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외집 4권 주해수용 내편 상(籌解需用內編 上)
21. 경칭 중물법(輕秤重物法)
이 방법은 가령 지금의 한약방에서 사용하고 있는 저울과 같이 단지 20냥 정도의 물건의 무게만을 저울질 할 수 있으나,
보다 무거운 중물(重物)을 가령 30~40냥의 물건을 저울질하는데 이 법을 사용하는 방법이다.
추가 가벼운 까닭에 무거운 물건을 저울질하는 것이 되지 않으므로 딴 철이나 혹 돈을 추에 더하여 저울질하려는 물건의
무게까지 이것을 더한다.
그런 후에 추로 사용하기 위하여 더한 물건의 무게를 저울질하여 원 물건의 무게를 계산하는 방법이다.
22. 대추 지본중법(大錘知本重法)
지금 저울이 있어 그 추를 잃어버리고 그 경중을 모를 경우 곧 그 추를 사용해서 이 물건을 저울질할 때 8근 2냥이었다고
한다. 지금 딴 추로서 이 같은 물건을 저울질한즉 6근이었다고 하면 이 방법에 의하여 계산하여 본래의 추 무게를 아는
방법이다.
돈 1문을 매일 1배씩 증가시키면 30일간이면 돈은 얼마나 되는가?
[답] 1,073,741,824문(文)
작전(作錢)하면 1,000이 된다. 737,418냥 2전 4푼
[풀이] 1문을 8로 곱하고 그것을 10번 제곱하면 된다. 8은 이것이 3일의 배수, 1문을 주어 이것을 8로 곱하는 것을 10차(次), 1차는 단 8, 2차는 64, 3차는 512, 4차는 4,096, 5차는 32,768, 6차는 262,144, 7차는 2,097,152이고, 8차는 16,777,216, 9차는 134,217,728, 10차는 구하는 답에 합당하며 이것이 그 한 방법이다
또 1문을 32로 곱하여 곧 5일 배수 그 결과를 3번 제곱하여 얻은 수를 또 제곱한다.
32를 3차 곱하면 곧 15일 분이다. 1문을 두어 32로 이것을 곱한 것을 3차한 후에 제곱한다.
1차는 32이고, 재차(再次)는 1,024, 3차는 32,766 이 수가 득수(得數)인데 이 32,766을 32,766으로 곱하면 답에 합당한 것이고 이것 또한 간단하다. 원문 중에서 ‘……○三十一○再次……’에서 ‘三十二’라고 하여야 할 것 같다.
또 1문을 64로 곱하고 그 결과 5번 제곱하면 된다. 64는 이것이 6일의 배수이다. 위의 3법이 모두 가하다.
1문을 두고 64로 이것을 곱한다.
처음 곱한 결과는 64, 재차 곱하면 4,096, 3차이면 262,144, 4차하면 16,777,216, 5차하면 답에 합당한 것이 된다.
3사람 은전을 모아서 이식 놀이를 하려고 한다. 갑은 은전 8냥 3전을 내고, 을은 은전 6냥 5전을 내고, 병은 은전 4냥 8전을 냈다고 한다. 지금 본전과 이식을 합하니 39냥 2전이 되었다고 하면 각자의 배당금은 얼마나 될 것인가?
[답] 갑은 은전 16냥 6전
을은 은전 13냥
병은 은전 9냥 6전
[풀이] 본전과 이식을 합한 돈 39냥 2전과 갑의 은전 8냥 3전을 곱하면 325냥 3전 6푼이다.
이 수를 실수로 하고, 갑, 을, 병의 3사람의 출자 은전의 합금은 19냥 6전이다.
이것을 법수로 하여 나누면 갑의 득분 즉 갑의 배당금액이 나온다. 병, 을도 이와 같이 하면 된다. 의승동제술이다.
땅을 파서 곡식을 저장하는 곳을 만들었는데, 그 한 변의 길이는 52척이고 높이는 30척이라 한다.
쌀은 몇 곡(斛)이나 되는가?
[답] 6,760곡(斛)
[풀이] 미교(米窖)의 한 변의 길이를 제곱하고 또 그 결과에 높이를 곱하면 81,120척이다.
