죠. 조밀하게 몰려있지 않아도 되니깐요. 그래서 간혹 어떤 책에는 보면 quasi-compact라고해서 finite set을 구분시키는 경우도 있습니다.
컴팩트는... 꽉 차 있다라는... 직관으로... 생각해 보시면 될 듯 싶네요... 스폰지 케익과... 찰떡의 차이... 스폰지 케익은... 부스러기가 잘 떨어지죠? 밀도가 약해서... 찰떡은... 안그렇죠? ㅋ... 전에 떡먹다가... 갑자기... Compact가.. 생각이 나서리...
complete는... complete하지 않은... 곳에다가... 그 사이 사이를.. 조밀하게... 아주 조밀하게 만드는 거라고나 할까요? 다시 말해... 스폰지 케익을... 꽉꽉 눌러서... 아교하구 풀과.. 접착제를 섞어서 열을 가하는 것이라고나 하면... 될 듯 합니다. 실례로... 틈이 많은 유리수에다가 무리수를 넣는 작업이죠...
첫댓글 open covering 에 대해서 알고 나서 정의를 읽어보세요 (0,1)이 compact가 아닌 이유를 생각해보면 쉬울것 같네요
15년전 기억을 잠시 더듬어서...임의의U(k=1 to 무한)S_k =A에 대하여 유한개의 S_1,S_2,....,S_n이 존재하여 U(k=1 to n)S_k =A 일때 Compact라 하지 않나요?? 예를 들어 open set(0,1) 은 집합을 (1/n,1)으로 잡으면 U(1/n,1)=(0,1)이지만 U(1/n,1)=(0,1)가 되는 n이 존재하지 않는다. 따라서 Compact가 아니겠죠..
넘 오래되서 기억이 가물하네요.. 그래도 기억이 좀 나는건 교수님이 여자들 컴팩트를 생각하라해서 기억 나네요.. 컴팩트로 분을 발라 얼굴에 한없이 바르면 얼굴을 모두 바를수 잇고, 그러면 그중 유한번 해서도 화장을 할수 있다고 한것 같은데..ㅎㅎ
Compact라는 것은 용어 그대로 특정 공간에 조밀하게 몰려있다는 뜻이죠. 물론 이게 Topology를 어떻게 정의하느냐에 따라서 저런 직관이 통하지 않을수도있지만, 애초에 시작된 개념은 그렇다는 것입니다. Bolzano-Weierstrass Theorem도 그런의미이고, Sequentially compact도 그런 개념이죠.
일반적으로 finite open cover로 덮을수 있는것을 compact로 정의하면 finite set은 무조건 compact가 되는데, 그건 Compact의 정의에는 맞지만, 그 의미와는 다소 떨어진점이 있죠. 조밀하게 몰려있지 않아도 되니깐요. 그래서 간혹 어떤 책에는 보면 quasi-compact라고해서 finite set을 구분시키는 경우도 있습니다.
컴팩트는... 꽉 차 있다라는... 직관으로... 생각해 보시면 될 듯 싶네요... 스폰지 케익과... 찰떡의 차이... 스폰지 케익은... 부스러기가 잘 떨어지죠? 밀도가 약해서... 찰떡은... 안그렇죠? ㅋ... 전에 떡먹다가... 갑자기... Compact가.. 생각이 나서리...
complete는... complete하지 않은... 곳에다가... 그 사이 사이를.. 조밀하게... 아주 조밀하게 만드는 거라고나 할까요? 다시 말해... 스폰지 케익을... 꽉꽉 눌러서... 아교하구 풀과.. 접착제를 섞어서 열을 가하는 것이라고나 하면... 될 듯 합니다. 실례로... 틈이 많은 유리수에다가 무리수를 넣는 작업이죠...
하이네-보렐 정리에서.... R^n에서 정의된 개념이죠... 다시 말해... R^n이... Completeness를... 가지고 있는 공간이라서요...