Re:[수학사랑] 정오각형, 정육각형 작도하기

[폭풍속으로]

..	정오각형 정육각형 작도하기 정육각형은 한 내각의 크기가 120도 이니깐 60도를 두번 작도하면 될 것입니다. 또는 정삼각형 6개를 이용해도 되겠죠..아니면 다음과 같이 해도 됩니다. http://home.hanmir.com/~pi3wi2/drawfigure/six2.htm 그런데 정오각형의 한 내각의 크기는 108도라서 다른 것처럼 쉽게 작도하기는 어려울 것입니다. 아래 홈페이지에는 정오각형의 작도법이 나와 있습니다. http://home.hanmir.com/~pi3wi2/drawfigure/five2.htm 관리자주 : 알려진 정오각형의 작도법은 많이 있습니다만, 위 홈페이지에 난 작도법을 다시 싣고 간단한 증명을 붙입니다. 1. 반지름 OA 와 그 연장선을 긋고, 이 지름과 수직인 선분을 작도하여 원과의 교점을 B 라고 합니다. 편의상 OA = OB = 2a 라고 하겠습니다. 2. 선분 OA 의 이등분점을 작도하고 그것을 C 라고 합니다. 피타고라스의 정리에 의하여 BC = root(5) a 임을 압니다. 3. 점 C 를 중심으로 하고, CB 를 한 변으로 하는 원을 작도하여, OA 의 연장선과 만나는 교점을 D 라고 합니다. 따라서 OD = CD - OC = (root(5)-1) a 가 됩니다. 역시 피타고라스의 정리에 의하여, BD = root(10-2root(5)) a 임을 알 수 있습니다. 4. BD 를 반지름으로 하고, B 를 중심으로 하는 원을 작도하여, 최초의 원과 만나는 점을 E 라고 하고, 삼각형 OBE 를 생각하고, 각 BOE 를 t 라고 할 때, 코사인 제 2 정리에 의하여, cos t = (root(5) - 1)/4 가 됨을 계산할 수 있습니다. 한편 cos(72도) 를 구해 봅시다. s = 72 도 라고 두면, 5s = 360 도입니다. sin(5s) = 5 sin s - 20 sin^3 s + 16 sin^5 s 이므로, 근의 공식에서 sin^2 s = (5+-root(5))/8 인데, sin^2 s = (5+root(5))/8 이다. (sin^2 (45도) = 1/2 보다 크므로) ==> cos^2 s = (3-root(5))/8 임을 안다. ==> cos s = (root(5)-1)/4 즉, cos(72 도) = (root(5)-1)/4 이므로, t = 72 도임을 얻게 되어, 원하는 각 360 도를 오등분했으므로 작도를 끝낼 수 있습니다. 삼각함수의 덧셈정리를 몰라도 cos(72도) 를 구하는 방법을 써 둡니다. 먼저 윗각 A 가 36 도이고, AB=AC=1 인 이등변삼각형 ABC 를 그립니다. 따라서 밑각은 (180-36)/2 = 72 도가 됩니다. 밑각 C 의 이등분선을 작도하여 선분 AB 와의 교점을 D 라고 합니다. 이 때, 삼각형 CDB 도 윗각이 36 도인 이등변삼각형입니다. BC = x 라고 하면, CD = x 임을 알고, CDA 역시 이등변삼각형이므로, AD = x 가 되어, DB = 1-x 임을 압니다. 한편 ABC 와 CDB 의 닮음으로부터 1:x = x:1-x 가 되어야 하므로, x^2 = 1-x, 즉, x^2 + x - 1 = 0 이 성립합니다. 이 식을 풀면, x = (-1+-root(5))/2 인데, x 는 양수이므로, x = (-1+root(5))/2 가 됩니다. cos(72도) = x/2 이므로, 원하는 결과를 얻습니다. 권현직의 수학마당을 방문하시면 다각형 작도 부분에서 위의 과정을 직접 보실 수 있습니다.

