|
외집 4권 주해수용 내편 상(籌解需用內編 上)
11. 부(附) 약분법(約分法) 2문제
분자와 분모로부터 서로 빼서 같은 수를 얻어 등수(等數)를 1을 얻으면 그것은 약분이 없는 것이다 그 같은 수를 법수로
하여 원분모를 나누어 약분한 분모로 하고 또 원분자를 나누어 약분한 분자로 한다.
12/36가 있는데 이것을 약분하면 얼마가 되는가?
[답] 1/3
[풀이] 원분자로서 원분모를 빼서 12를 얻는다. 이와 같이 하면 분자 분모의 같은 수가 된다.
다시 원 분모를 실수로 하고 등수를 법수로 하여 이것을 나누면 약분한 분모가 되고, 원분자를 실수로 하고 등수를 법수로 하여 이것을 나누면 약분한 분자가 된다.
64/72가 있어 이것을 약분하면 얼마가 되는가?
[답] 8/9
[풀이] 분자로서 분모에 빼면 분모의 나머지 8이고, 다시 분모로서 분자에 빼면 8을 얻는다. 이 8을 법수로 하여 원분모를 나누어 약분한 분모로 하고 또 원분자를 나누어 약분한 분자가 된다.
12. 양전법(量田法)
밭[田]의 모양이 각양하므로 우리 나라에서는 오직 5종류를 사용하고 있다.
대개 같지 않은 꼴을 각각 그 꼴에 맞도록 만들어서, 2작 3작의 명칭을 붙인 것이 있어 그 면적을 구하는 법이 다르며 각각 그것을 구하는데 율이 있다.
방전(方田) 즉 정4각형 모양의 밭이 있다. 한 모서리의 길이가 1묘(畝) 96척이었다. 그 면적을 구하여라.
[답] 484,416척
[풀이] 주어진 숫자를 제곱하여라.
직4각형[直田]의 모양인 밭의 세로의 길이는 49척이고 나비[廣]는 24척이라 한다. 그 면적은 얼마인가?
[답] 1,176척
[풀이] 세로의 길이와 나비를 서로 곱하면 된다.
직각삼각형[勾股] 모양의 밭이 있다. 구(勾)의 길이는 36척이고 고(股)의 길이는 62척이라고 하면 면적은 얼마인가?
[답] 1,116척
[풀이] 구(勾)의 길이와 고(股)의 길이를 서로 곱하여 그것을 절반으로 하면 된다.
규전(圭田)이 있다. 그 세로[長]의 길이는 93척이고 나비[廣]의 길이는 34척이라 한다. 면적은 얼마나 되는가?
[답] 1,581척
[풀이] 세로의 길이와 나비(밑변)의 길이를 서로 곱하여 그 결과를 절반으로 한다.
사다리꼴[梯形]의 밭이 있다. 동쪽 나비가 46척이고 서쪽 나비가 86척이며 길이가 125척이라고 하면 면적은 얼마나 되겠는가?
[답] 8,250척
[방법] 2개의 나비를 합하여 2로 나누고 그 결과에 길이를 곱하면 된다. 먼저 곱하고 뒤에 절반을 하여도 역시 같은 결과를 얻는다.
13. 부(附) 해부법(解負法) 1문제
국전(國典)에 밭[田]을 6등으로 분전(分田)하고 있다. 옛법의 6등은 각 양척(量尺)이 길고 짧고 하는 차가 있어 면적이 100척의 차가 있으면 세(稅)로서 1부(負)가 된다. 중고(中古)에 와서 그 척(尺)도의 다른 것이 고르게 되어 즉 균등하게 되어,
법으로서 15로 차를 두게 되었다. 그 율은 2등이 85고 3등이 단지 7이고, 4등이 55고 5등이 단 4고, 6등이 25이다.
원래(原來)의 면적에 각각 그 등의 율을 곱하여 그 결과를 실지의 세로 하고 만약 6파(把) 이상이면 위의 자리 속(束)으로
올리고 5파 이하는 그 세율을 곱한다.
가령 밭의 면적이 10,000척이면 1등은 1결(結)이 되고 2등은 85부(負)이고, 3등은 70부이고 4등은 55부이고 5등은 40부이고, 6등은 25 부이다.
정4각형의 밭 1면의 길이가 128척이라고 한다면 전 면적은 얼마이며 각 6등급의 세금은 얼마인가?
[답] 전면적 : 16,384척
[풀이] 방전의 1면(面)의 길이의 제곱을 하면 전체의 면적을 얻는다. 1등은 본래의 정한 세율에 의하여 계산하고 2등 이하는 각각 그 율을 곱하면 된다.
14. 쇠분법(衰分法) 5문제
쇠분이라는 것은 등급별로 배분하는 방법을 말한다. 각 등에 차수(差數)를 곱하여 합한 결과를 포차(抛差)라고 말하며 이
포차를 원수에 빼서 그 나머지를 실수로 하고 각 등급의 각 호수를 합한 호수[共戶]를 법수로 하여 나누면 그 결과가 곧
말호(末戶)의 한 호에 해당되는 분량을 얻는다. 이 율을 각 호수에 곱하면 말호에 배분된 양을 얻는다.
팔려고 하는 쌀 947두 6승을 일반 민가에 3등급으로 분배하려고 한다. 이 분배에 있어서의 차는 대호가 중호보다 3두 8승이 많고, 중호는 소호보다 3두 5승이 많으며, 대호의 호수는 42이고 중호는 36이고 소호는 25라고 한다. 매등급마다의 매호에 해당 분배되는 양은 각각 얼마인가?
[답] 대호 : 516두 6승이며, 매호에는 12두 3승
중호 : 306두이고, 매호에는 8두 5승
소호 : 125두, 매호에는 5두
[풀이] 대호수(大戶數)에 대호가 2개의 호수보다 많은 양을 합하여 7두 3승을 곱하면 306두 6승을 얻는다. 중호수에 중호가 많은 양 3두 5승 을 곱하면 126두를 얻는다. 이것을 서로 합하면 432두 6승이 된다. 이 수가 포차(抛差)이다. 포차를 원미(原米)에서 빼면 나머지는 515두가 된다. 이 수를 실증하고 공호(共戶) 103로서 나누면 5두를 얻는다. 이 수가 소호의 해당 분량이다. 각 율에 각 호수를 곱하면 된다.
좁쌀 9,630석 14두를 일반 민가에 4등급으로 나누려고 한다. 각 등급의 차는 4두라고 하자. 대호수는 3,702이며, 중호 수는 2,947이고, 소호의 수는 2,493이다. 그리고 나머지의 호수는 1,940이라고 한다.
매등급마다 매호의 배당 분량은 얼마나 되는가?
[답] 대호 : 1석 3두이고 전체 호수의 분량은 4,442석 6두
중호 : 14두이고, 전체 호수의 분량은 2,750석 8두
소호 : 10두이고, 전체 호수의 분량은 1,662석
나머지 호 : 6두이고 전체 호수의 분량은 776석
[풀이] 대호수 3,702에 3을 곱하고, 중호수 2,947에 2를 곱하고 소호수 2,493에 1을 곱하여 이것을 모두 합하면 19,493이 된다. 이 수에 각 등급의 차 4두를 곱하면, 77,972가 된다. 이 수가 포차(抛差)이다. 그리고 원래의 좁쌀 9,630석 14두를 두로 환산하면[通斗內子] 144,464두가 된다. 이 수에서 포차를 빼면 나머지는 66,492가 되는데 이 수를 실수로 하고 4등급의 모든 호수(11,082호)를 법수로 하여 이것을 나누면 몫으로서 6두를 얻는다. 이 두가 잔호(殘戶)의 한 호당의 분배량이다.
따라서 각 차수(差數)를 더하고 그 호수를 곱하면 된다.
잔호 전체에 배당되는 분량은?
