풀이&답 Re:한국인 위상씩이나.. ㅡ.ㅡ; 첨이니 도와드리죠

[블러디]

pre-calculus는 들었을테니 기본적인 함수들의 미분은 할줄 아는걸로 간주 할게요.


4. lim ( cos x - cos 3)/(x-3)
x=>3

gives the slope of the graph of a function at a point. What function at what point?

A. f(x) = sin x, at x = sin 3
B. f(x) = cos x, at x = sin 3
C. f(x) = sin x, at x = 3
D. f(x) = cos x at x = 3
E. none of these

> L'Hospital 정리를 쓰면 쉽게 주어진 극한이 -sin3 인걸 알겠죠.
(만약 로피탈 정리를 모르신다면 y=x-3 이라놓고 cosy를 풀어써보면 나옵니다)
주어진 보기 중 미분한다음 주어진 점을 대입하여(이게 그점에서의 기울기죠) -sin3 이 나오는것은 D번입니다.

8. If f(x) = sec (ln x), then f '(x) =

A. cos (ln x)
B. -(1/x)[sin (ln x)]
C. [sec (ln x)]2
D. -(1/x)[csc (ln x)]2
E. sin (ln x)
F. (1/x)[cos (ln x)]
G. -[csc (ln x)]2
H. (1/x)[sec (ln x)]2
I. none of these

>sec 미분하면 sec * tan 이죠. 따라서
f'(x) = sec(ln x)tan(ln x)(1/x)
주어진 보기에 없으므로 답은 I번.

11. The upper end of a straight ladder is leaning against the vertical side of a building, with its lower end on a horizontal sidewalk. To the consternation of the painter standing on it, the upper end is slipping down the wall at a constant rate of 2 feet/sec. The lower end is, therefore, sliding along the sidewalk. Having had a course in the Calculus, the painter is, of course, interested in how fast the lower end is moving. If the ladder is 17 feet long, how fast is the lower end moving when the upper end is 15 feet above the ground?
A. 8/3 feet/sec.
B. 3/2 feet/sec
C. 48/7 feet/sec.
D. 7/12 feet/sec.
E. 15/4 feet/sec.
F. 16/15 feet/sec.
G. none of these

>주어진 17feet 길이의 막대기를 수직벽에 걸쳐논 직각삼각형을 생각해보세요.
높이를 s feet, 밑변을 r feet 라고 하면, s^2 + r^2 = 17^2 이고,
막대기가 2 feet씩 미끄러져 내려오므로 시간 t second 당 변화율은
ds/dt = -2
구하고자 하는것은 s=15 일때, r의 변화율, 즉 dr/dt 이죠.
첨에 주어진 관계식에서 양변 t미분하면, s(ds/dt) + r(dr/dt) = 0.
s=15일때, r = root[17^2 - 15^2] = 8 이므로,
dr/dt = -(s/r)(ds/dt) = -(15/8)(-2) = 15/4. 답은 E번.


12. If f(t) represents the distance, in meters, of an object from some fixed location (the origin, for our purposes) at time t, in seconds, along a straight line (the x-axis, for our purposes) and f(t) = 2t2 - t + 4, then the average velocity between t = 2 sec. and t = 4 sec. would be, in meters per second,
A. 11
B. 15/14
C. 17
D. 19/18
E. 5/4
F. none of these

> t=2 에서 4 까지의 평균속도는 y=f(t) 그래프에서 (2,f(2)) 와
(4,f(4)) 의 기울기 입니다.
즉 [f(4)-f(2)]/(4-2) = 11. 답은 A번.

13. The number of tons of garbage, G(t), to be disposed of at the end of t years from now for a certain Metropolis is G(t) = 106(2t + 1)2. How many more tons of garbage will have to be disposed of at the end of four years than at the end of three years?
A. 13,000,000
B. 32,000,000
C. 15,000,000
D. 24,000,000
E. none of these

> G(t) 앞의 계수가 106 이아니라 10^6 을 쓴거겠죠.
문제 조건에 의해 구하는 값은 단순히 G(4)-G(3) 입니다.답은 B번.

22. t(x) = ln (cos e^2x ). Then t'(x) =
A. 2e2x cot e2x
B. 2e2x tan e2x
C. 2e2x (sec e2x )(csc e2x )
D. -2e2x (sec e2x )(csc e2x )
E. -2e2x cot e2x
F. -2e2x tan e2x
G. none of these

> Chain Rule 에의해 미분하면
t'(x) = [-sin(e^2x)(2e^2x)]/cos(e^2x)
답은 F번.

