대수학 ㅠ(파이)의 역사 - 제 2편

[쀍]

기원전 3세기의 아르키메데스(Archimedes, 287~212 B.C.)의 '다각형법'을 이용하면
이론적으로는 원주율을 소수점 아래로 계속 구해 나갈 수 있었으나, 실제로는 계산상의 어려움이 있다.
그 예로 16세기 독일의 루돌프(Ludolph van Ceulen, 1540~1610)가
평생동안 계산하여 원주율을 소수점 아래 35자리까지 구한 것처럼
다각형법으로는 원주율 ㅠ의 값을 소수점 아래 40자리 정도까지 계산하는 것이 고작이었다.

그런데 17세기에 들어와 뉴튼(Newton, 1642~1727)과 라이프니쯔(Leibniz, 1646~1716)에 의하여 시작된 미적분학과 더불어
원주율 ㅠ를 무한급수로 나타내는 식이 차례차례 발견되었는데,
이러한 무한급수 식을 이용하면 다각형법을 이용하는 것보다 더 쉽게 ㅠ의 근사값을 계산할 수 있었다.

무한급수를 이용하여 ㅠ값을 처음 계산한 사람이 바로
그레고리(Gregory, 1638~1675)였다. 그는

ㅠ/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ....

이라는 무한급수를 발견하였는데, 이 식은 또한

ㅠ/8 = 1/1*3 + 1/5*7 + 1/9*11 + ...

로도 고쳐 쓸 수 있다.

그레고리는 위의 식을 이용하여 ㅠ의 근사값을 계산하였다.
그런데 무한급수로 나타낸 이러한 식을 사용하여 ㅠ값을 계산할 때에는
무한급수가 가능한 한 빨리 일정한 값으로 수렴하는 것이 바람직하다.
그러나 안타깝게도 최초로 발견된 이 무한급수는 수렴하는 속도가 느린 편이라서
원주율 ㅠ의 값을 계산하기에 그디지 적절하지는 못하였다.

그러나 샤프(Sharp, 1651~1742)는 이 식을 조금 변형한 식을 사용하여
1699년에 ㅠ의 값을 소수점 아래 72자리까지 정확하게 구하였다.
이와 같이 원주율 ㅠ를 계산하기 위해 무한급수를 이용하는 새로운 방법이 발견되었는데, 이 때 무한급수는

(1) 가능한 한 빨리 수렴해야 하고
(2) 계산이 쉬워야 한다

는 두 가지 조건을 갖추는 것이 바람직하다.
따라서 이제 원주율 ㅠ의 값을 계산하려는 경쟁은
위의 두 가지 조건을 만족하는 무한급수를 찾는 경쟁으로 바뀌어 갔다.

한편, 오일러(Euler, 1707~1783)는 앞의 두 조건을 만족하는 무한급수로서,

ㅠ/4 = 1/2 - 1/3(1/2)^3 + 1/5(1/2)^5 - 1/7(1/2)^7 + ...
　　　+ 1/3 - 1/3(1/3)^3 + 1/5(1/3)^5 - 1/7(1/3)^7 + ...

을 발견하였다.
이러한 그레고리와 오일러의 발견을 시작으로 원주율을 계산하기에 좋은 무한급수가 차례차례 발견되었다.
마췬(Machin, 1685~1751)은 그레고리의 무한급수를 변형하여 다음과 같은 무한급수를 얻었다.

ㅠ/4 = 4 { 1/5 - 1/3(1/5)^3 + 1/3(1/5)^5 - 1/7(1/5)^7 + ... }
　　　- { 1/239 - 1/3(1/239)^3 + 1/5(1/239)^5 - 1/7(1/239)^7 + ... }

이 무한급수는 오일러가 발견한 무한급수보다 훨씬 빨리 수렴하므로 원주율을 계산하기에 상당히 편리하다.
마췬은 이 급수를 이용하여 ㅠ의 값을 소수점 아래 100자리까지 구하였다.

이처럼 무한급수를 이용하여 원주율을 계산하는 경쟁이 계속되었는데,
그 가운데 중요한 성과들만을 간추려 보면 다음과 같다.