6두×1,940=116,40두인데 이것은 석으로 환산하면 776석이 된다.
진곡(賑糓 : 기미를 주는 곡식) 5,283석 9두를 굶주리고 있는 집에 6등급으로 하여 나누어 주려고 한다. 각 등급의 차를 1두 5승으로 기미를 주는데 갑등급의 호수는 666호이고, 을등급에는 555호이며, 병등급에는 444호이며, 정등급에는 333호,
무등급에는 222호, 기등급에는 111호이라고 한다. 이 호수에 4개월을 기미를 준 결과 원래의 곡식이 완전히 없어졌다고
한다.
매 등급의 매호마다 또 매달마다 분배되는 양은 얼마인가?
[답] 갑등급‥매호 11두이며 갑등급 전체 분배되는 양은 488석 6두
을등급 : 9두 5승이며, 을등급 전체의 분배되는 분량은 351석 7두 5승이다.
병등급 : 8두이며, 병등급 전체의 분배되는 분량은 236석 12두
정등급 : 6두 5승이며, 정등급 전체의 분배되는 분량은 144석 4두 5승
무등급 : 5두이며 무등급 전체의 분배되는 분량은 74석
기등급 : 3두 5승이며, 기등급 전체의 분배되는 분량은 25석 13두 5승이다.
[풀이] 갑등급의 호수 666에 5를 곱하고 6등급으로 나누어서 장차 기등(己等)급의 해당 분량을 구하는 고로 5로 곱하며
만약 5등급으로 나누면 마땅히 4로 곱한다 나머지는 이와 같다 또 을등급의 호수 555에 4를 곱하고, 또 병등급의 호수 444에 3을 곱하고, 또 정등급의 호수 333에 2를 곱하고, 또 무등급의 호수 222에 1을 곱하여 이들 5개의 수를 모두 합하면 7,770이 된다. 이 수 7,770에 각 등급의 차 1두 5승을 이것에 곱하면 11,655가 된다. 이 수가 포차(抛差)이다. 원곡(原糓)을 전부 두로 환산하여[通斗內子]로 나누면 19,813두 5승이 된다. 이 수는 매삭 6등급에 주는 수의 총합이다 이 수에서 포차 11,655를 빼면 8,158두 5승이 된다. 이 수를 실수로 하고 6등급의 전체호수(22,314호)를 법수로 하여 이것을 나누면 몫으로 3두 5승을 얻는다. 이 수가 기등급에 있어서의 매호 매월의 배당 분량이다.
따라서 각 차수(差數)를 더하고 그 해당 호수(戶數)를 곱하고 각각 4로 곱하면 된다.
북경에서 광동(廣東) 사이에 변요(邊徼)는 설치되어 있다. 제1초소에는 역마(驛馬)가 200필이 비치되어 있다.
제2초소 이하는 각각 말 1필씩 감한다고 하면 말의 전체 필수는 얼마가 되겠는가?
[답] 1550필
[풀이] 100개의 초소의 수에서 제1초소를 빼고 그 수에 1필(匹)을 곱하고 그것을 제1초소의 말 필수에서 빼면 나머지가 101필(匹)이 된다. 이것이 제100 초소의 말 필수이다.
이 수와 제1초소의 말 필수를 더하여 100을 곱하고 그 얻은 수를 절반으로 한다.
쌀 480두를 파는데 대, 중, 소, 잔, 독의 5등급으로 나누어 팔려고 한다. 그런데 5등급의 호수를 각각 대, 중의 호수의 쌀의
분배된 양과 소, 잔, 독의 호수에 쌀의 분배된 양이 같도록 하려고 한다. 각호에 해당 분배된 양은 얼마나 되는가?
[풀이] 쌀의 총량을 실수로 하고, 별도로 허쇠수(虛衰數) 1,2,3,4,5를 정하여, 5등급으로 분배한다. 그래서 5를 대호, 4를 중호, 3을 소호, 2를 잔호, 1을 독호라 한다. 대호 5와 중호 4를 합하여 9를 얻고, 또 소, 잔, 독을 합하여 6을 얻는다. 이 6을 9에서 빼면 3을 얻고 이것을 앞에서 말한 쇠수(衰數)에 각각 더한다. 그러하면 각각 대호 8, 중호 7, 소호 6, 잔호 5, 독호 4의 증가된 수를 얻고 그것을 전부 합하면 30이 된다. 이 수를 법수로 하여 실수를 나누면 상이 16두가 된다. 이것이 각 호의 쇠수(衰數)가 된다. 이 수와 각호의 허쇠수의 증가수(增加數)를 곱하면 각호의 해당 분량을 얻는다.
15. 영육법(盈朒法) 5문제
영육(盈朒)이라는 것은 보통 말하는 만(滿)ㆍ부족(不足)을 뜻하는 것이며, 실제수(원수)를 감추어 두고 얼마의 비율이면
원수에 얼마가 남고(盈으로 표현하였음), 또 다른 비율로 하면 얼마가 모자란다(朒으로 표현하였음)라는 것으로 만들어
[隱其數 作盈朒] 각각 그 비율을 색출하는 방법을 말한다.
지금 어떤 사람들이 물건을 사려고 하는데 매 사람마다 5냥씩 돈을 내면 6냥이 남고, 매 사람마다 3냥씩 돈을 내면 4냥이
모자란다고 한다. 사람의 수와 돈은 얼마인가? 영부족을 말한다
[답] 사람 : 5 명
돈 : 19냥
[풀이] 영육을 서로 곱하는데 출전 5와 육전(朒錢) 4를 곱하고 또 출전(出錢) 3과 영전(盈錢) 6을 곱하여 이 수들을 서로
합하면 38냥인데, 이 수 38냥을 전실수(錢實數)라 하고, 영육을 서로 합한 10냥을 인실수(人實數)라고 하자.
그리고 출전한 돈을 서로 빼면 2냥이 남는데 이 2냥을 법수로 한다. 이 법수 2로서 인실수 10을 나누면 인수(人數)를 얻고
또 이 법수 2로서 전실수 38을 나누면 돈을 얻는다.
어떤 사람들이 물건을 사려고 하는데 한 사람이 3냥 5전씩 내면 6냥이 남고 한 사람이 3냥 3전씩 내면 2냥 8전이 남는다고 한다. 사람수와 물건값은 얼마인가? 둘 다 영의 문제
[답] 사람 수 : 16명
돈 : 50냥
[풀이] 서로 곱하고 서로 빼면 나머지가 10냥인데, 이 수를 전실수(錢實數)로 하고 두 개의 영 수를 서로 빼서 인실수(人實數)로 하여 두 개의 출전을 서로 빼서 그 나머지를 법으로 하여 인실수를 나누면 인수(人數)를 얻고 전실수를 나누면 전수를 얻는다.
어떤 사람들이 물건을 사는데 돈을 5냥씩 내면 4냥이 모자라며 돈을 5냥 4전을 내면 2냥이 모자란다고 한다.
사람수와 물건값은 각각 얼마나 되는가? 둘 다 육의 문제
[답] 사람수 : 5명
물건값 : 29 냥
[풀이] 이 문제는 앞 문제의 모두 다 물건값에 비해서 남는다는 것을 물건값에 비해서 모두 다 모자란다는 것으로 바꾸었으므로 그 푸는 방법은 앞 문제와 같다.
어떤 사람들이 물건을 사는데 한 사람이 돈을 2냥 5전씩 내면 6냥이 남고 사람이 2냥 3전씩 내면 꼭 맞다고 한다.
사람 수와 돈의 액수는 얼마인가? 한 개는 영(盈)하고, 다른 한 개는 적족(適足)하는 문제
[답] 사람수 : 30명
돈 : 69냥
[풀이] 남는 6냥을 인실수(人實數)로 하고 내는 돈[出錢] 2냥 5전과 2냥 3전을 서로 빼면 2전인데, 이 2전을 법수로 하여
인실수를 나누면 곧 사람 수 30을 얻는다. 이 사람 수에 2냥 3전을 곱하면 돈을 얻는다.