이 수를 실수로 하고, 곡법(斛法)에 의하여 12척을 법으로 하여 이것을 나누면 된다.
곡법에 의하면 길이 3척, 나비 2척 높이 2척인 체적 12척을 1곡(斛)라고 한다.
문은 50냥을 녹여, 8성(成)의 은을 만들려고 한다. 얼마나 많은 은을 얻어야 하는가?
[참고] 8성이라는 말은 전체의 문은 중의 8할이 은이라는 뜻이다.
[답] 62냥 5전
[풀이] 문은의 총량 50냥을 실수로 하고 8성의 8을 법수로 하여, 이것을 나누면 된다.
[참고] 50÷0.8=62.5이므로 62냥 5전이다.
은 12냥 5전과 족색금(足色金) 50냥을 같이 제련하여 합금을 하려고 하는데 금은 전체의 몇 할에 해당하는가?
[답] 8성(8할)
[풀이] 족색금 50냥을 실수로 하고, 금과 은의 합한 무게 즉 12냥 5전과 50냥을 합한 무게를 법수로 하여 나눈다.
갑이 9성의 은 2냥과 을이 7성의 은 2냥을 같이 한 그릇에 넣어 녹여 같이 은을 만들려고 한다.
이때의 은의 성수는 얼마이며 갑, 을의 해당 분수는 얼마나 되는가?
[답] 전체의 은의 총량은 4냥이고 그 은은 8성(8할)이다.
갑 : 2냥 2전 5푼
을 : 1냥 7전 5푼
[풀이] 갑은 은 2냥 중에 절문은(折紋銀)이 1냥 8전이고 을은 은(銀) 2냥 중에 절문은이 1냥 4전이므로 합하면 문은(紋銀)이 3냥 2전을 얻는다. 원은(原銀) 합한 은 4냥으로 이것을 나누면 8성을 얻는다.
즉 8을 법으로 하여 갑, 을로 나누면 각각 절문은을 얻는다. 이것으로 원리수를 나누면 노마(駑馬)의 간리수가 된다.
북경과 항주 사이의 거리는 4,275리다. 북경에서 말로 남행해서 하루에 120리를 여행하고 배로 항주를 출발해서 북행하여 하루에 70리를 여행한다면 배와 말이 며칠이면 서로 만날 것이며, 각각의 여행 이수는 얼마나 되는가?
[답] 22일 반.
말로서 여행한 이수는 2,700리
배로서 여행한 이수는 1,575리
[풀이] 원리수 4,275리를 실수로 하고, 배와 말의 하루의 여행 이수를 합한 수를 법수로 하여 이것을 나누면 전체의 일수가 나온다. 전체 일수에 각각 하루의 가는 이수를 곱하면 각각 여행한 전체 이수가 된다.
노마(駑馬) 즉 느린 말이 출발한 지 7일 후에 양마(良馬)가 뒤를 쫓아간다고 한다. 양마의 6일간의 주행 거리는 1,170리라고 한다. 양마가 6일 만에 노마를 따랐다고 한다. 양마, 노마의 하루에 가는 이수는 얼마가 되는가?
[답] 양마는 하루에 195리이고 노마는 하루에 90리다.
[풀이] 6일로서 원 이수를 나누면 양마의 간 이수가 얻어진다. 선후일(先後日)을 합하면 13일을 얻는다.
다시 말하면 노마는 하루에 90리이다.
지름이 100척이라고 한다. 고율(古率), 휘율(徽率), 밀율(密率), 신율(新率)을 각각 사용할 경우의 둘레는 각각 얼마인가?
[답] 고율 300척
휘율 314척
밀율 314척 2촌 8푼 {5와5/7}리
신율 314척 1촌 5푼 9리
[풀이] 지름을 3으로 곱하면 고율을 얻는다.
한 변의 길이가 100척이면 정사각형의 대각선 즉 빗현의 길이를 고율, 신율로 각각 구하여라.
[답] 고율 : 140척
신율 : 141척 4촌 2푼
[풀이] 한 변의 길이 1백척을 7로 곱하고, 그 결과를 5로 나누면 고율의 빗현의 길이가 나온다.
