꽤 긴 논쟁이었기에 호기심을 가지고 읽어보았는데, JK@dps 님은 몇 가지 잘 못 아시거나 논리적 허점이 있는 것들이 있어요. 하지만 그것을 아무 근거 없이 제가 아는대로 적는다면 분명 발끈하실 듯해요.^^ 지금 고교 교과서를 가진 것도 없고, 정리도 하려면 시간이 걸릴 듯하니, 교과서나 그 파일을 얻게 되는대로 몇 말씀 드리겠어요.
@JK@dps제시하신 교과서 내용은 함수의 증가, 감소와 관련해서 갑자기 뚝 떨어진 내용이 아니예요. 요점은 이렇게 미분을 이용했을 때, "구간에서 증가, 감소한다"는 의미와 정의에 적합한지가 중요한 거예요. 그리고, "f'(x)>0"은 "구간에서 증가"나, "그 점에서 증가상태"의 정의가 아니예요.
2. 다음의 앞부분은 "점에서의 증가 상태"에 대한 의미이고 정의예요. f(a-h)<f(a)<f(a+h)를 x=a에서의 증가상태라고 하며, f'(a)>0이면 x=a에서 증가상태임을 설명하고 있고, 왼쪽 아래부분에서는 y=x^3이 x=0에서 f'(0)=0이지만, x=0에서 증가상태임을 부연하고 있어요.즉, f'=0이 어떻게 증가가 될 수 있느냐는 JK@dps님의 물음에 대한 답이예요. 다시 풀어 설명하면 다음과 같아요. "f'(a)>0 이면 f(a-h)<f(a)<f(a+h)를 만족하지만, f(a-h)<f(a)<f(a+h)라고 해서 f'(a)>0는 아니다." 즉, x=a에서 증가상태인지를 확인하는 조건으로 f'(a)>0 만으로는 불충분해요.
3. 다음은 JK@dps님이 제시한 것과 같은 내용을 담고 있어요. 이것이 바로 이전의 것에서 연결되는 것임을 잊지 마세요. 바로 이전의 것은 x=a에서 f'(a)>0이면 그 점에서 증가하는 상태인 것을 의미하고, 이것은 미분가능한 개구간(a,b)에 포함된 모든 x에 대해 증가하는 상태(f'(x)>0)이면, 그 개구간에서 증가한다는 설명이예요. 친절하게도 왼쪽 아래부분에는 "모든 x에 대해 증가상태이면 증가함수"라고 설명하고 있어요. 그러니, JK@dps님이 주장하듯이 "증가상태"라는 용어나 그 의미를 없애버리고 나면, 이런 설명을 할 수 없고, 무슨 "개정의 오류가 정리"되는 차원의 설명이 아니예요. 일단, JK@dps님의 제시한 것과 같아요.
4. 다음은 함수의 증감에 대해 그 다음 단계까지 정리한 내용이고, 교학사 수2(황석근 외,2010) 에서 발췌되었어요. 이것을 보면 증가 범위가 폐구간이 되는 이유를 알 수 있어요. 만약, "개구간 (a,b)에서 증가한다"고 해도 틀리지 않는 표현이지만, "증가 구간 전체가 (a,b)"인 것은 아니예요. 어떤 x=a에서 f'(a)>0이면 일단 x=a에서 증가상태이고, x=a를 포함한 적당한 개구간에서 증가하며, 극값을 가지는 x=b에서는 증가상태가 아니지만, 극점을 포함하는 구간에 대해서도 "(어떤) 구간에서 증가"하는 것의 정의에 어긋나지 않아요.
또 한 가지, 증가 구간이 개구간이어야 하는 이유가 양 끝점에서 미분이 가능하도록 하기 위해서라는 것은 잘못된 생각이예요. 만약 그러하다면, JK@dps님의 의견대로 증가 및 감소 구간을 개구간으로 정했을 때, 서로 인접한 증가 구간(개구간)과 감소 구간(개구간) 사이에 있는 단 하나의 점은, (따로 떼어냈기에 미분할 여지도 없고 크기를 비교할 다른 점도 없는데) 무슨 근거로 극점이라고 할 수 있을까요? 본래의 함수는 구간 전체에서 미분이 가능하고, 그 중에서 구간을 골랐을 뿐, 증가 구간이라고 골라낸 폐구간만 따로 떼어내 양 끝에서 미분이 불가능하다고 하는 것은 어불성설이예요.
....폐구간 끝 점에서 미분이 불가능하다는 것은, 그 폐구간에서만 함수가 정의되었을 때예요.