어떤 사람들이 물건을 사는데 한 사람이 돈을 7냥을 내면 14냥이 부족하고 9냥씩을 내면 적족(꼭 알맞다)하다고 한다.
사람수와 돈은 얼마인가? 한 개는 부족하고 다른 한 개는 적족한 문제
[답] 사람 수 : 7명
돈 : 63냥
[풀이] 영적족산(盈適足算)의 바로 앞에 문제와 꼭같은 방법으로 풀면 된다.
16. 면적법(面積法) 5문제
면적이라는 것은 평면의 넓이를 말하는 것이며 양전(量田)의 종류를 말한다. 길이 1척, 나비 1척을 넓이 1척이라 말하며,
마치 口자 모양의 넓이를 뜻하고, 길이 2척 나비 2척이면 넓이 4척이라고 말하며 이것은 田자의 넓이를 뜻한다.
길이 3척이고 나비 3척이면 넓이 9척이라고 말하며 井자의 넓이를 뜻하고, 길이 2척이고 나비 1척이면 넓이 2척이라 말하며 日자의 넓이를 뜻하며, 길이 3척이고 나비 1척이면 넓이 3척이라고 말하며 目자의 넓이를 뜻하고, 길이 3척이고 나비 2척이면 넓이 6척이라고 말하며 用자의 넓이를 뜻한다.
정방형의 넓이[面積]를 구하는데, 1변의 길이가 19척이면 넓이는 얼마나 되는가?
[답] 면적 361척
[풀이] 제곱하면 되며 방전(方田)법과 같이 하면 된다.
직사각형의 장(長)이 35척이고 나비가 18척이면 면적은 얼마나 되는가?
[답] 630척
[풀이] 장(長)과 나비를 서로 곱하면 된다. 직전법(直田法)과 같다.
원 모양의 땅이 있다. 그 둘레는 84척이고 지름 28척이라 한다. 그 원의 넓이는 얼마나 되는가?
[답] 588척
[풀이] 둘레와 지름을 각각 반으로 하여 서로 곱하면 된다. 또 둘레의 제곱을 2로 나누면 된다. 또 지름을 제곱하고 더욱 75를 이것에 곱하면 된다.
또 둘레와 지름을 서로 곱하여 이것을 4로 나누면 된다. 또 지름을 제곱하여 이것에 3을 곱하고 그 결과를 4로 나누어도 역시 얻어진다.
호시(孤矢) 모양의 땅이 있다. 현의 길이가 56보이고 시(失)의 길이가 18보이면 면적은 얼마나 되는가?
호시의 모양이라고 하면 활꼴모양을 말한다. 즉 그림으로 이것을 그리면 다음과 같다.
[답] 756보
[풀이] 현의 길이와 시의 길이를 서로 곱하여 4로 나누고 그 결과를 3으로 곱한다.
정삼각형 모양의 땅 넓이를 구하려는데 한 변의 길이가 4척이라고 하면 면적은 얼마나 되는가?
[답] 84척
[방법] 한 변의 길이 14척의 6/7을 곱하면 중선의 길이(중장) 12척을 얻는다.
이 수 12에 또 면의 길이 14의 반 즉 7척을 이것에 곱하면 즉 12×7=84척을 얻는다. 이것이 면적이다.
17. 체적법(體積法) 18문제
체적이라는 것은 물건의 길이[長], 나비[廣], 높이[高]가 있는 것의 꼴을 말한다. 길이 1척, 나비 1척, 높이 1척을 체적 1척이라고 말하며 정방형의 말[斗] 모양을 말하며 또 장방형(長方形) 모양의 되[升] 모양을 뜻한다.
또 정원형(正圓形)의 구(球)도 역시 이것에 속하며 장원형(長圓形) 모양의 죽통(竹筒)도 역시 이것에 속한다.
정방체(정6각형)의 한 변의 길이가 25척이면 체적은 얼마나 되는가?
[답] 15,625척
[풀이] 3제곱하면 된다. 우선 25×25=625척이고 또다시 25×625척 하면 곧 문제의 15,625척이 된다.
직6면체(장방형)의 장(長)이 28척이고 나비가 15척이며 높이가 18척이면 체적은 얼마나 되는가?
[답] 7,560척
[풀이] 장(長)과 나비를 서로 곱하여 그 결과에 또 높이를 곱하면 된다 우선 15에 28을 곱하면 420척을 얻고 이 결과수에
다시 18을 곱하면 곧 문제의 7,560척이 된다. 가법(加法)을 승용(乘用)하는 것도 좋다.
대방체(臺方體)의 위쪽의 한 변의 길이가 28척이고 아래쪽의 한 변의 길이가 32척이며 높이가 46척이면 그 체적은 얼마나 되는가?
[답] 약 41,400척(146,461과1/3척)
[풀이] 상ㆍ하의 변의 길이를 각각 제곱하고 또 서로 곱한다. 이상 3가지를 모두 합하여 그 수에 높이를 곱하여 얻은 수를 3으로 나누면 된다.
먼저 상방(上方) 28에 28을 곱하면 784를 얻는다. 또 하방(下方)에 32에 32를 곱하면 1,024를 얻는다. 또 상방 28에 하방 32를 곱하면 896을 얻는다. 이 3가지의 얻은 수를 모두 하면 2,704가 된다. 이 수에 높이 46을 곱하면 124,384가 된다.
이것을 3으로 나누면 주에 있는 답에 합당하는 것이 되고 만약 본방(본란의 답란에 있는 것)의 답에 알맞는 것을 구하려면 위에서 3개의 얻는 수를 합할 경우에 그 얻은 수를 2,700단이 되야만 가능하다.
어찌 그럴 리가 있겠는가 필시 오산이지 오서는 아니리라.
정4각뿔의 아랫변의 길이가 25척이고 높이가 28척이면 체적은 얼마인가?
[답] {5,833과1/3}
[풀이] 아랫변을 제곱하고 이 수를 높이 28로 곱하면 17,500척이 된다. 이 17,500척을 3으로 나누면 된다.
방전(方箭)의 1속(束)의 바깥둘레가 44개이면 이 방전의 체적은 얼마인가?
[답] 144개
[풀이] 바깥둘레에 4개를 첨가하여 제곱하면 2,304개이다. 이 수를 16으로 나누면 된다.
가령 바둑판이 있어 바깥둘레로부터 이것을 헤아려 가면 72구멍이 있다. 여기에 4개를 첨가하면 76구멍이 된다.
이 76을 제곱하면 5,776구멍이 된다. 다시 이것을 16으로 나누면 361구멍이 된다. 여기서 4개를 첨가하는 이유를 생각하면 만약 각변을 각자 이것을 헤아려 가면 모두 19구멍이 되어 이와 같은 것이 4개 있으므로 이것을 합하면 19×4=19+19+19+19=76이 된다. 그러나 만약 주위로부터 이것을 헤아려 가면 4구멍이 적은 72가 되므로 이와 같은 사실을 알게 될 것입니다.
정원체(正圓體)의 지름이 16척이면 그 체적은 얼마인가?
[답] 2,304척
[풀이] 지름을 3제곱하고 그 결과에 9를 곱한다. 이 수에 또 16을 곱하면 즉 36,864척이 된다. 이 수를 16으로 나누면 된다. 먼저 16을 16으로 곱하면 256을 얻고, 제차 16으로 256을 곱하면 4,096을 얻는다. 또 9로서 이것을 곱하면 36,864가 된다. 이어 16으로 이것을 나누면 답에 있는 것에 알맞게 된다. 제곱 3제곱 모두 가법(加法)을 사용하면 가하다.