한 변의 길이 5, 빗변 길이 7율
정삼각형의 한 변의 길이가 100척이라고 한다. 이때의 중장(중선의 길이)을 고율, 신율로 각각 구하여라.
[답] 고율 : 85척 7푼의 5척
신율 : 86척 6촌 {2와3/7}리
[풀이] 한 변의 길이를 6으로 곱하고, 7로 나누면 고율로 구한 것이다. 면을 7, 방을 절반하는 것이 고율이다
정사각형의 모양의 밭이 있다. 그 한 변의 길이는 60척이라 한다. 이 정사각형 속에 원형의 밭이 있다.
그런데 이 원의 지름도 역시 60척이라 한다. 네 구석에 있는 나머지 면적은 각각 얼마나 되는가?
[답] 225척
[풀이] 한 변의 길이 60척을 재 절반(再折半)하면 15척을 얻는다. 제곱한다.
또 방적(方積)에서 원적(圓積)을 뺀 나머지 900척이 방전(方田)의 네 구석의 나머지 면적인데 이것을 4로 나누면 얻어 진다.
수박 한 개를 자르는데 자른 자리가 원이 되도록 잘랐더니 그 원의 지름이 5촌이고, 수박의 중심까지의 거리 즉 심후(心厚)는 5푼이라고 한다. 이 수박의 지름을 구하여라. 구와 고(股)를 현교(弦較)로 하여 현을 구한다.
[답] 1척 3촌
[풀이] 면의 지름의 절반을 구(句)로 하고 그것을 제곱하여 실로 하고 심후(心厚)는 고현교(高弦較)로 해서 이 실을 나누면 1.25척을 얻는다. 이것을 고(股)로 하며 그것에 교(較)를 더하면 된다.
구의 지름이 2.6척이고 자른 면에 있어서 구 중심까지의 거리(심후)는 8촌이라 한다. 이때 자른 면의 지름을 구하여 보아라.
[답] 2.4(척)
[풀이] 본경(本徑)에서 심후(心厚)를 빼고 그 결과로 심후에 곱하여 실수로 하고, 이것을 개방(開方)하여 2곱한다.
탑앞 85척의 곳에 조그마한 정사각형의 못이 있다. 사람이 못가에 서서 탑의 꼭대기를 바라 본 각과 못의 중심을 내리보는 각이 같다. 사람의 눈과 못까지의 높이는 3척 5촌이며 사람의 발 중심에서 못 중심까지는 1척 8촌이라 한다.
탑의 높이를 구하여라.
[답] 165척 {2와7/9}촌
[풀이] 사람 눈에서 못까지의 거리 즉 사람 눈 높이는 3척 5촌인데 이 수를 고(股)로 하고 사람이 서 있는 중심에서 못 중심까지의 거리는 1척 8촌인데 이것을 소구(小勾)로 하며, 못 중심에서 탑까지의 거리 85척을 대구(大勾)라고 생각한다.
소고(小股) 즉 3척 5촌과 대구(大勾) 85척을 곱하면 297척 5촌이 된다.
이것을 실수로 하고 소구(小句) 1척 8촌을 법구로 하여 나눈다. 거울이나 혹은 물그릇을 사용해도 역시 가하다.
표적의 길이 4척인 것을 세워 놓고 그 표적 위에 복구척(覆矩尺)을 설치한다. 이와 같이 하여 구척의 상단(上端)을 약간 아래쪽으로 숙여 각도기[矩角]에 의하여 들판에 있는 인가(人家)의 담장 밑에 있는 자[尺]의 끝을 바라보고 3제현직(三際弦直)을 만들고 또다시 각도기에 의하여 그 하단(下端)을 회망(回望)하고, 표적의 뒤쪽으로 1촌 5푼의 지점(地點)과 3제현직을 만들었다고 한다. 이때의 인가(人家)의 사이의 거리는 얼마나 되겠는가?
[답] {106과2/3}척
[풀이] 표적의 높이 4척을 제곱하면 16척인데 이것을 실수(實數)로 하고 표적과 지점 사이의 거리 1촌 5푼을 법수로 하여
실수를 나누면 문제에 합당한 것이 나온다.