이상에서 f'(a)>0라는 조건은 x=a에서 증가상태임을 확실히 하고(역은 성립하지 않음), 미분가능한 구간(즉, 개구간) 내의 모든 x에 대해 f'(x)>0 (즉, 모든 x에서 증가상태)이면, 반드시 그 구간(개구간)에서는 증가하는 함수예요. 단, 그 함수가 개구간에서만 정의된 경우라면 여기까지로 충분하지만, 폐구간에서 정의되었거나, 관심있는 구간을 모두 포함하는 더 넓은 구간에 정의되었다면, 4.에서 살펴보았듯이 "폐구간에서 증가한다"는 것이 옳아요.
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'엄밀하게들여다봤더니' 비상에서'충실한설명'을했다?
위에두개의예시는 보다시피딱히설명이란게없지요
증감표나타내고,결론만냈는데,단지결론만다른겁니다
미분과정에서다루기땜에그렇지만,증가감소는원래연속과도무관한겁니다
그냥주어진구간(개구간,폐구간에상관없음)내에서 임의의두원소x1<x2에대해,f(x1)<f(x2)면
구간에서증가하는함수인겁니다
'구간에서증가한다'는건 이런의미인거고 미분계수로평가하는건
미분가능한함수일때 테스트편하게하는방법이지요
그러니 첫번째예제에서 개구간으로놔도 틀린표현이아니지만 증가구간전체를구하려면 경계가포함되야하는겁니다
@JK@dps 아니지요
그런경계값은 증가,감소의의미에비추어 증가범위에도,감소범위에도포함되는겁니다
@JK@dps 증가라는건 미분과전혀관계없습니다
구간내에서x1<x2면,f(x1)<f(x2)일때 증가지요
도대체,좌미분값과우미분값이다르면 증가감소와관련해서무슨문제가생기는지 들어나봅시다
@JK@dps 그러니까,좌미분과우미분이다르면 무슨문제가생기는지들어나보자는겁니다
@JK@dps 그얘기는 좌미분,우미분이다를때무슨문제가생기는지 말할수없다는겁니까
앞에서얘기했듯이 '열린구간에서증가한다'고표현해도,표현자체로틀리지않다고했지요
다만,증가구간전체를구하려면경계가포함되어야한다는뜻입니다
좌미분,우미분얘기나들어봅시다
@JK@dps 그래서 그이유가뭐라는겁니까
저는앞에서얘기했습니다
미분가능한함수일때는 '구간내에서x1<x2면,f(x1)<f(x2)'를따지는것보다
미분계수이용하는게 테스트하는게편해서라고말이지요
(한얘기를또하지않게하셨으면좋겠군요)
그러니 이젠'왜미분계수로증감을논하는지'와, '좌미분,우미분'얘기 들어나봅시다
@JK@dps 좌미분,우미분만존재하지요
쓸데없이되묻지말고 그냥 설명하시면좋겠군요
@JK@dps 말했지않습니까
양끝을 좌우미분계수중하나만존재한다고
정말이렇게계속 설명을회피하시겠습니까
@JK@dps 만약정의역이한정되어있고 폐구간이라면,좌우미분계수중하나만존재하지요
하지만정의역이실수전체라면 그중일부구간을한정했을때 구간한쪽끝은 미분계수가존재할수도,그렇지않을수도있지요
@JK@dps 예를들어[0,무한대)의범위일때,x=0에서미분계수값이무한히많이존재한다구요?
누가그럽디까?
본래미분계수는,x=a전후에대해좌미분계수와 우미분계수가존재하고,같아야하기때문에
정확히는닫힌점에서미분계수는없는겁니다
극한의관점에서만,우미분계수만존재한다고할뿐이지요
그리고,님은,위에있는'증감구간에관한문제'를다루는자료를보고 어느쪽이더낫다고말한것인데
이제와서증가감소문제가아니라고하겠습니까
@JK@dps 그럼확실히말씀해보시지요
이문제는,증가,감소에대한문젭니다
극점을구간에포함시키면'잘못'이라고봅니까
즉,증가구간을구하라고할때'개구간'이어야만한다고보느냐고묻는겁니다
무엇보다도,증가의대원칙은 앞에서도말씀드렸고 미분계수로평가하는것은소원칙인데말이지요
뭐가닫힌점이라는겁니까
원래위에서말한 3차함수들은 전구간함수인데말이지요
증감의경계가되는극값을 증가구간에포함시키는것과관계없이 그점에서는y'=0이지요
닫힌구간에서 극대극소를말할수없는것은,'정의역'이 [0,무한대)에서y=x^2일때x=0에서극값이냐'문제를따질때지요
이때는 극값이아니지요
하지만,이건정의역이전체구간이고,그중에증가구간을선택하는겁니다
증가구간에극값을포함시켰다고,그게극값이되기에문제가있는건아니지요
님이말하는'특정지점에서극대극소이야기할때 닫힌점이면그런문제가있을수도...'같은 그런문제는없다는겁니다
@JK@dps y=x^3가x=0에서증가한다고는말했지만 과연극점이라고한적이있었습니까?