장원제(원기둥)의 밑변의 원의 둘레가 37척이고, 높이가 14척이면 원기둥의 체적은 얼마인가?
[답] {1,597과1/6}척
[풀이] 둘레 37의 제곱을 하고 다시 높이 14척을 곱하면 19,166척이 된다. 이 19,166을 12로 나누면 된다. 먼저 37과 37을 곱하면 13,69이고 또 14와 1,369를 곱하면 된다. 가법(加法)을 승용(乘用)하는 것이 가하다.
돈원체(원뿔대)의 윗면의 원둘레가 29척이고 아랫면의 둘레가 42척, 높이가 38척이면 체적은 얼마인가?
[답] {4,035와7/18}척
[풀이] 상하 둘레를 각각 제곱한다. 또 상하 둘레를 서로 곱한다. 이 3가지를 모두 합하여 이 값에 높이 38을 곱하면 145,274척이 된다. 이것을 36으로 나누면 된다.
원추(원뿔)의 밑면의 원둘레가 54척이고 높이가 37척이면 체적은 얼마인가?
[답] 2,997 척
[풀이] 밑면의 원둘레를 제곱하고 또 높이 37을 곱하면 107,892가 된다. 이 수를 36으로 나누면 된다.
하주(下周)를 제곱하면 2,916을 얻는다. 제법(除法)은 당귀법(撞歸法) ‘견삼무제작 구삼(見三無除作九三)’이라는 것을
사용한다.
원전(圓箭)의 1속의 바깥둘레가 54개이면 이 체적은 얼마인가?
[답] 271 개
[풀이] 바깥둘레 54에 6개를 더 첨가하여 60으로 만들고 이 60과 바깥둘레 54를 곱하면 3,240을 얻는다. 이 수를 12로 나누어 원전의 중심에 놓여 있는 1개를 더하면 된다. 외주(外周)에 6을 첨가하면 60이 된다.
이 60으로 54를 곱하면 3,240을 얻는다. 이것을 나누면 270개를 얻고 다시 1개를 첨가하면 비로소 답에 알맞게 된다.
인법(因法)을 승용(乘用)하면 곧 정위(定位)가 가(可)하며 불가불 심의(審議)하게 된다.
조를 쌓아올리는데 장(長)을 15석으로 나비를 9석으로, 높이 17석으로 하면 그 체적은 얼마인가? 이하는 잡체적(雜體積)임.
[답] 2,295 석
[풀이] 장(長) 15석과 나비 9석을 서로 곱하고 또 그 수에 높이 17석을 곱하면 된다. 15석을 9로 곱하면 135석을 얻고 이 수에 17을 곱하면 답에 알맞는 것이 된다. 역시 가법(加法)을 사용하면 지극히 편리하다.
평지에 좁쌀을 쌓으려고 한다. 하주(下周)가 25척 5촌이고 높이가 8척이면 그 체적은 얼마인가?
[답] 144척 5촌
[풀이] 아랫면의 둘레 25척 5촌을 제곱하고 또 이 수에 높이 8을 곱하면 5,202척이 된다. 이 결과를 36으로 나누면 된다.
25.5를 25.5로 곱하면 650.25가 된다. 이것을 8로 곱하면 5,002척 00이 된다. 이것을 나누면 답에 알맞게 된다.
벽에 의지하면서 좁쌀을 쌓아올리려고 한다. 이때의 아랫면의 둘레가 12척 7촌 5푼이고, 높이 8척이면 이때의 체적은
얼마인가?
[답] 72척 2촌 5푼
[풀이] 아랫면의 둘레를 제곱하고 이 수에 다시 높이 8척을 곱하면 130척 5촌이다. 이 수를 다시 18로 나누면 된다.
하주(下周) 12척 7촌 5푼을 12척 7촌 5푼으로 곱하면 162척 5촌 6푼 2리 5모를 얻는다.
이 높이 8척으로 곱하면 130척 5촌이다. 제법(除法)에는 당귀법을 사용하면 즉 ‘견 一 무제작 九一’ 또 ‘九一 하환 一’이라는 것을 사용한다. 다음에는 귀제법(歸除法)을 사용하면 답에 알맞는 것이 된다. 18로 나눈다는 것은 36의 절반을 사용한 것이다.
각을 이루면서 좁쌀을 쌓아올리려고 한다. 이때의 밑변의 둘레는 6척 3촌 7푼 5리이며 높이는 8척이라 한다.
이때의 체적은 얼마인가?
[답] 36척 1촌 2푼 5리
[풀이] 둘레 6척 3촌 7푼 5리를 제곱하고 이 수를 또다시 높이 8로서 곱하면 325척 1촌 2푼 5리가 된다.
이 수를 9로 나누면 된다.
하주(下周)를 제곱하면 40척 6촌 5푼 6모 2사 5홀이고 높이를 곱하면 325척 1촌 2푼 5리를 얻는다. 이것을 나누면 답에 알맞는 것이 된다. 제법에는 귀제법(歸除法)을 사용한다.
성을 쌓으려고 한다. 위의 나비는 18척이고 아랫나비는 36척이며 높이는 46척이며 장(長)은 11,520척이라 한다.
그 체적은 얼마가 되겠는가?
[답] 14,307,840척
[풀이] 위의 나비와 아랫나비를 합하여 2로 나눈다. 사다리꼴의 면적을 구하는 것과 같다 이 결과에 높이 46을 곱하고 또 그 결과에 장(長)의 길이 11,520을 곱하면 된다. 상하광(上下廣)을 합하면 54척이고 그것을 절반하면 27척이 된다.
이 27척을 높이 46척으로 곱하면 1,242척인데 이 수를 장(長)의 길이로 곱하면 답에 알맞는 것이 된다.
담장을 쌓으려고 한다. 윗나비는 3척이고 아랫나비는 4척, 높이는 9척이며 장(長)은 3,850척이라고 한다. 체적은 얼마인가?
[답] 121,275척
[풀이] 양 나비를 합하여 절반으로 하고 높이를 곱한다. 이 결과에 다시 장(長)을 곱하면 된다.
양광(兩廣)을 합하면 7척이다. 그것을 절반하면 3척 5촌이 얻어진다. 이 3척 5촌으로 높이를 곱하면 31척 5촌을 얻는다.
이 수에 장(長)을 곱하면 답에 알맞는 것이 된다.
개천을 만들려고 한다. 윗나비 26척이고 아랫나비가 18척이고 깊이가 15척이며 길이는 5,400척이라고 한다.
그 체적은 얼마인가?
[답] 1,782,000척
[풀이] 양 나비를 서로 합하여 이것을 절반으로 하고 이 수에 깊이 15척을 곱하고 이 수를 다시 길이로 곱하면 된다.
양 광을 합하면 44가 되고 그 절반은 22가 된다. 이 22로서 길이를 곱하면 330이 된다. 이 수에 장(長)을 곱하면 답에 알맞는 것이 된다.
제방 공사를 하려고 한다. 윗나비는 6척 4촌이고 아랫나비는 12척 4촌이며 높이는 9척 2촌이며 길이는 3,800척이라 한다.
체적은 얼마인가?
[답] 328,624척
[풀이] 축원(築垣)하는 문제와 꼭같은 방법으로 하면 된다.
양 나비 즉 윗나비 6척 4촌과 아랫나비 12척 4촌을 합하면 즉 18척 8촌인데, 이것을 절반하면 9척 4촌이 된다.
이것을 또 높이 9척 2촌으로 곱하면 864척 8촌이 된다. 이 수를 다시 길이 3,800척으로 곱하면 문제에 알맞는 것이 된다.
대개 이 정위(定位)는 혹 초학(初學)의 사람으로는 의문이 되며 어려운 점이다.