라자포드 : 1841년 소수점 아래 152자리까지
다　　제 : 1844년 소수점 아래 200자리까지
크라우젠 : 1847년 소수점 아래 248자리까지
라자포드 : 1853년 소수점 아래 440자리까지
리 히 터 : 1855년 소수점 아래 500자리까지
샹 크 스 : 1873년 소수점 아래 707자리까지

위의 자료에서 보듯이 샹크스(Shanks, 1812~1882)는 평생 걸려서 1873년에 소수점 아래 707자리까지 계산하기는 하였으나,
1945년 영국의 아턴왕립해군대학(Arton Sea Millitery University in Kingdom)의 훼럭이라는 사람이
샹크스의 계산을 다시 해 본 결과 소수점 아래 528자리에서 착오가 있다는 사실이 발견되었다.

결국 원주율 ㅠ의 값을 계산하는 데 있어서, 원에 내접, 외접하는 정다각형을 이용하는 '다각형법'으로 계산하는 것은
이론상으로는 무한히 할 수 있지만 현실적으로는 루돌프가 평생동안 계산하여 소수점 아래 35자리까지 구한 것에서 알 수 있듯이
소수점 아래 40자리 정도까지 구하는 것이 고작이다.
또한 ㅠ값을 구하기 위해 '무한급수'를 이용하는 방법도 발견되었다.
이는 다각형법보다는 계산이 편리해진 것이지만
이것도 인간이 손으로 계산하기에는 샹크스의 예에서 알 수 있듯이
소수점 아래 500자리를 조금 넘는 정도까지 구해내는 것이 한계이다.

그런데 여기에 컴퓨터가 발명되어 복잡한 계산도 빨리 할 수 있게 되었다.

실제로 최초의 디지털 컴퓨터가 등장한 1949년에는 ㅠ의 값은 소수점 아래 800자리까지 계산되었고,
1961년에는 소수점 아래 10만 자리까지,
1974년에는 CDC 600이라는 컴퓨터로 소수점 아래 100만 자리까지 ㅠ의 값을 계산하였다.
1984년 동경 대학 팀은 슈퍼 컴퓨터로 ㅠ의 값을 소수점 아래 1600만 자리까지 구하였는데,
이는 몇 천 페이지 짜리 책을 메꿀 수 있는 분량이며, 컴퓨터로 약 24시간이 걸린 것으로 알려져 있다.

이러한 ㅠ의 계산은 아르키메데스 이래로 인류의 꿈이었는데,
컴퓨터의 등장으로 현재 ㅠ의 값은 소수점 아래 천문학적인 숫자 자리까지 계산되어 있다.
지금도 그 누군가가 컴퓨터로 이와 같은 작업을 계속하고 있을지도 모르며,
앞으로도 소수점 아래로 계속 구해질 것이다.
그러나 아무리 이렇게 소수점 아래로 계속 구해 나간다 하더라도 근사값일 뿐 완전히 정확한 원주율 ㅠ의 값은 구할 수 없다.
왜냐하면 ㅠ는 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이기 때문이다.

한편, 실제로 원주율 ㅠ의 값은 정밀공업에서도 3.1416이면 충분하고, 일상생활에서는 3.14정도로 충분하다.

그럼에도 불구하고 ㅠ의 근사값을 소수점 아래로 조금이라도 정확하게 구하려는 숱한 노력들을 볼 때
인간의 지적 호기심과 탐구하는 노력은 참으로 끝이 없다.

[☆【MaTh in the world】★]

이거 퍼가구 싶은데여... 그래두 데나여??

[밝히리]

참고자료. 위의 무한급수는 arctan(x) = x - (1/3) x^3 + (1/5) x^5 - (1/7) x^7 + ... 를 이용합니다.(-1 < x <= 1 일때 수렴, x의 단위는 라디안) tan(pi/4) = 1 을 이용해서 pi/4 = arctan(1) 이 그레고리(Gregory)의 급수이고, 오일러(Euler)의 급수는 pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3) 입니다.

[밝히리]

pi/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) 가 마췬(Machin)의 급수이죠. 대학교 과정에서 무한급수를 배운 사람에게는 위에서 말한 복잡한 수식보다는 이렇게 말하는 것이 이해가 빠를 듯 합니다. 이렇게 arctan(x)를 이용한 pi를 구하는 공식은 이것 말고도 몇가지 더 있습니다.

[쀍]

네 퍼가세요 ㅋㅋ

[쀍]

아 네^^ 저도 처음에 님 방식으로 올리는 것을 해 보려고 했지만^^;; 어쨋든 충고 감사합니다 ㅋㅋ

[밝히리]

제 글은 말 그대로 이 글을 읽는 분을 위한 참고자료입니다. 쀍님께 충고하기 위한 글은 아닙니다. ^^;