'08. 7. 31일자 한국고시연재 (논리1_명제논리)

[피셋과 리트]

한국고시 게재 자료 (’08. 7. 31)

080731한국고시연재물(송부용).pdf

PSAT 상황판단              

                                                                        - 조성우 (베리타스)-

안녕하세요. 조성우 강사입니다. 지금까지 상황판단 영역을 평가항목별로 6회에 걸쳐 살펴보았고, 구성소재별로 9회에 걸쳐 살펴보았습니다. 이번 호부터는 테마별로 나누어 수험생들이 어려워하는 부분들을 하나씩 검토해 나갈 생각입니다. 오늘은 그 첫 번째 시간으로 2008년 시험에서 수험생들을 매우 당혹케 하였던 논리문제들을 아래와 같이 구분하여 체계적으로 검토해 보도록 하겠습니다.

분류	내용
연역추리	명제논리, 술어논리
수리추리	수리연산 및 대수, 수학적 퍼즐, 도형 및 기하
논리게임	배열하기 및 속성찾기, 연결하기 및 묶기, 진실 ․ 거짓퍼즐, 기타 문제, 창의적 문제해결(TRIZ, ASIT)

Ⅰ. 논리1(명제논리)

1. 명제 논리의 개념 및 체계

1) 개념

명제논리란 명제를 그 기본단위로 하는 논리체계를 말한다. 기호 논리학의 한 부분으로 논리곱(∧), 논리합(∨), 함의(→), 동등(↔), 부정(~)의 다섯 가지 논리 기호를 이용하여 몇 개의 명제¹⁾를 결합하여 논리식을 만들고 그것과 본래 명제와의 진위(眞僞) 관계를 밝혀 항상 참이 되는 논리식을 구하는 것을 말한다.²⁾

2) 명제 논리의 구성 요소

명제논리는 기호를 사용하는 기호 논리학의 한 부분으로 두 종류의 기호 즉, 단순명제를 나타내는 기호와 그 명제들을 연결해 주는 기호 그리고 괄호로 구성되어 있다. 

① 단순 명제 : A, B, C, …, Z의 영어 대문자로 표시하며 긍정 단순 문장의 주요 내용

② 논리 연결사 : ‘~’, ‘ ⋅ ’, ‘∨’, ‘⊃’, ‘≡’의 5가지로 단순 명제 앞이나 단순 명제들 사이에 위치해서 복합 명제를 만듦.

③ 괄호 : ( ), { }, [ ] 등이 쓰이며, 수학에서의 괄호 사용법과 같다. 

<표> 논리연결사 및 복합명제의 종류 

논리연결사	논리적 기능	복합명제의 종류	일상 언어에 해당하는 표현들
~	부정	부정문	…이 아니다. / …은 거짓이다.
• (∧)	연언	연언문	그리고 / 그러나 / 그럼에도 불구하고
∨	선언	선언문	혹은 / 또는 / 이거나
⊃ (→)	단순 함축	조건문	만약…라면, /오직…인 경우에만,
≡ (↔)	단순 동치	쌍조건문	만약 그리고 오직 그런 경우에만,

2. 추론 규칙

1) 직접 추론

추론 규칙에는 크게 두 종류로 나뉜다. 즉 타당한 추론(논증) 형식으로 된 규칙들과 논리적인 동치에 의한 규칙들이 그것이다. 전자는 전제로부터 함축된 결론을 이끌어 내는 데 사용되므로 ‘함축 규칙’이라고 한다. 후자는 논리적으로 동치인 명제를 바꾸는 데 사용되므로 ‘대치 규칙’이라고 한다.