그 높이를 곱할 때는 법수, 실수의 꼬리수는 모두 영이므로 법수의 첫머리 수는 실수의 촌(寸)에 기산(起算)하므로 득수(得數)의 첫머리의 자리는 100척이 된다. 장(長)을 곱할 때 법수의 첫머리 수는 실수의 척(尺)에 기산하므로 득수(得數)의 수위(首位)는 마땅히 300,000이다. 이와 같은 곳에서 불가불 먼저 정위(定位)를 심의하여야 한다.
18. 개방법(開方法) 14문제
개방의 많은 방법 중에 제곱근과 3제곱근을 구하는 것이 그 중요한 부분이 된다. 면적을 알고 한 변을 구하는 것이 제곱근을 구하는 것이 되고, 다시 말하여 개평방(開平方)이라고 말하며, 체적을 알고 한 변을 구하는 것이 3제곱근, 즉 개입방(開立方)이라고 말한다. 제곱근은 제곱의 환원이고 입방이라고 하는 것은 3제곱의 환원이다.
제곱근을 구하는데는 4격상인데 상(商)이 상격(上格)이고, 실수가 차격(次格)이며 또 차격은 방(方)이며 제일 아랫격(최하격)이 염(廉)이다. 염은 실수에서 기산하게 되며 실수의 첫자리부터 시작하여 1자리씩 초과하여 생각한다.
다시 말하면 실수의 가장 아랫자리 즉 단수(單數)의 자리부터 시작하여 2자리씩 한 묶음으로 생각한다.
이와 같이 하여 우선 상(商)을 위에 정하고 이 염으로 상과 곱하여 방(方)이 되며, 상(商)과 방(方)을 서로 곱하여 실수에서 뺀다. 그러한 후에 염(廉)과 상(商)과 곱한 것을 방(方)에 더한다.
속상을 구하여 앞과 같이 한다. 방은 1퇴하고 염은 재퇴한다.
입방근(立方根)을 구하는 데는 5격상인데 방의 아래쪽에 있고 염의 위쪽에 별도로 우격(隅格)이 있어 염(廉)의 전퇴를 2자리씩 초과하여 생각한다. 이와 같이 하여 염(廉)을 구하고 이 염으로 상을 곱하여 우(隅)가 되고 우(隅)와 상(商)을 서로 곱하여 방(方)이 된다. 방과 상이 서로 곱하여 실수에서 뺀다. 이와 같이 하여 염(廉)과 상(商)을 곱하여 우(隅)에 더한다.
또 상과 우를 서로 곱하여 방에 더하고 또 염으로 상을 곱하여 재차 우에 더한다.
방은 1퇴, 우는 재퇴, 염은 3퇴하며 속상(續商)을 구하여 앞에서와 같은 방법으로 하면 된다.
제곱한 면적이 361척이면 한 면의 길이는 얼마인가?
[답] 19척
[풀이] 면적을 나열하여 실수를 하고 지금 1을 빌어 단척(單尺) 하에 1을 쓴다.
그 하(下)에 쓴다는 뜻은 오른쪽에 쓴다는 뜻이다. 이것을 명명해서 염(廉)이라고 한다. 다음에 자리를 건너 뛰어 100척의 자리까지 와서 실수가 10,000이면 다시 뛰며, 100만이면 3초(超)한다. 1초이면 상이 10이고 재초(再超)하면 상이 100이고 3초하면 상이 1000이다. 그 위쪽에 상(商)을 쓴다. 그리하여 이 염과 상을 곱하면 1이 되는데 이 1을 방(方)으로 한다.
이 상(商)과 방(方)을 서로 곱하여 (1×1=1) 실수에서 빼면 실수의 나머지가 261척이 된다. 골 염(廉)을 상(商)과 곱하여 방에 더하면 방이 2가 된다. 방을 1회하고 염을 재회하면 속상(續商) 9척을 얻고 이염과 상을 곱하여 방에 더하면 29를 얻는다.
이 방과 상을 서로 곱하여 2×9=18, 9×9=81 이 수를 실수에서 빼면 완전히 없어진다.
방영(方營) 즉 정사각형 모양의 군 주둔지의 면적이 71,824보(步)라고 한다. 이 방영의 한 변의 길이는 얼마인가?
[답] 268보
[풀이] 면적 71,824를 실수로 하고 염(廉)을 재초(再超)시켜 만보(萬步)까지 하면 상(商)이 200이 되고 따라서 방(方)은 2가 되며 상과 방을 서로 곱하여 2상×2방=4 실수 71,824보에서 빼면, 나머지는 31,824보가 된다. 곧 이어서 염 1과 상 2를 곱하여 방(方) 2에 더하면 방이 4가 된다. 방(方) 1퇴하고 염(廉) 재퇴(再退)하면 속상(續商) 60을 얻고, 방에 더하면 방은 46을 얻는다. 이 방 46과 상 6을 곱하여 4×6=24, 6×6=36 이 수를 실수에서 빼면 실수의 나머지는 실제로 4,224가 된다.
다음에 염 1과 상(商) 6을 곱하여 이를 방 6에 더하면 12가 된다. 이 수 12와 전에 얻은 방 46과 합하면 52가 된다.
여기서 또다시 속상(續商) 8보를 얻고 이 수 8을 방에 더하면 방은 528이 된다.
이 방 528과 상 8을 곱하여 5×8=40, 2×8=16, 8×8=64 앞에 남은 실수에서 빼면 완전하게 없어진다.
직4각형의 면적이 2,052척이라 한다. 단지 장(長)과 나비의 합이 92척이라 하면 장(長)과 나비는 각각 얼마인가?
[답] 장 : 54척
나비 : 38 척
[풀이] 면적 2,052척을 4로 곱하면 8,208척을 얻는다.
또 장(長)과 나비를 합한 92척을 제곱하면 8,464인데 이 수에서 면적을 4로 곱한 수 8,208을 빼면 나머지가 256척이 된다.
이것을 실수로 하여 제곱근을 구하면 곧 16척을 얻는다.
이것이 장광교(長廣較)가 된다. 이 16척과 장과의 나비를 합한 92척을 합하면 108척이 된다.
이 수를 절반하면 54척을 얻는다. 이 54척이 곧 장(長)이며 이 수에서 장광교(長廣較) 16척을 빼면 38척이 된다.
이 38척이 나비이다.
[풀이] 또 면적을 실로 하고 화를 방으로 하며 1을 염으로 한다. 방 1퇴 하며 염(廉) 재퇴하면 상은 30이다. 염과 상을 서로 곱하여 1×3=3 방을 빼면 나머지는 620이다. 상과 방을 서로 곱하여 3×6=18, 2×3=6 실에서 빼면 나머지는 192이다.
또 염과 상을 서로 곱하여 1×3=3 방을 빼면 나머지는 320이다.
방 1퇴, 염 재퇴하면 다음 상이 8보(步)이고 염과 상을 서로 곱하여 1×8=8 방을 빼면 나머지는 24이다.
상과 방을 서로 곱하여 2×8=16, 4×8=32 실에서 빼면 완전히 없어진다. 역시 나비[廣]를 얻는다.
대개 이것을 개평한다. 적과 화(和)로서 광(나비)을 구하는 자는 대종익우(帶縱益隅)와 대종부우(帶縱負隅)의 감종(減縱)의 2방법[二術]이 있다. 감종하는데는 방법이 있다.
적(積)과 화(和)로서 길이[長]를 구하려면 대종부우(帶縱負隅)와 감종번법(減縱飜法)이 있다.
적(積)과 교(較)로서 광(나비)을 구하려면 대종(帶縱)과 감적(減積)의 2방법이 있다.
적(積)과 교(較)로서 길이[長]를 구하려면 부종익적(負縱益積)과 대감종(帶減縱)의 2방법이 있다.
이 외에도 변에 따라서 착종(錯綜)하게 여러 서적에 구비하게 나타나 있으나 여기서는 구체적으로 실리지 못하였다.
