[수학문제 푸는 동네] 오래두고 가까이 하는 책 - 원론

[폭풍속으로]

                                       

-작성자.. 박성호.. 올린날짜04.08.04 해변이 그리운 밤

 인간의 역사상 최고의 베스트셀러는 무엇일까?

그것은 아마도 성경일 것이다. 어느 철학선생님께서 최고의 베스트셀러인 성경도 끝까지 안 읽어 봤냐고 다그치는 바람에 다 읽어본 기억이 있다. 그때 읽어보길 상당히 잘했다는 생각이다. 다른 사람 다 읽어본 책도 모른 채 살아가기에는 왕따당할 염려도 있고 동시대를 살아가는 사람이라기에는 뒤쳐진 감이 있기 때문이다.

그리고 대박에는 대박인 이유가 있다는 말처럼 전세계 최고 베스트 셀러에는 뭔가가 있었다. 내가 느끼는 문화의 한쪽 뿌리를 만져본 느낌이었다. 그리고 종교, 사랑, 다른사람들, 종교속 인물들, 그리고 나에 대해서도 느끼는 바가 있었다.

 그럼 1등뒤에 숨겨진 2등은 어느 책을 꼽아야 할까?

대부분의 사람들이 스테디 셀러로 말하는 책은 예상외로 수학책이다.

바로 최근까지 유럽의 한 학교에서 교재로 사용했던 수학자 유클리드가 지은 ‘원론’이다.

 원론을 지은 유클리드는 BC 300년경에 활약한 그리스의 수학자로 유클레이데스라고도 부른다. 그리스식 표기는 Eukleides. 그리스기하학, 즉 ‘유클리드기하학’의 집대성자이다.

그러나 그의 명성에도 불구하고 일생에 대해서는 거의 알려진 바가 없고 심지어 출생지조차 불분명하다. 그가 한 말이 존재할 뿐이다.

유클리드 광학, 천문학, 역학, 음악에 관해서도 많은 책을 썼다는 사실 때문에 당시에는 원론의 명성이 종종 가려질 때도 있었다. 하지만 뒤의 수세기 동안 원론의 가치가 올라가면서 반대로 나머지 저작들이 원론의 그늘에 가려 한부의 사본도 전해지지 않게 되었다.

여기서 잠시 유클리드의 유명한 말을 들어보자.

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-프톨메르 왕이 기하학 공부가 너무 어렵다고 생각한 나머지 왕인 자기한테 어울리는 좀 더 빠르고 편안한 길이 없겠느냐고 묻자 “기하학에 왕도는 없나이다”라고 대답했다.

-어느날 유클리드는 강의 중에 “선생님이 가르치는 그 기하학이 도대체 무엇에 쓸모가 있습니까?”라고 묻자 유클리드는 그 즉시 노예를 불러 명하기를 “저 학생에게 동전 한잎을 갔다 주어라. 이 불쌍한 인간은 자기가 배운 것으로부터 뭔가를 항상 얻어야 되는가 보구나”하고 말했다.

-"수학을 논의할 때에는 그 안에서 쓰이는 말의 의미를 분명히 정하는 일과, 논의의 기초나 근거가 되는 사항을 분명히 정하는 일과, 공리의 기초나 근거가 되는 사항을 분명히 나타내는 일이 중요하다."

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 미국의 링컨 대통령은 선거 연설을 할 때 유클리드의 원론을 세 번이나 읽었다고 강조한 기록이있다.

 아마도 엘리트 코스로 올라선 자리가 아니므로 학력에 대해서 공격당할 염려가 있기때문에‘누구나 최고로 인정하는 책을 읽었다.’라는 정치적 계산이 있었을 것이다. 모 그룹 회장이 예전에 대선에 출마하여 초등학교 중퇴라는 학력이 문제가 되었을때 사자소학을 떼었다는 말을 한것처럼말이다. 또 수학 책을 강조하여 이성적이고 합리적이며  위기를 극복할 창의성이 있음을 표현하고 싶었던 것이 아닐까싶다.

 얼마전 만난 한 인문계열 대학원생역시 위와 같은 이유로 원론을 자주 곁에 두고 본다고 한다.