자꾸극값을운운하면서 미분을같이말씀하시는데 극값조차도미분과는관계없습니다
어떤x1을 포함하는적당한개구간에서f(x1)가가장크면그게극대값이되는겁니다
역시이때도 미분가능한함수면 미분사용하는게 '편하니까'그렇게하지요
그래서 예외같은게있는겁니다
게다가f'(x)=0만으로극값을판단할수없다는사실은,이얘기와는전혀관계없는얘깁니다
@JK@dps 증가감소만이야기하면말이되는데 극점일때만 열린점만된다구요?
무슨말이그렇습니까?
롤의정리만있는게아닙니다
평균값정리도있지요
@JK@dps 허허......두정리의구간에대해서 모르는사람취급을하는겁니까
님의생각은 인지는되지만 틀렸기때문에인정하지는못합니다
첫째,이함수는폐구간이정의역인함수가아니라 전체연속함수이므로,
증감구간을 폐구간으로정했다고해서 경계인극점에서 f'(x)가존재하지않는게아니라는점
둘째,증가구간을정하는데 소원칙인미분을 대원칙보다앞세운다는점
@JK@dps 글쎄그'이슈'로삼고싶은게뭔지몰라도 제일처음 질문자의질문(우선시되어야하는)에조차 전혀상관없는얘기를하고있는겁니다
@JK@dps x=a에서증가하고있다는것은 적당한양수h에대해 f(a-h)<f(a)<f(a+h)라는겁니다
y=x^3이f'(0)=0인데도x=0에서증가인이유지요
@JK@dps 그럼이제라도확인하시지요
'어떤구간에서증가한다'는것은 구간내의임의의두점x1<x2에대해f(x1)<f(x2)인것,
'어떤점x=a에서증가한다'는것은 적당한양수h에대해 f(a-h)<f(a)<f(a+h)라는것.
기울기=0인것과 그점에서증가감소상태가아니라는것은 같지않습니다
@JK@dps 증가상태라는용어가 현교육과정에서쓰이지않는다고존재하지않는다고생각하는겁니까?ㅎㅎ우습군요
예전교과서에서 미분에서극값을다루고정의할때 불연속일때극값이될수없다고오해하는이가많았지만
그때도역시극값의정의는변한적이없지요
증가상태도마찬가집니다
그점에서증가한다는건 위와같이정의하지요
구간을이야기한다구요?점과구간에대해모두이야기하고있지요ㅎ
댓글 추가요
꽤 긴 논쟁이었기에 호기심을 가지고 읽어보았는데, JK@dps 님은 몇 가지 잘 못 아시거나 논리적 허점이 있는 것들이 있어요.
하지만 그것을 아무 근거 없이 제가 아는대로 적는다면 분명 발끈하실 듯해요.^^
지금 고교 교과서를 가진 것도 없고, 정리도 하려면 시간이 걸릴 듯하니,
교과서나 그 파일을 얻게 되는대로 몇 말씀 드리겠어요.
@JK@dps 제시하신 교과서 내용은 함수의 증가, 감소와 관련해서 갑자기 뚝 떨어진 내용이 아니예요. 요점은 이렇게 미분을 이용했을 때, "구간에서 증가, 감소한다"는 의미와 정의에 적합한지가 중요한 거예요.
그리고, "f'(x)>0"은 "구간에서 증가"나, "그 점에서 증가상태"의 정의가 아니예요.
지금부터 제가 제시하는 교과서는 모두 2010년에 나온 것으로 현 고3이 사용하는 것이니,
그런 내용은 모두 사라졌다는 둥 하는 식은 가능하지 않아요.
또한, 교과서는 증가 및 감소를 모두 다루고 있으나 저는 편의상 증가에 대해서만 언급할
거예요.
1. 수2, 지학사, 이강섭 외.
이것은 "(어떤) 구간에서 증가"한다는 의미이고 정의예요.
이것은 "구간 증가"에 대한 원초적인 정의로서 연속은 물론 미분과도 상관이 없고,
당연히 그 구간이 폐구간인지 개구간인지와도 상관 없어요.