직4사각형의 모양의 군 주둔지역이 있다. 그 면적이 71,824보(步)라고 한다.
길이와 나비의 합이 670보(步)라고 하면 각각 길이와 나비는 얼마인가?
[답] 길이 : 536보(步)
나비 : 1,456보(步)
[풀이] 문제에 주어진 면적을 4로 곱하면 287,296보(步)를 얻는다. 또 길이와 나비를 합한 보(步) 수를 제곱하면 448,900인데 이 수에 앞에서 4로 곱한 수를 빼면 나머지는 161,604가 된다.
이 수를 실(實)로 하여 제곱근을 구하면 402를 얻는데 이 수 402는 주어진 직영(直營)의 길이와 나비의 차이라 이 수와 장광(長廣)의 합의 수를 합한 수의 절반을 하면 그것이 곧 길이가 되며 이것에 차[較]를 빼면 나비가 된다.
또 감종법(減從法)으로 나비[廣]를 구하려면 주어진 면적을 실로 하고 장광(長廣)의 합을 방(方)으로하며 1을 염(廉)으로 하며 방을 재진(再進)하고 염을 4진(進)하면 상상(上商)은 100이 된다.
염상을 서로 곱하여 1×1=1 이것을 방에서 빼면 나머지는 57,000이다. 상과 방을 서로 곱하여 1×5=5, 1×7=7 실에서 빼면 나머지는 14,824이 된다. 또 염과 상을 서로 곱하여 1×1=1 방에서 빼면 나머지는 47,000이 된다.
방을 1퇴(退)하고 염을 재퇴(再退)하면 속상(續商) 30을 얻고 염과 상을 서로 곱하여(1×3=3) 방에서 빼면 나머지는 4,400이 된다.
상과 방을 서로 곱하여 3×4=12, 3×4=12 실에서 빼면 나머지는 1,624가 된다. 또 염과 상을 서로 곱하여 1×3=3 방에서 빼면 나머지는 4,100이 된다. 방(方) 1퇴하고 염 재퇴하면 속상(續商) 4보(步)를 얻는다.
염과 상을 서로 곱하여 1×4=4 방(方)에서 빼면 나머지는 406이 된다.
상과 방을 서로 곱하여 4×4=16, 4×6=24 실에서 빼면 모두 완전히 없어진다. 역시 나비[廣]를 얻는다.
지금 직4각형의 밭이 있어 그 면적은 1,456보인데 그 길이와 나비의 차는 30보라고 한다. 길이와 나비는 각각 얼마인가?
[답] 길이 : 56보
나비 : 26보
[풀이] 면적 1,456보를 실수로 하고 나비, 길이 교(較) 즉 차를 방으로 한다. 그리고 1을 염으로 하고 방을 1진시키고 염을 재퇴시키면 즉 방은 1자리를 올리고(즉 30이 300이 되게 하여) 상을 생각하면 상이 20이 된다. 이상 20과 염 1을 서로 곱하면 1×20인데 이것을 방에 더하면 방은 500이 된다.
상과 방을 서로 곱하여 2×5=10 실에서 빼면 나머지는 456이고 또 염과 상을 서로 곱하여 1×2=2 방에 더하면 700을 얻는다. 방을 1퇴시키고 염을 재퇴시켜서 생각하면 속상(續商)으로서 6보를 얻으며, 염과 상을 서로 곱하여 1×6=6 방에 더하면 76을 얻는다. 상과 방을 서로 곱하여 6×7=42, 6×6=36 실에서 빼면 실은 완전히 없어진다.
이 수가 곧 나비이며 차수를 이 수에 더하면 곧 길이가 된다.
원의 넓이가 588척이라고 한다. 이 원이 지름과 둘레는 각각 얼마인가?
[답] 둘레 : 84척
지름 : 28척
[풀이] 우선 둘레를 구하여 보자. 면적 588척을 12승 하면 7,056이 된다.
이 수를 실수로 하고 이것을 개평(開平)을 하면 둘레 84척을 얻고 이 둘레를 3으로 나누면 28척을 얻는데 이것이 지름이다.
또 지름을 우선 구하여 보자. 면적을 4로 곱하고 또 그 결과를 3으로 나누면 (즉 784가 된다. 588×4=2,352 2,352÷3=784) 이 수를 실수로 하여 개평(開平)하면 지름을 얻는다. (즉
) 이 지름 28을 ×3하면 둘레가 된다. (즉 84척이 둘레이다)
원형의 군 주둔지가 있다. 그 면적은 71,824보인데 이 둘레와 지름은 각각 얼마인가?
[답] 둘레 928보 3푼이고 나머지는 12보 2푼 {5와11/12} 지름 308보 4푼 나머지는 27보 7푼 3리.
[풀이] 우선 둘레를 구하기 위하여 면적 71,824를 12배하면 861,888이 된다.
이 수를 실수로 하고 개평하면 둘레를 얻는다. 나머지 147보 1푼 1리를 12로 나누어 환원하면 여실수가 된다.
지름을 구하려면 면적 71,824(보)를 4로 곱하고 또 그 결과를 3으로 나누면 {95,765와1/3}보가 된다.
이것을 통분내자하면 원수를 4로 다시 곱한다 287,296이 되는데 이 수를 실수로 하여 이것을 개평한다.
단 이 분모를 염(廉)으로 하여 처음 상으로 300을 얻는다.
이 염과 상을 곱하여 염 3×상3=9가 되는데 이 9를 방(方)으로 한다. 방 9와 상3을 서로 곱하여 27이 되며 이 27로서 실수를 나누면 지름을 얻고 나머지로서 110보 9푼 2리가 된다. 이것을 3으로 곱하고 4로 나누어 이것은 본래에 있어서는 4로 곱하고 3을 나눈 결과에서 수를 얻었으므로 실제로 환원시키려면 3을 곱하고 그 결과에서 4를 나누어야 함은 물론이다. 즉 역산을 하면 된다. 이와 같이 한 결과를 또 분모 3으로 이것을 나누어야 여실수가 된다.
본래 통분하여 수를 얻었으므로 3을 나누지 아니하였다. 그러므로 실제의 나머지 실수를 구하려면 3을 나누어야 한다.
정3각형의 면적이 84척이고 한 편의 길이와 중선의 길이의 합이 26척이면 매변의 길이와 중선의 길이는 각각 얼마인가?
[답] 매 변의 길이 : 14척
중선의 길이 : 12척
[풀이] 면적 84척을 배로 한다. 직사각형의 면적이 된다 또 이 결과로 4 곱하면 672를 얻는다.
중선과 한 변의 길이의 합 26척을 제곱하면 676이 되는데 이 수에서 672를 빼면 나머지는 4가 된다.
이 수를 실수로 하고 이것을 개평하면 2척을 얻는다. 이 결과는 면중교(面中較)가 된다.
이것에 중장화(中長和)를 더하여 절반하면 변의 길이가 된다. 이 변의 길이에서 면중교(面中較)를 빼면 중선의 길이가 된다.
정삼각형 모양의 군 주둔지의 면적이 14,112보이고 한 변의 길이와 중선의 길이의 합이 340척이라 한다.
정삼각형의 한 변의 길이와 중선의 길이를 각각 구하여라.
[답] 한 변의 길이 : 196보
중선의 길이 : 144보
[풀이] 면적 14,112보를 배로 하고 또 그 결과를 4로 곱하면 112,896이 된다. 또 한 변의 길이와 중선의 길이의 합 340척을 제곱하면 115,600이 된다. 지금 이 수에서 112,896을 빼면 나머지가 2,704가 된다.
이 수 2,704를 실수로 하고, 이것을 개평하면 52보를 얻는다. 이 수가 면중교(面中較)가 된다.
이 수와 중장화(中長和)를 더하여 그 절반을 생각하면 그 수가 바로 변의 길이가 된다. 이 변의 길이에 면중교(面中較)를 빼면 곧 중선의 길이가 된다.