강물 옆에 표적을 세우고 그 위에 짧은 대나무를 더 첨가하였다. 그리하여 건너편 언덕을 바라보고 3제현직을 만들었다.
이때의 그 강물의 나비는 얼마인가?
[풀이] 표적과 짧은 대나무를 단단히 묶어서 그 표적이나 대나무가 움직이든가 유동하지 못하게 하며 표적이나 대나무를
돌려서 회사(回射)하고, 손으로 그곳의 3제현직과 비슷한 것을 새겨서(만들어서) 그것을 측량함으로써 그 강물의 나비를
얻는다.
외집 5권 주해수용 내편 하(籌解需用內編 下)
1. 천원해(天元解)
원 1 묘(畝)를 보(步)로 환산하여 실수로 하고, 1묘(畝)는 240보다 합인 92를 종방(從方)으로 하고 1을 우(隅)로 하며 종방(從方)을 1자리 올리고, 우(隅)를 2자리 올려서, 상(商)을 30보(步)로 한다. 우에 상(商)을 곱하여 종방(從方)에서 빼면
나머지가 620이 된다.
상을 곱하여 실에서 빼면 186이 된다. 우와 상을 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 320이 된다.
종방을 1진시키고 우를 제퇴시키면 다음 상으로서 8보를 얻는다. 우로서 상을 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 24이다.
상을 곱하여 실에서 빼면 실은 완전히 없어진-다. 이때에 얻은 제곱근 38보가 평(平)이 되고 문제에 합당한 것이다.
이상은 감종 개평 방법(減從開平方法)이다.
만약 먼저 길이를 구하려면 법수와 실수는 위와 같고 상(商)을 50으로 하고 우(隅)와 상을 곱하여 종방(從方)에서 빼면 나머지는 420이 된다. 이 수와 상 50과를 서로 곱하면 2,100을 얻는다.
이것은 원적(原積)보다 많다. 그래서 도로 빼면 나머지는 48이 되며 부실수(負實數) 즉 음의 실수가 된다.
또 이 우(隅)로 상 5와 곱하여 500을 얻는다. 이것 역시 종방(從方)보다 많다. 이것을 반감(反減)하니 나머지는 80이 된다.
이 80을 방으로 하고 법수를 퇴위시키고 같은 방법으로 상 4보를 얻는다.
이 우로 상(商)을 곱하여 방 8에 더하면 즉 8+4=12를 얻는다.
이 12와 상 4를 곱하여 실수의 나머지 48에서 빼면 완전히 없어진다.
그리하여 상 54보가 곧 길이를 나타낸다. 이상은 개평방번적법(開平方飜積法)이다.
원 2 묘(畝)를 보로 환산하여 그것을 사지여기좌(四之與寄左)하여 서로 지우면 나머지 324가 된다.
이것을 실수로 하고, 1을 염(廉)으로 하여 개평방법으로 하여 제곱근을 구하면 교(較)를 얻는다.
이것은 고법(古法)으로 연산한 것이다.
만약 먼저 평(平)을 구하려면 감종 개평방법(減從開平方法)을 사용한다. 묘를 보로 환산한 결과를 실수로 하고 그 합 74를 종방(從方)으로 하고 1을 우로 하고 종방을 1자리 올려서 740으로 하고 우를 제진하고 상을 20으로 한다.
우와 상을 서로 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 540이 된다.
이 수와 상 2를 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 208이 되고 또 우와 상을 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 340이 된다.
종방을 1자리 낮추고 우를 제회 즉 2자리 낮추어서 다시 생각하면 다음 상을 8보를 얻는다.
우 1과 상 8을 곱하여 종방에서 빼면 나머지가 26이 된다.
이 26과 상 8을 곱하여 실수의 나머지에서 빼면 완전히 실수는 없어진다. 이때 상(商) 28이 평(가로길이)이 되고 합 74에서 28을 빼면 46을 얻는데 이 46이 바로 길이[長]가 된다. 그리고 길이와 평(平)을 서로 빼면 교(較) 18보를 얻는다.
이것은 문제에 합당하다.