[j시나브로]

어이없어라 전세계의 수학자(도)들이 이상의 작도법을 성립 되는것으로 기정사실화 하고있으니 어이없어라 그리고 권현직님의 정다각형 작도중 정5,10,15각형 작도는 이미 성립하지 않는다고 글을실어 놓았건만 눈뜬 장님에 불과한 이들은 허상만 보고있다 그리하여 허상의 법칙만은 모질게도 인용한다 어이없는 일이다.

[허걱~]

이봐요 어디가 틀렸다는 거요. 지적을 해보란 말이오. 응? 응? 응? 응? 도대체 그런건 지적도 못하면서 맨날 눈뜬 장님이니 어쩌니 우주가 어쩌니 우습소. 당신과 예수쟁이(특정교파를 무시하는건 아니오, 다만 이런 사람 있소), 그리고 운동권과는 유사한 점이 발견되오

[허걱~]

늘 자신만의 세계를 가지고 있다. 남의 얘기는 들어보려고도 하지않고 자기자신만의 논리로 자신만의 세계를 강변한다... 내가 봤을때 당신은 그냥 그렇게 착각하고 살아가는게 제일 편할꺼같구려.

[밝히리]

j시나브로님... 상대방의 증명을 반박하기 위해서는 증명과정에서 오류나 논리적인 헛점을 찾는 것입니다. '너는 증명이 틀렸어. 내 설명을 들어봐~~' 이런식으로 반박하는 것은 그리 좋은 방법이 아니란 말이오. 나는 당신의 증명을 반박하는데 당신은 왜 위 증명의 내용을 반박 못하고 당신의 글만 읽으라는 것입니까?

[폭풍속으로]

j시나브로님! 제발 엉뚱한 헛소리 좀 그만하고 위의 증명의 오류를 정확하게 지적하세요! 그렇지 않는한 수푸동에서 님의 주장에 찬성할 수학도는 없습니다. 위 증명의 오류는 무엇입니까? 님의 증명이 옳기때문에 위의 증명은 오류라는 말 이외에 위의 증명과정에 있는 오류를 지적해 주시기 바랍니다. 기대는 않하지만...

[j시나브로]

그림에서 (t)각boe는 72도를 넘어서는 즉 360도의 오등분은 성립되지 않는 그림에 수식이 성립되는 것으로 엉터리 포장을 해놓은것을 믿는자는 그것을 부정하려 하지않는다 그위에 무슨오류를 더 지적할까? 면전에 있다면 당장에라도 그대들의 사고를 바꾸어 놓을수 있으련만...고정관념에는 신마저도 비켜가리라...

[너의 커피향기가..]

-_-;; 계산상 오류는 없는것 같은데..;

[폭풍속으로]

예상했던 결과지만, 결국 j시나브로님은 위의 증명에 있는 작도과정과 계산과정에서의 오류는 찾지 못하는군요. ㅡ.ㅡ 설마 피타고라스의 정리, 코사인 제2법칙, 근의 공식도 인정하지 않는다는 것은 아니겠죠?

[폭풍속으로]

기존의 개념이 옳고 님의 주장이 옳지않다고 생각하는 많은 수학도들이 고정관념에 빠져있다고 말하지만 말고 많은 수학도들이 인정하는 위 증명에서 작도와 계산과정의 오류를 정확히 지적해 보세요! 위 증명에서 오류가 있습니까? 제 질문의 요지는 바로 이겁니다. 위 증명에서의 오류! 그 오류를 말하세요! 제발 ㅡ.ㅡ;

[밝히리]

72도가 안된다면 왜 안되는지를 말해야죠. 그 이유를 정확히 밝혀야 당신의 반박을 다른 사람이 인정할 것입니다. 아니면, 당신의 반박을 다시 반박하던가... 저번에도 지적했지만 j시나브로님은 증명하는 방법에 아직 익숙하지 않아 보입니다. 그러니 당연히 반박하는 것도 익숙하지 않겠지요.