호시의 면적이 240척이라고 한다. 지금 현과 시의 합이 48척이면 현과 시의 길이는 각각 얼마인가?
[답] 현 : 40척
시 : 8척
[풀이] 면적 240척을 3으로 나누고 또 그 결과를 4로 곱하면(호시 면적은 직사각형의 면적의 3/4이다)
언월(偃月)형의 군 주둔지의 면적이 78,643,200보라고 한다.
그리고 현과 시의 합이 29,696보이면 현, 시의 길이는 각각 얼마인가?
[답] 현 : 25,600보
시 : 4,096보
[풀이] 면적 78,643,200보를 3으로 나누고 그 결과를 4로 곱한 뒤에 다시 또 4로 곱하면 419,430,400이 된다.
또 현과 시의 합의 길이 29,696보를 제곱하면 881,852,416이 된다.
이 수에서 419,430,400을 빼면 나머지가 462,422,016이 된다.
이 462,422,016을 실수로 하여 이것을 개평하면 21,504보가 된다. 이 수가 현시교(弦矢較) 길이이고 이 수와 현시의 합인 수를 합하여 절반하면 [(21,504+29,696)÷2=25,600] 이것이 바로 현의 길이이고 시의 길이는 현의 길이에서 현시교의 길이를 뺀 나머지가 시의 길이가 된다. 즉 4,096(보)이다.
정6면체의 체적이 15,625척이라고 하면 한 변의 길이는 얼마인가?
[답] 25척.
[풀이] 체적 15,625척을 실수로 하고 염 1을 빌어서, 척의 단위 2자리를 뛰어서 쓰고 염을 천 척의 자리까지 올린다.
(실수가 100,000이 있다고 하면 다시 뛰어야 한다. 1은 뛰면 상이 10이 되고 다시 뛰면 상이 100이 된다)
그리하여 상 20을 얻고 이 염(廉)과 상(商)을 곱하여 염(廉)의 위쪽에 따로 2를 두어 우(隅)라고 한다.
이 우와 상을 서로 곱하여 우의 위쪽에 4를 둔다. 이것을 방(方)이라 한다.
상과 방을 서로 곱하여 (2×4=8) 실수에서 빼면 7,625척이 된다. 곧 이어서 염(廉)과 상을 곱하여 우(隅)에 더하고, 우와 상을 서로 곱하여(2×4=8) 이 8을 방(方)에 더한다.
또 이 염과 상을 곱하여 또다시 우에 더하면 방은 12가 되고 우는 6을 얻는다. 방(方)은 一퇴, 우는 재퇴, 염은 3퇴하여
몫(상)을 구하면 5척이 세워진다. 이것을 우(隅)에 더하면 우는 65가 된다. 우와 상을 서로 곱하면(5×6=30, 5×5=25, 65×5=325) 이것을 방(方)에 더하면 합이 1,525가 된다. 상과 방을 곱하면(1×5=5, 5×5=25, 2×5=10, 5×5=25), 상 5와 방 1,525을 곱하면 1525×5=7625 이것을 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다. 이 상 25가 구하는 한 변의 길이다.
정육면체로 되어 있는 대(臺)가 있다. 그 체적이 97,336보라고 한다. 그대의 하변의 길이는 얼마인가?
[답] 46보
[풀이] 체적 97,336보를 실수로 두고 염을 재초(再超)시켜 실수의 천 척(千尺)부터 염(廉)을 시작하면 상(商) 40이 세워지며 우(隅) 4가 되고, 우(隅) 4와 상 4를 곱하여 방(方) 16을 얻는다.
상 4와 방(方) 16을 곱하면 (1×4=4, 4×6=24, 4×16=64) 이것을 실수에서 빼면 33,336보가 된다.
그리하면 곧 염과 상 4를 곱하여 우(隅)에 더하면 우가 8이 되는데, 이 우(隅)와 상 4를 곱하면 (8×4=32) 이 32를 방(方) 16에 더하면 32+16=48이 되고 또 염(廉) 1과 상 4를 곱하여 다시 우(隅) 8에 더하면 우는 12가 된다.
즉 우 12, 방 48이 되었다. 여기서 방 1퇴하고, 우 재퇴하며, 염 3퇴하여 계속 상을 구하면 6이 된다.
이상 6과 염 1을 곱하여 우(隅)에 더하면 우는 126이 된다.
우 126과 상 6을 곱하면 1×6=6, 2×6=12, 6×6=36, 126×6=756 이 된다. 이것을 방 48에 더하면 즉 5,556이 된다.
이 방 5,556에 상 6을 곱하면 5×6=30, 5×6=30, 5×6=30, 6×6=36 5,556×6=33,336이 되는데 이것을 실수의 나머지에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
입원(立圓)의 체적이 62,208척이라 한다. 이 구의 지름은 얼마인가?
[답] 48척
[풀이] 체적 62,208척을 16으로 곱하면 995,328이 된다. 이 수를 9로 나누면 110,592가 된다.
이 수를 실수로 하여 3제곱근을 구하면 지름을 얻는다.
서양의 원의 모양으로 생긴 배[船舶]의 체적은 36,000보(步)다. 이 배의 지름을 구하여라.
[답] 40보(步)
[풀이] 체적 3,600보를 16으로 곱하고 또 그 결과를 9로 나누어 보면 64,000보를 업는다.
이 64,000보를 실수로 하는 3제곱근을 구하면 된다. 즉 개립(開立)을 하면 된다.
19. 군영개방법(軍營開方法)
지금 군인이 있는데 총 17,956명이라 한다.
한 사람마다 정사각형 모양 땅 4보(步)씩 점령지를 계산한다면 총 면적은 얼마나 되는가?
[답] 71,824보
[풀이] 군인의 총수에 4보를 곱하면 구하는 총 면적을 얻는다.
지금 군의 주둔지가 있다. 그 총면적은 71,824보라고 한다. 지금 이 주둔지는 정4각형의 모양을 하고 있다.
그러하면 이 주둔지의 한 면의 보수(步數)는 얼마나 될까?
[답] 268보
[풀이] 면적을 실수로 하고 1을 염(廉)으로 하는 개평을 하면 구하려는 값을 얻는다.
배방(倍方)의 법으로 하고 1퇴한 것은 다시 배로 하지 않음
지금 군 주둔지가 있어 그 면적은 71,824보이고 주둔지는 원의 모양을 하고 있다고 한다.
둘레와 지름은 각각 얼마나 되겠는가?
[답] 지름 309보이고 나머지는 27보 7푼 3리, 둘레는 928보 3푼이며 나머지는 12보 2푼 {5와11/12}리다.
[풀이] 지름을 구하려면 원전술(圓田術)을 사용해서 구한다. 우선 면적 71,824를 4로 곱하고 또 3으로 나누어 보면
보다. 이것을 통분환산하여 내자를 생각하면 287,296인데, 이 수를 실수로 하고 3을 염(廉)으로 하여 개평(開平)을 하면 문제에 알맞는 답 309.4보이고 나머지는 110보 9분 2리가 된다. 즉 110.92보이다.
이 수를 3으로 곱하고 4로 나누면 83.19보를 얻는다.
실제 개평에 있어서의 실수는 원수를 4/3한 결과로서 수를 얻었으므로 환원시키려면 3/4을 하여야 그 근본수를 구할 수 있다. 또 이 분모 3으로 이것을 나누면 27.23보가 된다.
본래 통분하여 수를 얻었으므로 역시 환원하여야 즉, 3으로 나누어야 분율을 구할 수 있다.
이것이 여실수(餘實數)이다.
