하루 30분 수학

[조던]

 하루 30분 수학

하루 30분 수학

최수일 (지은이) | 비아북 | 2014-10-10

수학 못하는 아이 때문에 고민하는 부모에게 단비와도 같은 책입니다.

제가 얼마전 인터넷을 서핑하다가 이런 글을 보았습니다.

공대출신으로 졸업을 앞둔 대학 4학년 생인데요. 수능도 공식을 통해 풀어서 대학갔고 공대에서도 죄다 공식으로 수학 풀고 졸업을 앞 둔 시점에 페르마의 정리라는 책을 보았다고 합니다.

그런데 문득 한 번도 수학적인 증명이 없이 공부를 했을까? 그리고 이런 재미없는 수학을 초등학교 때부터 지금까지 해왔을까 생각을 하는 계기가 되었다고 합니다.

그래서 사각형의 넓이, 삼각형의 넓이, 근의 공식 등등의 증명이 나와있는 책이 없을까 고민을 하다가 글을 올렸다고 합니다.

댓글에는 수학전공자들의 글들이 올라왔는데요.

수학전공자들이 보는 해석학 책을 추천하더군요.

우리나라의 학생들은 수학을 잘합니다.

그런데 수학을 무지하게 싫어합니다.

국제적으로 말입니다.

그런데 왜 이렇게 되었을까요?

미국의 초등학교에서는 교사가 사각형의 넓이를 구하는 개념을 장장 5일에 걸쳐서 강의한다고 합니다.

만약 이 수업을 열심히 듣지 않은 학생이 있다고 칩시다.

그런데 시험을 보게 되었습니다.

그리고 문제를 받아보곤 옆에 짝꿍에게 물어봤습니다.

" 야! 사각형 넓이 어떻게 구해?"

" 응!. 사각형 넓이는 밑변 X 높이야"

그리고 그 공식을 적용해서 죄다 풀었고 전부 맞았습니다.

그리고 다시 교사가 사각형 넓이 구하는 개념에 대해 설명을 하려고 하니 이미 공식을 접한 학생은 개념 설명 듣기를 거부했습니다.

이미 공식으로 전부 풀어서 문제의 답을 전부 구했는데 골치 아프게 다시 개념에 대해 설명을 듣기 싫었기 때문입니다.

그런데 우리나라에서는 개념 설명을 해주지 않고 공식부터 가르칩니다.

그러니 공식으로 죄다 풀고 조금만 수학문제를 꼬아내도 틀립니다.

만약 이런 꼬아내는 문제를 맞추려면 두 가지 방법이 있는데요.

첫 번째는 개념으로 돌아가 문제를 다시 푸는 방법과 두 번째는 변형된 공식을 유형별로 전부 외워버리는 방법입니다.

그러나 우리나라는 두 번째의 방법을 씁니다.

그러니 반복과 유형학습이 무한으로 추가되고 연습에 연습을 하게 되니 수학은 증오하는 과목으로 전락합니다.

예를 들어 설명하면 12와 30의 최대공약수를 구하라는 문제가 나왔습니다.

첫번째 방법인 개념으로 풀어본다면 이렇습니다.

일단 약수가 무엇인지 알아야 합니다.

약수란 나누어지는 수입니다.

그러니 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 30의 약수는 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30입니다.

공약수란 무엇일까요?

약수 중 두 12, 30 중에서 공통인 약수를 말합니다.

1, 2, 3, 6입니다. 그리고 이 중에서 6이 가장 크니 6이 최대 공약수입니다.

두번째 방법으로 풀어보겠습니다.

2)_12___30_____

3)__6___15_____

     2      5

이것이 공식입니다.

여기서 왼쪽에 나온 수가 2와 3 두개를 곱하면 최대 공약수가 됩니다.

공식으로는 쉽게 풀립니다.

그런데 이것을 푼 학생에게 왜 2X3=6이 최대 공약수냐고 물어보면 대답을 못합니다.

왜냐하면 이러한 공식으로 푼 것은 개념을 포함하지 않기 때문이죠.

예를 하나 더 들어보겠습니다.

23X29는 소수일까?

우선 이 문제를 풀기 전에 소수의 정의를 알아야 합니다. 소수의 정의는 무엇일까요?

소수란 1과 자신만으로 나누어 지는 수를 말합니다.

즉 2는 소수입니다.

1과 자신의 수 2만 나누어지기 때문이죠.

3도 마찬가지입니다.

4는 아닙니다. 1, 2, 4 즉 3개 이상을 나누어지기 때문에 이러한 수를 합성수라 합니다.