① 함축 규칙 : 타당한 논증(추론) 형식

 9가지 타당한 논증형식

①  전건긍정식     P → Q     P     =======     ∴  Q	② 후건부정식      P → Q      ~Q     =======     ∴  ~P	③ 가언(=가정적)삼단논법       P → Q       Q → R         =======     ∴ P → R
④  선언적 삼단논법    (= 선언지 제거법)     P ∨ Q    ~P      =======     ∴ Q	⑤ 단순양도논법       P ∨ Q       P → R       Q → R       =======       ∴  R	⑥ 복합양도논법    (=구성적 양도논법)       P ∨ Q       P → R       Q → S       =======     ∴ R ∨ S
⑦  연언화     P     Q    ===== ∴ P • Q	⑧ 단순화    (=연언지 단순화)      P • Q       ======      ∴ P	⑨ 선언지 첨가법        P      ======     ∴ P ∨ Q

② 대치 규칙 : 논리적 동치³⁾

 12가지 논리적 동치  

① 이중부정 : p ≡ ∼∼p	②결합법칙(=규칙)  (1) (p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r) (2) (p  q) r ≡ p  (q  r)	③ 한마디법(=동어반복) (1) p∨p ≡ p (2) p  p ≡ p
④ 분배규칙(=배분법칙) (1) [P ∙ (Q∨R)] ≡ [(P∙Q)∨(P ∙R)] (2) p∨(q  r) ≡ (p∨q)  (p∨r)	⑤ 드 모르간 규칙 (1) ~(P ∨ Q )  ≡  (~P ∙ ~Q ) (2) ~(P ∙ Q )  ≡  (~P ∨~Q )	⑥ 대우(후건부정)규칙 (= 자리뒤집기) P → Q   ≡  ~Q → ~P
⑦ 교환법칙, 치환 (=자리바꾸기) (1) p∨q ≡ q∨p (2) p  q ≡q  p	⑧ 전건규칙 (=수출 입 규칙) (p  q)→ r ≡ p→ (q → r)	⑨ 선언화/조건화 p → q ≡ -p∨q
⑩ 조건문의 정의    (=단순함축) p → q  ≡ -(p  -q)	⑪ 쌍조건문의 정의    (=단순 동치) p ↔ q ≡  (p → q)  ( q → p)	⑫ 쌍조건문의 부정 - (p ↔ q) ≡ (p ↔-q)

2) 간접 증명

① 조건 증명법

조건 증명법은 증명할 논증의 결론에 해당하는 얻고자 하는 명제가 조건문일 때, 혹은 그것을 조건문으로 대치할 수 있을 때 사용하는 기술이다. 즉, 결론이 “만약 B라면, F이다.”일 경우, ‘B’를 참이라고 가정하면서, B와 다른 전제들로부터 F를 유도하는 것이다. 조건 증명법은 이렇게 도출하려는 명제가 조건문일 때, 그 전건을 가정하는 데에서 시작한다.

② 간접 증명법 : 귀류법

조건 증명법과 달리 간접 증명법은 명제 논리의 모든 타당한 논증의 결론을 도출하는 데 사용될 수 있다. 즉 도출하려는 명제가 조건문이든 아니든 상관없다. 간접 증명법은 도출하려는 결론을 부정하여 모순을 유도하는 것이다. 모순에 이르게 하는 가정은 거짓이기 때문이다. 그러므로 결론은 참이며 그 논증은 타당한 것으로 증명되는 것이다. 이 증명법은 ‘귀류법’이라고도 한다. 

Ⅱ. 중요 기출문제

	01
마을에는 A, B, C, D, E 약국이 있다. <보기>의 조건에 따를 때 문을 연 약국은? [06년 견습직원 언어논리]

	보기
ㄱ. A와 B 모두 문을 열지는 않았다. ㄴ. A가 문을 열었다면, C도 문을 열었다. ㄷ. A가 문을 열지 않았다면, B가 문을 열었거나 C가 문을 열었다. ㄹ. C는 문을 열지 않았다. ㅁ. D가 문을 열었다면, B가 문을 열지 않았다. ㅂ. D가 문을 열지 않았다면, E도 문을 열지 않았다.

① A                 ② B

③ A, E              ④ D, E

⑤ B, D, E

조건 간 연계 고리를 찾아 결론을 추론하는 문제

<보기>의 조건을 아래 예와 같은 형식으로 정리해 보면 다음과 같다.