둘레를 구하려면 우선 면적 71,824를 12승하면 원전(圓田)에서 둘레를 구하는데는 12승 한다. 861,888인데 이 수를 실수로 하고 1을 염으로 하여 개평하면 된다. 그러하면 문제에 합당한 둘레 928보 3푼이 되고 나머지로서 147. 11보 1리를 얻는다. 수를 원본에 환원시킨다. 12로 나누어야 하므로 147.11을 12로 나누면 12보 2푼 {5와11/12}리 11이 된다.
이것이 여실수(餘實數)가 된다. 즉 바로 둘레의 나머지 염(廉)을 3으로 하는 개방술(開方術)에 이르기를 통분환산하여 그 분자를 실로 하고 분모 3을 빌어서 염으로 하며 염을 만 보(萬步)까지 재초(再超)하여 상 300을 세운다. 염과 상을 곱하여 3×3=9 9만을 위에 두어 방으로 하고, 방과 상을 곱하면 27이고 실에서 빼면 3×9=27 17,296이 된다.
이 방을 배로 하면 18만을 얻는다고 하였다. 방을 재퇴(再退) 1,800이 되고 마땅히 1퇴는 상소하다(上少下多)하므로 다음 1자리로 된다. 시키고 상수도 역시 방에 따라서 퇴한다. 단지 그 자리만 퇴하고 그 수는 내리지 않는다.
염은 4퇴 방 재초하였으므로 염 역시 재초한다. 하며 6보(步)하에 이르러 상 9보를 세운다.
상은 반드시 염에 따르며 그 사이의 1은 백자리이며 이것은 당연히 재퇴하였으니 0보가 된다. 염과 상을 곱하여(3×9=27) 위에서 증가한 방 27에 덜면 그 합은 1,827이 된다. 이것을 상과 곱하면 16,443인데 실에서 빼면 1×9=9, 8×9=72, 2×9=18, 7×9=63 나머지는 853이 된다.
증가된 방을 배로 하면 54가 되고 방의 전체 합은 1,854를 얻는다. 방과 상을 1퇴시키고 염을 재퇴시키면 상이 4(푼)이 된다.
염과 상을 곱하여 3×4=12 위에서 증가된 방에 12를 더하면 합은 185보 5푼 2리가 된다.
이 수와 상을 곱하면 1×4=4, 4×8=32, 4×5=20, 4×5=20, 2×4=8 752보 8리가 된다.
이 수를 실수에서 빼면 나머지가 110보 9푼 2리가 된다.
지름을 3으로 곱하여 둘레를 구하며, 둘레를 3으로 나누어 지름을 구한다. 역시 각각 이와 같이 구한다.
그러나 분수의 혹 차이는 여분이 균일하지 않는 까닭이다. 또 지름으로 환원하려고 하면 제곱하여 3/4하여 수를 얻고, 나머지 수를 이것에 첨가하여 원적을 구한다. 둘레로서 환원하려면 제곱하여 12로 나누어 수를 얻고 나머지 수를 이것에 첨가하여 원적(原積)을 얻는다.
지금 군의 주둔지가 있는데 그 면적이 71,824보라고 한다. 그 군 주둔지를 언월형(偃月形) 즉 황꼴형으로 하려고 한다.
이때의 현과 시(矢)는 각각 얼마인가?
[답] 현 : 438보 7푼 나머지는 26보 7푼 9리이다.
시 : 219보 3푼 5리
[풀이] 면적 71,824보를 8로 곱하고 또 이것을 3으로 나누면 71,824×8=574,592 이것을 3으로 나누면 574,592÷3=191,530……2(나머지)이다.
보이다. 이것을 통분내자 하면 574,592가 된다. 이 574,592를 실수로 하고 이 분모 3을 염(廉)으로 하여 제곱근을 구하면 곧 현의 길이인 438보 7푼이 되고 나머지로서 214보 3푼 1리가 된다. 그러나 이것은 8인 3귀 즉 8/3을 곱한 결과에서 나머지이므로 원본수로 환원하려면 3/8을 나머지 수에 곱하여야 한다. 그리고 또 개평하는데 3을 염으로 하였으므로 또다시 분모 3을 나누어야 된다. 이것이 현의 나머지다. 따라서 현은 438보 7푼이고 나머지는 26보 7푼 9리가 된다.
시를 구하려면 현의 길이의 절반이다.
지금 군의 주둔지가 있어 그 면적은 71,824(보)이라고 한다.
지금 이 주둔지를 각각 2등변 삼각형 모양으로 하려고 할 때 그 등변의 길이는 얼마인가?
[답] 379보이며 나머지는 3보 반
[풀이] 면적 71,824보를 배로 하여 그 수를 실수로 하여 개평법을 사용하면 문제의 뜻에 맞는 답이 나오고 나머지 7보가 되는데 이 7보를 반으로 하면 구하는 나머지 3보 반이 된다.
20. 잡법(雜法) 21문제
높은 대나무 막대기의 그림자의 길이가 35척 2촌이고 옆에 서 있는 짧은 대나무 막대기의 길이가 10척이며 그 그림자는 6척 4촌이라고 한다. 높은 대나무막대기의 길이는 얼마인가?
[답] 55척
[풀이] 높은 대나무의 그림자의 길이 35척 2촌과 짧은 대나무의 길이 10척을 곱하여 실수로 하고 짧은 대나무의 그림자의 길이 6척 4촌을 법수로 하여 이 실수를 나누면 구하려는 높은 대나무 막대기의 길이가 나온다.
금구(金毬) 즉 금덩어리 한짝이 있는데 이것을 달려고 하나 큰 저울이 없어 작은 저울로서 이것을 읽어 보려고 한다.
작은 저울이 부족하여 추(錘)를 더하여 읽어 본 곁과 67근을 얻었다. 원래의 추의 무게가 1근 10냥이고 더한 추의 무게가 1.48근이면 실제의 근수는 얼마인가?
[답] 120.96근이다.
[풀이] 두 개의 추의 무게를 합하여 냥(兩)으로 환산하면 46냥 8전이 된다. 이 수와 소칭(小秤)으로 읽은 수 67근과 곱하여 냥(兩)으로 환산하지 아니하면 3,135근 6을 얻는다. 이 6은 근하에 머무른 수다.
이 수를 실로 하고 원추(原錘)의 무게를 냥(兩)으로 환산한 26을 법으로 하여 이 실을 나눈다. 3,135근 6을 26으로 나누면 처음에는 귀법으로 사용하면 120근이고 실여(實餘)가 15근 6이 되는데 당귀법(撞歸法)을 사용하면 견1 무제 작91(見一無除作九一)하여 695를 만들고 14로 이것을 나누어 법1 퇴위(退位)하고 봉2에 진10하면 곧 9냥 6전을 얻는다.
어떤 저울을 가지고 물건을 저울질한 결과 8근 2냥이었다. 지금 원 저울의 원추를 잃어버리고 지금 새로운 추를 사서 이것을 달아 보려고 한다. 그러나 그 추의 경중(輕重)을 몰라서 따로 추를 저울질 해 본 결과 그 무게는 2근 5냥이고 원 물건을 저울질해본 결과 단지 6근을 얻었다고 한다. 원추의 무게는 얼마나 되는가?
[답] 1근 11냥 3전 2푼 {3과1/13}리
[풀이] 얻은 무게를 냥으로 환산하면 96냥(兩)이고 별추 무게를 냥(兩)으로 환산하면 37냥이 된다.
이것을 서로 곱하면 3,552냥이다. 이 수를 실수로 하고 원래의 읽은 무게를 냥(兩)으로 환산한 130냥을 법으로 하여 이것을 나눈다. 얻은 27냥 3전 2푼 3리와 나누어서 분진한 것 즉 실여(實餘) 10리를 지분법(之分法)으로 이것을 명명하면 곧 10/130리에 해당하며, 이것을 간단하게 취하여 1/13리라고 한다. 27냥 내에 16냥으로 1근을 만들면 나머지 11냥인데 이것은 처음 문제에 합당한 답이다.