 수학적 합리성과 깔끔한 분석력 또 두뇌의 가장 높은 기능으로 일컫는 창의력을 필요로 하는 비즈니스 맨이나 정치인들도 가까이 두고 가끔씩 뒤척거린다고 한다.

 요즘에는 취미로 수학 애호가들도 부쩍 늘고 있는 추세인데 새롭게 시작하시는 분들 또한 한권씩은 가지고 계시다고 한다.

유클리드의 원론은 전부 13권으로 이루어졌는데 유명한 피타고라스정리는 제1권의 마지막에 있다. 그 밖에도 삼각형의 합동이나 정다각형의 작도, 그리고 마지막 제 13권에서는 5개의 정다면체를 얘기한다. 또한 그 범위는 기하학에 머물지 않고  비례론, 정수론 , 적분의 기초가 되는 무너뜨리기법등 다방면에 걸쳐있다.

원론은 유클리드 뿐 아니라 탈레스, 피타고라스, 히포크라테스, 에우독소스와 같은 그리스 수학자들의 연구성과를 총정리한 것으로, 학교를 다닌 사람들이면 모두 한번씩 맛본 것이 되므로 베스트중의 베스트가 당연하다.

** 역사속에서 **

기원전 300년경 알렉산더왕이 죽고난후 나일강 근처에 알렉산드리아 대학교가 세워졌다.

그 시절의 거대한 마케도니아 제국의 힘을 과시하듯  알렉산드리아 대학교에서는 당시 가장 이름있는 학자들이 교수로 초빙되었는데 유클리드 또한 그 대학의 교수가 되었다.

알렉산드리아가 세계학문의 중심지로서 원론을 이끌어 냈다고도 볼 수 있다. (그 다음의 학문의 중심지는 다름아닌 이라크의 바그다드이다. 지금 전쟁의 화염속에서 훼손되고 있는 바그다드의 유물들이 아쉬울 따름이다. )

알렉산드리아 대학교의 교수가 된 유클리드가 최초로 떠맡은 과업은 원론 Elementa를 편집하는 일이었다.

성경을 제외하면 원론보다 더 널리 사용되고 연구되었으며 더 많이 편집된 것은 없다고 한다.

그 후 2000년 이상 이 책이 모든 기하학 교육을 이끌어왔다. 1482년 처음 인쇄이래 천번이상의 재판이 나오고 있다.

원론은 수학에서 한글의 가나다라마바사.. 와 같은 역할을 하고있다. 이 원론이 만들어질 당시 원론의 수준보다 어려운 수학적 이론들이 없었던 것이 아니다. 하지만 이 책은 대부분의 다른 정리를 증명하는데 요구되는 정리들을 정립하기위해서 만들어졌다.

유클리드 ‘원론’의 주요한 장점은 다양한 원천으로부터 자료를 한데 모아 정리와 증명으로 이루어진 논리적이고 연역적인 구조를 짜냈다는 점이다.

 현재는 유클리드가 활동했던 시대부터 전해지는 유클리드의 ‘원론’은 존재하지 않는다. 원론의 현대적인 모든 개정본은 알렉산드리아의 테온(Theon)이 편집한 개정본에 근거를 두고 있다.

테온은 유클리드보다 700년 뒤에 살았던 사람이다.

테온이 지은 책보다 더 앞서는 개정판은 나폴레옹이 이탈리아의 도서관에서 가치있는 문헌을 파리로 가져오라고 했을때 바티칸 박물관에 있던 개정판 원론이었는데 테온이 지은 개정판과 거의 같다고 한다.

1450년 인쇄술이 발명되면서 원론의 보급은 더욱 확대되었으며 1482년 Ratdolt판부터 Heiberg1916년 판까지 그리고 각 나라마다의 언어로 보급되었다. 중국에서는 1605년 마테오리치에 의해 출간되었다.

그리고 프랑스의 수학자 르장드르(1752-1833)에 의해 재배열되고 간략하게 만들어져

‘기하학 원론’이란 책으로 만들어서 미국 초등 기하학 교재의 표준을 만들었다.

얼마전까지도 미국 중학교 기하학 교과서를 르장드르의 개정본에 따라 이루어졌다고 한다.