23. An object moves along a horizontal line under these conditions: its position with respect to a reference origin is given by s(t) = -24t^3 + 72t - 5, where positive is to the right, s is in meters, t is in seconds, and t> 0 . Then which of the following statements is true?
A. Its acceleration is always negative.
B. Its velocity is always negative.
C. Its position at t = 3 is to the right of its position at t = 0.
D. Its position is never at s = 0.
E. All of the above are false.

> 우선 한번 미분하면 velocity를 얻죠.
s'(t) = -72t^2 + 72 = 72(1-t^2)
속도가 negative 이려면, t>1 이어야하므로 B는 우선 아니구요.

s(3) < s(0) 이므로 t=3에서 위치는 0에서보다 왼쪽에 있죠.(C아님)

s(0) < 0 < s(1) 이므로, mean value theorem 에 의해 s(t)=0 인 t가
0 과 1 사이에 존재하므로 D도 아님.

마지막으로 한번더 미분해서 가속도를 구해보면,
s''(t) = -144t 로 t>0 일때 언제나 음수죠. 따라서 답은 A.

25. A hotel manager has 200 rooms available for rent each night. Experience shows that if she charges $45 per night, she will have full occupancy, but that for each $5 that she increases the price, 4 rooms become vacant. All other factors being equal, what will her maximum revenue be? (Points: 4)
A. $16,820
B. $13,520
C. $8820
D. $12,000
E. $11,520
F. $18,000
G. none of these

> 우선 45$ 씩 받아서 200개 빌려주면 수익은 45*200
50$씩 받는다면 방4개 남으니까 수익은 (45+5)*(200-4)
55$씩 받는다면 방8개 남으니까 수익은 (45+10)*(200-8)
..........
수익값f에 대한 일반식을 예측할수 있겠죠.
f(x) = (45+5x)*(200-4x) (여기서 x의 범위는 0부터 50까지)
f의 최대값을 구하면 되는거죠. 그래프 그려보면 알겠지만 미분값이 0 이되는 x를 찾으면,
f'(x) = 20(-x^2 + 41x +450) 이므로 x=41/2 일때 최대값을 갖죠.
즉, 147.5$ 씩 118개의 방을 빌려줄때 최대 이익을 얻는거죠.
f(41/2) = 17405 인데, 보기에 없으므로 답은 G.

coment:
이론적인 계산과 공식에 치중하는 우리와 달리 외국에선 응용문제를 많이 다루죠. 어느쪽이 더 좋다기보다는 한번쯤 생각해 봐야할 문제라고 생각합니다. 지금 수준에서는 우리나라 학생들이 거기 학생들 보다 훨씬 잘 풀지만, 몇년 지난 후에는 비슷해지고 그후에는 한국학생들 보다 훨씬 잘 합니다. 우리나라에 아직 필즈상이 안나오는 이유도 어쩌면 이런 이유일 지도 모르죠. 쉬워 보인다고 무시할만한건 아닐 겁니다. 이 글을 읽는 우리나라 분들도 한번쯤 생각해볼 문제이지요.

[plznomap]

답은 참좋은데 마지막 코멘트는 조금 글타.. 별로 연관성 없어 보이고 또, 무슨 필즈상이 우등상 같은걸로 알고 착각하고 계신거 아니에여? 교육방법이 잘못되서 그런상 못탄다는식으로 밖에 안들리는데..

[블러디]

윗분이 어떤 입장에서 말하는지는 알겠지만 현실은 현실이죠. 외국 유학 준비 하시는 분들이나 나갔다 오신분들은 다 공감하실겁니다.여기가 교육제도 논하는곳은 아니지만 결과적으로 보면 교육방법의 차이에서 온다고 볼수있죠.우리나라 학생이 중고등학교때 외국나가면 거기 학생들 보다 월등히 잘합니다. 거기 학생들은

[블러디]

일부를 제외하고는 거의 바보수준이라고 까지 하더군요. 한데 연구수준으로 가면 그 바보들이(?) 월등하게 잘하는 거죠. 마치 대기 만성이라 할가요. 그 차이를 얘기한겁니다. 왜 굳이 공부하러들 유학 갈까요.. 오해없이 들으시길..

[^EINSTEIN^]

충분히 공감갑니다. 저도 현재 외국에서 또다른 제 3국으로 가려고 하지만, 한국사람이 아닌 계통의 사람들과 수학을 하면 많이 느끼고, 한탄스러울때 있습니다... 필즈상 수상가능 연령치를 높이면 아마 한국 사람이 많이 탈 수 있을 듯....