 예) A가 문을 열었다 = A  / A가 열지 않았다= ~A

ㄱ. ~(A∧B) ⇔ ~A ∨ ~B  (‘열지는 않았다’의 ‘는’의 의미에 주의한다)

ㄴ. A → C ⇔  ∼C → ∼A (∵대우)

ㄷ. ∼A → B v C

ㄹ. ∼C

ㅁ. D → ∼B ⇔ B → ∼D (∵대우)

ㅂ. ∼D → ∼E

ㄹ을 제외한 조건들은 조건식의 형태로 주어져 있다. 즉, 개별 약국의 확정적인 정보를 제공하기보다는 관계적인 정보만을 제공한다. 예를 들어 ㄴ의 경우, A약국은 문을 열수도 열지 않을 수도 있다. 단지 A가 열었다면 C도 같이 열었다는 것이고, C가 열지 않았다면 A도 열지 않았다는 것이다. 반면에 ㄹ은 C가 문을 열지 않았다는 확정적인 정보를 제공하고 있다.

∼C → ∼A (∵ㄴ) → B∨C (∵ㄷ) → B (∵ ㄹ에서 ~C) → ∼D (∵ㅁ) → ∼E (∵ㅂ) 가 된다.

정리해 보면, ∼C → ∼A → B → ∼D → ∼E 이고, ㄹ에서 ~C라고 했으므로 B만이 문을 열었던  약국이 된다. 참고로 ㄹ의 ~C 조건이 없었다면 반대로 B만 문을 닫고, 나머지 4개 약국이 문을 열었다는 추론도 가능하다.

정답 : ②

	02
A교수는 월요일부터 목요일까지 강의를 한다. 그는 학생들에게 다음 주 월요일부터 토요일까지 중에서 다음의 정보로부터 추론될 수 있는 요일(들)에 시험을 볼 것이라고 했다. 시험은 며칠에 나누어 볼 수도 있다. 시험을 볼 요일(들)은? [05년 견습직원 상황판단]

◦ 목요일에 시험을 본다면, 토요일에도 시험을 볼 것이다.

◦ 월요일에 시험을 보지 않는다면, 화요일이나 목요일에 시험을 볼 것이다.

◦ 월요일에 시험을 본다면, 수요일에 시험을 보지 않을 것이다.

◦ 화요일에 시험을 본다면, 목요일이나 금요일에는 시험을 볼 것이다.

◦ A교수가 강의를 하지 않는 날에는 시험을 보지 않을 것이다.

① 월

② 화

③ 수

④ 월, 화

⑤ 화, 목

진술 간 연계 고리를 찾아 결론을 추론하는 문제

제시된 정보를 간략하게 요약해 보면 다음과 같다. 

정보1. 목요일에 시험을 본다면 토요일에 시험을 볼 것이다.

     목 → 토 ⇔ (대우) ~토 → ~목

정보2. ~월 → 화 ∨ 목

     ⇔ (대우) ~화 ∧ ~목 → 월

정보3. 월 → ~수

     ⇔ (대우) 수 → ~월

정보4. 화 → 목 ∨ 금

     ⇔ (대우) ~목 ∧ ~금 → ~화

정보5. A교수가 강의를 하지 않는 날에는 시험을 보지 않을 것이다.

       ⇒ ~금 ∧ ~토 ∧~일 (∵질문에서 월요일부터 목요일까지 강의)

~토 → ~목 (∵정보1) 

~금                     → ~화 (∵정보4) → 월 (∵정보2) → ~수 (∵정보3) 

토요일에 시험을 보지 않을 것(정보5)이므로 <정보1>에 의해 목요일에도 시험을 보지 않을 것이다.

목요일(정보1)과 금요일(정보5)에 시험을 보지 않을 것이므로 <정보4>에 의해 화요일에도 시험을 보지 않을 것이다. 

화요일(정보4)과 목요일(정보1)에 시험을 보지 않을 것이므로 <정보2>에 의해 월요일에 시험을 볼 것이다.

월요일(정보2)에 시험을 보게 되므로 <정보3>에 의해 수요일에는 시험을 보지 않을 것이다.

따라서 학생들은 월요일에 시험을 보게 될 것이다. 정답은 ①번이다.

정답 : ①