** 내용을 중심으로 정리(개인적 선택이 작용하였음을 이해바랍니다.) **

 원론은 열세권의 책으로 이루어져 있고 총 465개의 정리가 담겨있는데 기하학 뿐아니라 초등수론과 대수학에 관한 것들이 있다.

1권- 기본이되는 정의와 설명 그리고 5개의 공준과 5개의 공리로 시작을 한다. 공리는 모든 학문의 공통된 초기가정이고 공준은 특별분야에 대한 특유한 가정으로 한다. 특히 나중에 비유클리드 기하학이 생기는 원인이 되는 5공준을 기억하라.

-공준

1.임의의 2점이 주어지면, 그 2점을 지나는 직선은 오직 하나만 그릴 수 있다.

2.임의의 선분은 양쪽으로 연장할 수 있다.

3.임의의 점을 중심으로 하여 임의의 반지름의 원을 그릴 수 있다.

4.모든 직각은 같다.

5.2직선이 1직선과 만나고 있을때, 그 1직선의 같은 쪽 내각의 합이 2직각보다 작으면, 그 쪽으로 이 2직선을 연장하면 만난다.

-공리 또는 일반 개념

1.같은 것과 같은 것들은 서로 같다.

2.같은 것들에 같은 것들을 더하면, 합들은 서로 같다.

3.같은 것들에서 같은 것들을 빼면, 나머지들은 서로 같다.

4.서로 일치하는 것들은 서로같다.

5.전체는 그 부분보다 크다.

그리고 23개의 정의, 48개의 명제로 이루어져있다. 정의로는 점, 선 ,직선, 평면, 평면각, 각, 직각, 둔각, 예각, 원, 3각형, 정4각형, 마름모, 평행선 등의 용어가 정의되어있다. 마지막 47-48정리는 피타고라스정리와 그 정리의 역이다.

2권- 2권에는 14개의 정리가 있다. 다음은 2권의 명제중 일부이다. 다음 6가지 항등식을

a,b,c,d 를 양수라고 가정하고, ‘원론-2권‘을 보지 않고 기하학적인 방법으로 증명해보기 바란다

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 , a>b

a^2-b^2=(a+b)(a-b) , a>b

a(b+c)=ab+ac

(a+b)^2=(a-b)^2+4ab, a>b

(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd

명제 11,12 - 2차 방정식의 근을 구하는 일

x^2+ax=a^2

3권- 제3권은 11개의 정의와 37개의 명제로 되어 있다. 11개의 정의는 등원, 활꼴, 부채꼴 등 원에 관한 것이며 대표적인 명제는 다음과 같다.

명제 1 - 주어진 원의 중심을 구하는 작도제

명제 2 - 원의 중심에 관한 것

명제 4 - 원의 현에 관한 것

명제 5, 6 - 두 원의 상호관계

명제16~19 - 원의 접선의 작도와 접선의 성질

명제20~34 - 원호, 원둘레각 정리, 원에 내접하는 사각형의 정리

4권- 4권은 7개의 정의와 16개의 명제로 구성되었고, 정의는 내접, 외접, 직선도형의 내, 외접이 있다.

명제 2 - 주어진 삼각형을 원에 내접시키는 것

명제 4 - 주어진 삼각형에 원을 내접시키는 것

명제 6 - 내접 사각형

명제 7 - 외접 사각형

명제 11, 14 - 정 오각형의 문제

명제15 - 내접 정육각형의 문제

명제 16 - 원에 내접하는 정 십 오각형의 작도

 제 1권에서 제 4권까지는 Euclid 이전의 것이고, 제 4권은 Pythagoras학파 수학자에 의해 기술된 것이다.

5권- 에우독소스의 비율이론에 대한 설명이 있다. 5권은 수학 문헌의 불후의 명작으로도 꼽힌다.

 비례의 이론이 기술되어 있고 18개의 정의, 25개의 명제로 구성되어 있다.

명제 1 - ma+mb+mc+.... = m(a+b+c+...)