그럼 23X29는 1과 23, 29 3개 이상으로 나누어지기 때문에 이것은 문제를 풀지 않아도 소수가 아닌 합성수입니다.

그냥 소수 개념만 알면 소수가 아니다라는 것을 알 수 있다는 것이죠.

그런데 이런 문제를 중학교 1학년 교실에 가서 내면 23X29를 곱한 값 667를 만들고 연필을 들고 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13 계속 나눈다고 합니다.

그러다가 포기한다고 합니다.

시간은 30분도 넘게 걸렸습니다.

그리고 답을 이렇게 적습니다.

667은 소수이다.

왜냐하면 자기가 나눠봤는데 안 나눠졌으니까.

실제로 이렇다고 합니다.

최수일교수가 말하는 수학교육은 개념학습입니다.

그럼 개념학습은 어떻게 시켜야 할까요?

본인이 스스로 할 수 있도록 부모가 도와줘야 합니다.

공부는 본인이 하는 것입니다.

다만 부모는 도와줘야 하는 것이죠.

어떻게 도와줘야 할까요?

개념이 가장 잘 나온 책은 교과서 밖에 없다고 합니다.

저도 교과서를 샀습니다.

개념원리와 같은 아주 쉬운 참고서도 개념은 자세한 설명이 없고 바로 문제 풀이에 들어갑니다.

그러니 그 이상 레벨의 책들은 더합니다.

그러니 교과서를 가지고 개념을 이해해야 하는데 학원은 물론이고 학교에서도 그런 개념공부를 시키지 않습니다.

그러니 개념공부는 교과서를 보고 스스로 해야 합니다.

그러나 애들은 애들이니 부모가 도와줘야 합니다.

부모는 애들에게 문제를 풀립니다.

틀린문제와 맞은 문제가 있으면 틀린문제는 제껴둡니다.

왜냐하면 틀린문제는 몰라서 틀린겁니다.

그러니 답지를 보고 다시 풀어본다한들 의미가 없습니다.

맞은 문제를 가지고 물어봅니다.

"왜 이래?" 혹은 " 왜 이렇게 풀었어?"라고 부드럽게 물어봅니다.

그러면 아이가 설명 합니다.

그 때는 최대공약수의 공식으로 풀었으면 개념을 말할 수 없습니다.

만약 그 개념을 알고 공식으로 풀었다면 대답할 수 있었겠죠.

그러나 모르면 다음에 다시 물어보면 됩니다.

그러나 여기서 아이를 혼내거나 한다면 아이는 다시는 부모 앞에서 설명을 하지 않을 것이기에 부드럽게 넘어가야 합니다.

즉 아이가 설명할 수 있도록 해줘야 한다는 것이죠.

수학을 부모가 못하더라도 물어보는 것만으로 아이가 바뀐다고 합니다.

왜냐하면 아이는 모르는 것에 대해 머뭇거리고 대답을 못하지 거짓말로 하지 않기 때문이죠.

아이는 이 때 메타인지가 발달하게 됩니다.

메타인지는 아는 것을 알고 있다고 생각하는 인지 능력입니다.

모르는 것은 모른다고 알고 있다고 생각하는 능력입니다.

그러니 메타인지가 발달한 아이는 모르는 것을 알고 있다고 착각하지 않고 모르는 것을 정확히 알아 모르는 것에 대한 반복학습을 할 기회가 있기 때문이죠.

그래서 모르는 것을 전부 없애면 다른 아이보다 시험공부를 더 철저히 할 수 있다는 것이죠.

개념학습의 장점은 수학을 재미있게 합니다. 그리고 연관성이 있어서 다음단계로 쉽게 넘어가게 해줍니다.  

그러나 저자는 개념을 강조하되 공식을 무시하지 않습니다.

왜냐하면 개념적으로 공부하는 것은 중요하나 공식을 모르면 시험에서 좋은 점수를 맞을 수 없기 때문이죠.

수학공부는 위계적이라고 합니다.

기초가 튼튼하지 않으면 빠른 진도를 쫒아가지 못하고 수업시간에 멍 때리고 있다가 수학을 포기하고 맙니다.

수포자가 되는 것이죠.

그래서 수 많은 공신들이 말하는 수학을 잘하는 비법은 가장 쉬운 책을 골라서 풀어보고 하나의 문제라도 틀림이 없고 다 맞을 때까지 다시 반복해서 풀어서 다 알면 그것보다 좀 더 어려운 레벨의 문제집에 도전한다는 것입니다.

그러나 현실에서는 그렇지 않죠.

아주 쉬운 문제집은 진도만 나갔을 뿐이고 그 다음 단계의 레벨이 아닌 3-4단계의 레벨을 뛰어넘어서 어려운 문제집을 풀고 있는 것이 현실이죠.