2.
다음의 앞부분은 "점에서의 증가 상태"에 대한 의미이고 정의예요.
f(a-h)<f(a)<f(a+h)를 x=a에서의 증가상태라고 하며, f'(a)>0이면 x=a에서 증가상태임을
설명하고 있고, 왼쪽 아래부분에서는 y=x^3이 x=0에서 f'(0)=0이지만, x=0에서 증가상태임을
부연하고 있어요.즉, f'=0이 어떻게 증가가 될 수 있느냐는 JK@dps님의 물음에 대한 답이예요.
다시 풀어 설명하면 다음과 같아요.
"f'(a)>0 이면 f(a-h)<f(a)<f(a+h)를 만족하지만, f(a-h)<f(a)<f(a+h)라고 해서 f'(a)>0는 아니다."
즉, x=a에서 증가상태인지를 확인하는 조건으로 f'(a)>0 만으로는 불충분해요.
3.
다음은 JK@dps님이 제시한 것과 같은 내용을 담고 있어요.
이것이 바로 이전의 것에서 연결되는 것임을 잊지 마세요.
바로 이전의 것은 x=a에서 f'(a)>0이면 그 점에서 증가하는 상태인 것을 의미하고,
이것은 미분가능한 개구간(a,b)에 포함된 모든 x에 대해 증가하는 상태(f'(x)>0)이면,
그 개구간에서 증가한다는 설명이예요.
친절하게도 왼쪽 아래부분에는 "모든 x에 대해 증가상태이면 증가함수"라고 설명하고 있어요.
그러니, JK@dps님이 주장하듯이 "증가상태"라는 용어나 그 의미를 없애버리고 나면,
이런 설명을 할 수 없고, 무슨 "개정의 오류가 정리"되는 차원의 설명이 아니예요.
일단, JK@dps님의 제시한 것과 같아요.
4.
다음은 함수의 증감에 대해 그 다음 단계까지 정리한 내용이고, 교학사 수2(황석근 외,2010)
에서 발췌되었어요.
이것을 보면 증가 범위가 폐구간이 되는 이유를 알 수 있어요.
만약, "개구간 (a,b)에서 증가한다"고 해도 틀리지 않는 표현이지만,
"증가 구간 전체가 (a,b)"인 것은 아니예요.
어떤 x=a에서 f'(a)>0이면 일단 x=a에서 증가상태이고, x=a를 포함한 적당한 개구간에서
증가하며, 극값을 가지는 x=b에서는 증가상태가 아니지만, 극점을 포함하는 구간에 대해서도
"(어떤) 구간에서 증가"하는 것의 정의에 어긋나지 않아요.
또 한 가지, 증가 구간이 개구간이어야 하는 이유가 양 끝점에서 미분이 가능하도록 하기 위해서라는 것은 잘못된 생각이예요. 만약 그러하다면, JK@dps님의 의견대로 증가 및 감소 구간을 개구간으로 정했을 때, 서로 인접한 증가 구간(개구간)과 감소 구간(개구간) 사이에 있는 단 하나의 점은, (따로 떼어냈기에 미분할 여지도 없고 크기를 비교할 다른 점도 없는데) 무슨 근거로 극점이라고 할 수 있을까요?
본래의 함수는 구간 전체에서 미분이 가능하고, 그 중에서 구간을 골랐을 뿐, 증가 구간이라고 골라낸 폐구간만 따로 떼어내 양 끝에서 미분이 불가능하다고 하는 것은 어불성설이예요.
....폐구간 끝 점에서 미분이 불가능하다는 것은, 그 폐구간에서만 함수가 정의되었을 때예요.
이상에서 f'(a)>0라는 조건은 x=a에서 증가상태임을 확실히 하고(역은 성립하지 않음),
미분가능한 구간(즉, 개구간) 내의 모든 x에 대해 f'(x)>0 (즉, 모든 x에서 증가상태)이면, 반드시 그 구간(개구간)에서는 증가하는 함수예요. 단, 그 함수가 개구간에서만 정의된 경우라면 여기까지로 충분하지만, 폐구간에서 정의되었거나, 관심있는 구간을 모두 포함하는 더 넓은 구간에 정의되었다면, 4.에서 살펴보았듯이 "폐구간에서 증가한다"는 것이 옳아요.
확실히 해 두어야 할 것은, 미분을 통해 증가구간을 판단하는 방법은 1.과 2.를 만족하는지 확인하기 위한 최소한이라는 거예요. 그것은 어디까지나 1.과 2.를 만족하도록 정하는 것이 옳아요.