명제 2 - la+ma+na+.... = (l+m+n+...)a

명제 3 - m(na) = mna

명제 4 - a:b=c:d → ma:nb=mc:nd

명제 5 - ma-mb=m(a-b)

명제 6 - ma-na=a(m-n)

명제 7 - a=b →a:c=b:c 또는 c:a=c:b

명제 8 - a>b →a:c>b:c 또는 c:a>c:b

명제 9 - 7의 역

명제 10 - 8의 역

명제 11 - a:b=c:d, c:d=e:f → a:b=e:f

명제 15 - a:b=c:d, a(최대), d(최소) →a+b>b+c

6권- 에우독소스의 이론을 닮은 도형 연구에 응용하고 있다.

직선도형의 닮음, 황금분할, 도형의 높이등이 정의되어있고 다음과 같은 명제들이 있다.

명제4,5,6- 두 삼각형의 닮음의 조건

명제20-닮은 삼각형의 넓이의 비는 대응변의 제곱의 비와 같다.

7권에서 10권까지는 도형의 이론이 아닌 수론을 다룬 부분이며 특히 7-9권은 정수론을 다루었다.

7권- 7권은 두 개 이상의 정수에 대한 최대 공약수를 구하기위한 호제법으로 시작해서 초기 피타고라스학파의 비율이론을 설명한다.

정의로는 단위(단위란 이것에 의하여 존재하는 하나하나를 1로 본 것이다.), 수(수란 단위가 모인 것이다. ), 약수,배수,짝수,홀수,소수,서로 소, 합성수, 두수의 곱등22개가 있고 39개의 명제가 있다.

명제1-3 최대공약수 구하기,특히 유클리드의 호제법을 써서 최대공약수 구하기가 나온다.

명제20-32 소수의 성질

명제34-36 두 수의 최소공배수

8권- 주로 연비례와 그것과 관련된 등비 수열을 다루고 있다. 만약 연비례 a:b=b:c=c:d가 성립하면 a,b,c,d 는 등비수열을 형성한다.

명제9,10은 두 수 사이에 하나 또는 그 이상의 수를 넣어 순차적으로 비례하는 조건은 무엇인가?의 해법이 기술되어있다.

9권- 14는 중요한 ‘산술의 기본정리’ 즉 1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며, 근본적으로 단 한가지 방법으로 표현된다.‘는 정리와 동치이다.

정리 9-20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 사실에 증명을 찾아볼 수 있다.

정리 9-35는 등비 수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하학적으로 유도했다. 마지막 정리인 9-36은 짝수인 완전수를 만드는 공식을 증명한다.

명제 36에는 완전수는 자기자신의 약수의 합과 같은 수이므로(제7권정의23) [1+2+2^2+...+2^n이 소수이면 ( 1+2+2^2+...+2^n)2^n은 완전수이다.]가 수록되어있다. 예를들면 3은 소수이므로 6은 완전수이며 7은 소수이므로 28은 완전수이다.

10권- 10권은 무리수, 즉 어떤 주어진 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 다루고 있다. 16개의 정의와 115개의 명제를 담은 원론 전권 중에 가장 많은 내용을 담은 방대한 부분이다. 10권만 단독으로 연구한 문헌들이 많다.

내용으로는 통약가능, 통약불가능, 유리선분, 무리선분, 유리면적, 무리면적, 이항선분, 여선분, 열선분, 우선분, 중항면적 등의 개념이 서술되어 있다.

나머지 세권 11, 12, 13 권은 공간 기하학에 관련된 것이다.

이책들에 구에 관한 것을 제외하면 중고등학교 교과서에서 일반적으로 발견할 수 있는 내용들이 많다.

11권- 29개의 정의와 39개의 명제로 구성되어 있고 입체기하를 내용으로 하고 있다.

명제 4-6,8,11-14 직선과 평면의 수직에 관하여

명제 29-39 정육면체, 평행육면체에 관하여

명제 39 밑면의 넓이가 같은 평행사변형과 삼각형에서, 높이가 같은 기둥의 부피는 서로 같다.

12권- 정의없이 구적법에관한 18개의 명제가 있다.

명제10 원뿔의 부피는 밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피의 1/3이다.

명제14 구의 부피는 지름의 세제곱에 비례한다.

13권- 정다면체의 이론으로서 정의없이 18개의 명제가 있다.

