Re:가설의 증명 부탁드립니다. (안 될 수도 있습니다.)

이 문제의 증명에 앞서 먼저 생각해야 할 것이 있습니다. 1. n개의 선분을 세개이상의 직선이 만나는 교점이 하나도 없게 그을 수 있는가? 2. 만약 n개의 선분을 용케도 모든 교점이 두개의 직선으로만 이뤄지도록 그었다면 그때 나눠지는 영역의 개수가 최대인가? 3. 만약 그렇다면 1번처럼 그었을 때 영역의 수가 n(n+1)/2 +1 이 되는가? 자, 그럼 1번 부터 생각해보죠 제가 그림을 올릴 줄 몰라서 말로만 설명하겠습니다. 오각형도형을 생각해보자구요. 오각형이니깐 변이 다섯개겠지요? 그럼 이번엔 각변을 양쪽으로 무한히 늘려봅니다. 상상이 가시나염?ㅡㅡ;(공책에 오각형을 먼저 그리구 긴 자를 각변에대고 쫙쫙 그어보세요^^;;) 자!!!!!이방법이 바로 선분 다섯개로 1번의 조건을 만족하게 직선을 긋는 방법입니다. 딩~~~~~~~~놀랍죠?(아니라구여?ㅜㅜ....이거 생각하는데 꽤 걸렸다구여) 음...어떻게 이방법이 1번을 만족하냐구여? 그건 다음과 같이 역으로 생각해보면 알 수 있답니다. 예를 들어 한점에 세개의 직선이 지나간다고 생각해보세요 ...님은 이 세개의 직선 모~~~~두가 어떤 도형 각각의 변을 이루도록 그릴 수 있나요?(단 도형의 꼭지점은 각 직선의 교점이구요 이 세직선 말고 필요한만큼 다른 직선을 끌어들여도 되요... 단 명심 하실 것은 이 세직선을 포함하여 끌어들인 직선 모~~~두 님이 만들고자하는 어떤도형의 각변을 이루고 있어야합니다.) 한번해보세요ㅡㅡ;안되져? 그러니깐 n각형을 먼저그리구 각변을 무한히 늘리는 방법이 바로 1번을 만족하게 선분을 긋는 거라는 거 이제 아시겠죠? 참 만약 n이 엄청크다면 도형은 거의 원의 모양을 가지게될것이고 수많은 각 선분들은 원의 접선처럼 보일 것입니다.(꽤 멋진 모습이네요...) 그럼 이제 1번의 질문은 yes라고 대답하고 2번으로 넘어가죠 2번 질문의 요점은 이겁니다. '그래 용케도 잘 그리긴 했는데... 그게 각영역의 갯수를 최대로 만드는 방법이란걸 어떻게 알어?'딩~~~~~찬물을 끼얹는 질문이군요... ㅠㅠ...이건 정말로 그림없인 설명하기 어려운 질문이군요... 이 문제에 답하기 위해선 다음의 사실을 뼈저리게 느껴야 합니다.... 이제 부터는 노트에 그려보시면서 따라해보세요... 먼저 공책위에 연필로 성의없이 선분하나를 찌익~~긋습니다. 그다음에 또하나의 선분을 이전 선분과 비스듬히 만나도록 찌익 긋습니다. 또 그다음에 이전의 두선분과 만나도록 세번째선분 역시 비스듬히 긋습니다. 네번째 선분역시 이전의 세선분들과 각각 한번씩 만나도록 비스듬히 긋습니다. (단!!!!선분은 한방향으로 계속 추가해 나가세요...그리구 항상 1번 조건을 만족하게 그셔야 합니다. 계속 ...한 10번쯤 그렇게 해나가다 보면 선분이 예쁘게 돌아가면서 중심에 구(타원)비스므리한 도형이 생기는 것을 보실 수 있져? 이게 바로 제가 아까 말씀드린 1번그리기 방법과 역순으로 1번을 만족하는 그림을 그리는 방법이져... !!!!여기서 주의하실 것은 지금 님이 하신 방법이 영역이 최대로 많아지는 방법이냐를 따져봐야한다는 겁니다. 이번엔 방금전에 했던 그대로의 방법을 다시 하시면서 각각의 선분을 그을 때마다 몇개의 영역이 새로 생기는 지를 유심히!!!!관찰해 보세요. 만약 방금 4번째 선분을 그으셨다면 그 4번째 선분은 분명 첫번째, 두번째, 세번째 선분과 각각 한번씩 만났겠네요(총3번) 그럼 4재 선분을 긋기전의 영역의 수와 4번째 선분을 긋고난후의 영역의 수를 비교해보죠... 앗~~~~! 4개가 늘어났군요...이제 다시한번 네번째 선분이 지낙나 영역을 유심히 보세요.먼저 네번째 선분은 첫번째 선분과 만나기 전에 한개의 영역을 두개로 나누기 시작하죠...그리구 그작업은 첫번째 선분과 만남으로써 끝나게 됩니다. 그다음 네번째 선분은 두번째 선분과 만나기 전에 또 한개의 영역을 두개로 나누기 시작합니다. 그리구 또 두번째 선분과 만남으로써 작업을 끝내게 되지요....네번째 선분은 세번째선분(마지막선분)만나기까지 그 짓을 계속하게되죠...그럼 여태껏 3개의 영역을 6개로 불려놨네요...그런데 여기서 끝내지 않고 네번째 선분은 세번째 선분을 만난다음 마지막으로 한개의 영역을 하나더 만들어 버립니다. 총4개의 영역을 새로 만들어 버렸죠ㅡㅡ; 자! 정리를 하면 n번째의 선분은 이전의 선분들과 n-1번 만납니다. 그리고 n번째 선분은 계속해서 그가 지나가는 길을 좌우로해서 한개의 영역을 2개의 영역으로 나눕니다. 이것은 n번째 선분이이전의 n-1개의 선분중 그 어느 것하나와도 일치하지 않기 때문에 그렇습니다. 마지막으로 이 n번째 선분은 이전의 선분들과 n-1번을 만납니다.!!!!!!!!!!!!!!! 이것이 키입니다. 만약 n번째 선분이 이미 두 선분이 만나고 있는 교점을 한번이라도 지나간다면 n-1번이나 만날 수 없겠죠 ...그리구 그러면 n번째 선분이 쪼개놓을 수 있는 영역의 수도 그 갯수만큼 줄어들 것입니다. (선분은 다른직선과 만나기전과 만난후 계속해서 영역을 쪼갭니다.) 여기서 그것을 규칙화하면 [한 선분은'다른 선분과 만난횟수+1'만큼 새로운 영역을 만든다]가 되겠죠. 예를 들어 한 선분이 6번(6개가 아닙니다!!.한꼭지점에 세개의 선분이 만날수 도있으니깐요) 다른 선분과 만난다면 그선분은 그 선분이 없었을 때보다 7개의 영역을 만들어내는거죠... 이제 마지막 3번을 이야기할 차례군요 1번째 선분을 긋기전 영역의 수는 1 1번째 선분을 그었을때의 영역의 수는 1+1=2 2번째 선분을 그었을때의 영역의 수는 1+1+2---(2가 첨가) 3번쨰 선분을 그었을때의 영역의 수는 1+1+2+3 ... ... ... n번째 선분을 그었을떄의 영역의 수는 1+1+2+3+4+5+... ...+n =1+(1+2+3+4+5+... ...+n)= 1 + n(n+1)/2 가 되죠 ps 이상 허접한 설명 보신것 감솨드립니다 ㅠㅠ...역시 그림없인 힘들군여