이것은 학원의 정책과도 일치합니다.

학원이 어려운 문제집을 풀게 해야 학원의 레벨이 올라가는 것처럼 알고 있기 때문이죠.

그러니 우리 애들은 개념도 안 잡혀 있는데 자신의 수준보다 3-4단계 높은 레벨에서 멍때리다가 사춘기가 오고 중2병이 오는 것입니다.

더 자세한 내용은 책에 나와있으니 책을 읽어보시고 아래에 이 분의 강의가 유튜브에 올라와 있으니 링크를 한 번 보시기 바랍니다.

https://www.youtube.com/watch?v=BJfw8qPA9UI

[가지않은 길]

정말 조던님은 모르는게 뭘까요?^^ 그리고 어쩌면 이렇게 글을 논리적으로 잘 쓰실까요?^^ 항상 배우는 초보네요^^

[수영인]

그래서 제가 중1때 수학점수가 40점이었군요 ㅠㅠ

[예단]

ㅎ 저도 주택관리사 회계학 공부 할때 수학책 다시 들여다 보고 방정식 을 풀었는데. .잘모르겠더군요. .

[벤자민]

추천감사합니다

[우주사랑]

좋은글이네요^^

[뾰륭이]

좋은 추천 감사합니다 :)

[혁신혁신]

고민이 ㄴ부분이었는데 감사합니다

[현지아빠]

추천 감사합니다.

[jwnhee2001]

감사합니다.

[디케007]

수학을 가르칠 때 위 책의 내용대로 교육하는 것이 정도입니다.. 하지만 그렇게 공부해선 내신 시험에서 망할수 있습니다. 너무 짧은 시간에 많은 문제를 풀도록 하지요.

결국 시간 안에 정확하게 풀기 위해선..구* 같은 학습지를 어려서부터 달달 훈련?하게 시키지요. 과정을 따라가는 개념이해 대신 외우기를 통한 체득이 우선이 되지요.

학교에선 왜 이렇게 비정?하게 문제를 내느냐?~ 변별력 때문입니다. 이렇게 해야만 아이들 등급을 만들어내기 좋기 때문이지요. 아이들이 얼마나 개념을 이해하고 있는지..이런것은 중요하지 않습니다. 등급을 통한 평가하기보다..아이들이 과정을 통해 이해하는 것에 중점을 두는 교육을 하고

[디케007]

%를 통해 등급을 매기는 것보다.. 한명이라도 수학을 포기하지 않도록..또는 수포자를 줄이는 데 목표를 두는 그런 교육이면 좋겠다는 생각을 해봅니다.

소수의 영재를 기르는 것이 국가에 필요한 일이지만, 뒤처지는 아이들이 그냥 버려지는듯한? 이런 현실 또한 반교육적인 것 같습니다.

[4차산업혁명가즈아]

조던님의 책을 옆자리 동료분이 추천해주셔서 최근에야 읽고 지난 달에 카페에도 가입했었어요.
오늘은 문득 게시판을 훑어보다가 놀랐습니다. 하루30분책은 제가 옆자리 동료분께 추천해드린 책이었거든요.
이 책을 보는 순간 조던님을 알게된게 괜히 더 기뻐집니다. 조던님께 공감하는 부분이 경제분야 말고도 더 있다는 것에서요. ^^

[긴네렛]

추천 감사합니다~

[코두]

저는 어릴 때부터 수학이 가장 쉽고 재밌었어요. 저는 수학을 볼 때 개념을 머릿속에서 상상하며 그걸 이해하는데 흥미를 느꼈어요. 반면에 친구들은 무작정 공식을 달달 외우려하고 쉽게 이해하지 못하더라고요. 그걸 이해하지 못하니 배점이 높은 함정을 숨겨둔 문제에서도 틀리고, 설명해도 이해를 못 하고.. 5년이나 지난 글의 댓글까지 보실 분은 없겠지만 혹시 보시거든 자녀에게 무작정 공부를 시키지말고 수학만큼은 자녀에게 직접 가르쳐주세요. 개념을 이해하기 쉽게요. 성적이 중요하진 않아요. 그냥 자녀가 자연스레 수학에 흥미를 느낄 수 있게만 해주시면 커서도 어디가서 손해를 보진 않을거에요.

[준별]

5년이 지난 글에 댓글답니다^^
아직은 제가 봐주고 있는데 조만간 수학학원을 보낼 생각이였거든요~ 개념을 상상하다~ 좋은 말씀 감사합니다. 평안한 하루 되세요~