명제12 원에 내접하는 정3각형의 변의 제곱은 반지름의 제곱의 3배와 같다.

** Hilbert 공리계 (현대 Euclid기하) **

 유클리드가 지은 원론에도 결함이 없던것이 아니다. 여러 수학자에 의해 원론의 결함이 지적되자 새로운 신 공리계를 선정하여 원론에 대치할 만한 Euclid기하를 찾기 위해 Veblen(점, 사이를 무정의 용어로 하고, 12개의 공리도입), Pieri(점, 운동을 무정의 용어로 하고, 7개의 공리도입), Birkhoff(직선의 길이, 각을 도입), Prenowitz(볼록), Hilbert(점, 직선, 평면을 무정의 용어, 5개의 공리계 도입0 등 수학자들에 의해 시도되었다. 이 가운데 Hilbert의 것이 기본적인 명제를 쉽게 설명할 수 있고 무모순성, 완전성, 독립성을 갖추고 있다.  Hilbert는 그의 『기하학기초론』을 통하여 Hilbert는 1899년 점, 직선, 평면을 무정의 용어로 채택하고, 위에 있다, 사이에 있다, 합동, 평행, 연속 등을 무정의 관계로 하여  5가지 공리계를 만족하는 기하학을 Euclid기하학이라고 하였다.

1.결합공리

2.순서공리

3.합동공리

4.평행선공리

5.연속공리

** 비유클리드 기하학탄생 **

앞에서 1권 내용을 설명할 때 5공준을 기억하라고 했었다. 비유클리드 기하학이라는 새로운 체계가 정립되는 원인이 되기 때문이다.

유클리드 원론에서 제5공준- 2직선이 1직선과 만나고 있을때, 그 1직선의 같은 쪽 내각의 합이 2직각보다 작으면, 그 쪽으로 이 2직선을 연장하면 만난다.

유클리드 기하학 체계와는 다른 기하학의 존재하는데 이를 비유클리드 기하학 이라고한다.

유클리드의 기하학은 ‘평행선’에서부터 시작된다.

유클리드의 공준를 살펴보면 5이외의 것은 아주 간단하고 확실하다. 그러나 5는 아주 복잡한데 이것이 문제가 되는 ‘평행선의 공준’이다.

이 공준을 다르게 말하면 ‘직선 밖의 한 점을 지나 이 직선에 평행하는 직선은 오직 하나뿐이다.’가 된다.

이 평행선의 공리는 오랫동안 많은 수학자의 관심을 끌었다.  제 5공리는 불필요한 것이 아닌가, 즉 다른 4개의 공리로부터 이 공리가 도출되는 것이 아닌가 라고도 생각되어 이것을 증명하려는 수학자가 많이 있었으나 이들의 시도는 모두 실패로 끝났다. 그런데 이 수수께끼는 19세기에 들어와 생각지도 않은 형태로 해결을 보았다.

만약 이 제 5공리를 부정하더라도 유클리드의 기하학 체계와 마찬가지로 모순이 없는 기하학이 구축될 수 있다는 사실이 발견된 것이다.

이것은 헝가리의 보야이 부자, 러시아의 로바체프스키, 독일의 가우스 등에 의하여 독립적으로 발견되었는데, 이것이 이른바 ‘비유클리드 기하학’의 탄생이다.

비유클리드 기하학은 일상 감각과의 차이가 크기 때문에 일반인에게는 쉽사리 받아들여지지 않아 여기에 관계한 수학자는 모두 불행한 인생을 마쳤다.

가우스는 그것을 두려워해서 당시 수학계의 리더였으면서도 공적인 장소에서는 여기에 대해 한 마디도 언급을 하지 않았다. 로바체프스키나 보야이가 받고 있는 공격을 보고도 못 본 척한 것이다.

로바체프스키나 보야이는 제 5공리 대신‘직선 밖의 한 점을 지나 이 직선과 만나지 않는 직선은 무수히 있다.’라는 공리를 채용하여도 전혀 모순이 없는 기하학을 구축할 수 있다는 것을 보여 주었다.

그 후 독일의 리만은 ‘직선 밖의 한 점을 지나 이 직선과 만나지 않는 것은 하나도 그을 수 없다.’라는 공리를 채용하여도 역시 모순이 없는 기하학을 구축할 수 있다는 사실을 보여 주었다.