[j시나브로]

임의각 3등분 작도에 대수적 증명은 아무짝에도 쓸모없다 왠냐면 작도가 성립되기 때문에 이문제도 같은 맥락이다 그리고 수일내 간단히 식별할수 있는 그림한장을 다시한번 더 올려 놓으리다 그때 마저도 서로가 평행이라면 부산에서 만남을 기약하리라 하루라도 빨리......

[폭풍속으로]

아무리 말해도 소용없군요. 누가 님의 그림을 보고 싶다고 했습니까? 님의 그림때문에 안되다는 얘기가 아닌 위에 있는 증명의 오류를 말해보라는 그 간단한 질문에 대답하기가 그렇게 어렵나요? 아님 오류를 찾지 못하는 겁니까? 님의 주장에는 관심이 없습니다. 제가 궁금한 것은 위의 증명에 대해 님이 찾은 오류입니다.

[폭풍속으로]

전 "님의 그림때문에 안되다"는 그런 답변을 원하는게 아닙니다. 위에 있는 증명과정 자체에 담겨있는 님이 발견한 오류를 말해보라는 겁니다. "님은 안된다고 그렸고 위에서는 된다고 그렸으니까 그것이 잘못이다"라는 주장을 수푸동에서 받아줄 수학도는 없습니다. 위 증명에 포함된 오류는 무엇입니까?

[j시나브로]

님아 삼각비에 기초한 정오각형 작도의 전개 과정이 성립될수 없는 엉터리 작도라 하였건만 그모양에 겉포장을 달리한 수식의 성립이 무슨 의미가 있는가 임의각에 대한 대수적 증명이 쓸모짝없듯......

[폭풍속으로]

님의 동문서답에 더 이상 할말이 없군요. 마지막으로 한가지만 물어보죠. 도형의 문제를 대수적 문제로 변형하여 연구하는 "대수적 기하학(Algebraic Geometry)"이라는 수학의 분야를 인정하십니까? 아니 공부해 본 적이 있습니까? 아니 들어본 적은 있나요?

[j시나브로]

그대는 임의각 3등분 작도에 관한 대수적 증명의 불성립을 일컬어 지적 하여 놓은것을 왜 확대 왜곡 해석을 하여 보는자들을 왜곡되게 하려는가?

[폭풍속으로]

님이 말하는 것은 "님은 작도를 했는데 기존의 수학에서는 불가능하다고 대수적으로 증명했기 때문에" 대수적 증명이 불성립이라는거 잘 압니다. 단지 그것뿐이지 기존의 대수적 증명에서의 오류는 찾지 못하잖습니까! 기하문제를 대수문제로 접근한 것이 잘못이라고 말하는 님의 말에 동조할 수학도가 얼마나 있을지...

[j시나브로]

기하 문제를 대수적으로 접근한것이 잘못이라고 언급한적이 있었던가? 왜곡 하지말지다 임의각 3등분 작도에서 대수적으로 접근하여간 자체가 허구라고 하였을 뿐인것을......이 뜻은 임의각이 3등분으로 온전히 작도됨을 말함이다.

[yuya]

그말이 그말같은데...,,ㅡㅡ;;;

[JH Law]

무슨 각의 3등분이 신의영역인가. 다른데는 대수적 방법을 써도되고 각의 3등분에는 쓰면 안되게..-_-

[밝히리]

JH Law 님의 말 풀이 : 기하문제를 대수적으로 접근한 것이 잘못이 아니라면, 왜 유독 각의 '3등분작도'라는 기하 문제를 대수적으로 접근한 것이 잘못이란 말입니까? 각의 3등분 작도가 신의 영역이라도 된단 말입니까? 어째서 다른 기하문제의 대수적 접근은 인정을 하면서 각의 3등분 작도문제만 인정을 못하나요?