1)쌍곡 기하학

힐베르트의 결합공리,순서공리, 합동공리, 연속공리, 새로운 평행선 공리, 즉 ‘주어진 직선 위에 있지 않는 점을 지나 이 직선과 만나지 않는 직선은 2개 이상 있다’

를 근간으로하여 구성된 기하학을 쌍곡기하학이라고 한다.

클라인의 모델

주어진 직선 밖의 1점을 지나는 평행선은 무수히 많다.

원의 내부를 비유클리드 기하학의 세계로 개조한다.

이 세계의 직선

직선 L과 만나지 않는 직선은 얼마든지 있다.

달리는 사람 자신은 등속으로 곧바로 달리고 있는 것 같더라도 실제로는 곡선 위를 속도를 바꾸면서 달리고 있다. 원주에 가까이 다가감에 따라 속도는 늦어지고 달리는 자신도 축소되어 작아진다.

2)타원 기하학

힐베르트의 결합공리, 순서공리, 합동공리, 연속공리와 또 다른 새로운 평행선 공리, 즉 주어진 직선 위에 있지 않는 점을 지나, 이 직선과 만나지 않는 직선은 하나도 그을 수 없다‘를 근간으로 하여 구성된 기하학을 타원 기하학이라고 한다.

다시 말하면 유클리드 기하학에서 채택된 결합, 순서, 합동, 연속공리는 그대로 수용하고 평행선공리만을 바꾼것이다.

리만의 모델

주어진 직선 외의 1점을 지나는 평행선은 하나도 없다.

동그란 면으로 이미지

이 세계의 직선=큰원

(지구로 보면 경선과 적도)

경선이 북극과 남극에서 만나듯이, 서로 다른 큰원은 반드시 만난다.

내각의 합은 270도

세 기하학을 간단히 한다면 한 직선에 수직인 두 직선은 Euclid기하학에서는 등거리 , 쌍곡기하학에서는 발산, 타원기하학에서는 수렴을 한다.

그럼 우리가 사는 곳은 어떤 공간일까? 우리는 유클리드 공간에서 살고 있는 것이 아니라 비유클리드 공간에서 살고 있다.

마지막으로 기하학분야에서 유명한 말 한마디를 소개해야 겠다.

‘나의 연구를 정말로 이해할 수 있는 사람은 세계에서 10명 정도나 될지 모르겠다.’

대수 기하학을 연구하여 1990년 필즈상을 수상한 일본의 수학자 모리오모후미 교수가 한 말이다. 모리 교수의 이론은 ‘대수 기하학’이라고 불리는 분야에 속해 있다.

19세기 중반까지 있던 2차 곡선이나 2차 곡면의 분류는 이 대수 기하학의 원류라고 할 수 있다.

그 후 자연스런 흐름으로서 변수는 복소수로 확장되고, 식도 고차원적인 것이 연구 대상으로 되어갔다.

‘10명밖에 알 수 없는 것이 어떻게 보편성을 가질 수 있는가?’ 라고 언론의 비판이 이어졌지만 틀린 이야기다. 수학의 분야에서는 민주주의가 없다. 라는 말이 있듯이 중요한 문제임에도 불구하고 그만큼 어렵기 때문에 대중들이 이해하지 못한다는 의미이다. 어쨌던간에 세계에 10명 정도밖에 이해할 수 없는 창의성을 가졌다는 말을 자신있게 말할 수 있는 무림지존을 진심으로 존경하는 바이다.

+α

 군대를 가기전에 근처에 사는 중학생에게 원론의 해설서 한권을 원론의 핵심이라고 하고 ‘읽기만 해도 넌 달라지는 거야’ 라고 말했었다. 그리고 만화책 2권과 함께 유주얼 서스펙트 DVD와 물물교환 하였다. 지금 이 글을 쓰는동안 한권이 빠져있어서 그것만 새로 샀다. 참.. 줄하나 쳐진것도 없고 뺀질뺀질 한것이 내 예전책이 다시 보고싶어졌다. 다음에 녀석을 보면 새 책과 바꾸어야 겠다.