만약 먼저 길이[長]를 구하려고 하면 앞 문제에서 취급한 개평방번적법(開平方飜積法)을 사용하면 된다.
법수와 실수는 위와 꼭 같다고 하고 상(商)을 40으로 한다.
우 1과 상 4를 곱하여 종방(從方)에서 빼면 나머지는 34가 된다.
〈곧 74에서 우와 상을 곱한 40을 빼면 나머지가 34가 된다.〉
이 32와 상 40을 곱하면 1,360이 된다. 이것은 원적(原積)보다 많으므로 반대로 빼면 나머지는 72가 된다.
〈1,360에서 원적을 빼는 것을 반대로 뺀다고 말하였다〉.
따라서 음(부)의 실수가 된다. 또 우 1과 상 40을 곱하면 40인데 이것은 종방보다 많으므로 반대로 빼면 나머지가 6이다
〈종방 34에서 우 1과 상 4를 곱하여 뺀다고 하면 나머지 6이 된다는 뜻이다.〉
이 나머지 6을 개명(改名)하여 방법이라고 하고, 1자리 물리고 우를 2자리 물리고 하여 다시 생각하면 다음 상을 6보를 얻는다. 이 우와 상 6을 곱하여 위에 얻은 방법(方法)에 더하면 12를 얻는다.
이 12와 상 6을 곱하여 부실수(負實數)에 빼면 실수는 완전히 없어진다.
이와 같이 하여 얻은 상(商) 46보가 길이이며 이 길이 46을 합 74에서 빼면 평(平)을 얻고 길이 46과 평 28을 서로 빼면
교(較) 18을 얻는다. 원적(原積)이란 열묘 통보(列畝通步)한 수를 말한다.
원 3 묘를 보(步)로 환산한 것을 실수로 하고 차보(差步)를 종방(從方)으로 하고 1을 우로 한다. 종방을 1자리 올리고 우를 2자리 올려서 생각하면 상 20이 되고 우 1과 상 20을 서로 곱하여 종방에 더하면 450을 얻고 또 이 수와 상 20을 곱하여 실수에서 빼면 나머지 276이 된다. 또 우 1과 상 20을 곱하여 종방에 더하면 650이 된다.
이 종방을 1자리 물리면 65를 얻는다. 그리고 우를 2자리 물리고 나면 다음 상 4보를 얻는다.
우 1과 상 4를 곱하여 종방에 더하면 69를 얻는다. 이 69를 상 4와 곱하여 실수의 나머지에서 빼면 실수는 완전히 없어진다. 이때의 상(商) 24보가 평(平)이 되고 이 24에 차를 더하면 곧 길이가 된다. 이는 개평방대종법(開平方帶從法)이다.
원 4 묘를 보로 환산하여 그것을 사지병기좌(四之倂寄左)하여 실수로 하고 1을 우로 하고 개평방하면 합이 얻어진다.
이것은 고법(古法)으로 푼 것이다.
만약 면적 평을 구하려고 하면 묘를 보로 환산하여 이것을 실수로 하고 교(較) 즉 차를 종방(從方)으로 하며, 1을 우로 하여 개평방대종법(開平方帶從法)을 사용한다. 종방은 일진하고, 우는 제진하게 하며 상은 20으로 하고 우와 상(商)을 곱하여 종방에 더하면 그 결과는 500을 얻는다. 이 수 500에 상 20을 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 456이 된다.
또 우와 상을 곱하여 종방에 더하면 700을 얻는다.
종방을 1퇴시키고 우를 제퇴시켜, 다음 상을 6보로 세우고, 우와 상을 곱하여 〈우 1과 상 6을 곱하여〉종방에 더하면 곧
76을 얻게 된다. 이 수 76과 상 6을 곱하여 실수에서 뺀다면 실수는 완전히 없어진다.
이때의 상 26이 평(平)이며 차 즉 교(較)를 더하면 곧 길이[長]를 얻게 되며 길이와 평을 서로 합하면 곧 합을 얻게 된다.
원 5 묘를 보(步)로 환산한 것을 실수로 하고, 175를 우로 하고, 우를 2자리 올려서 생각하면 상이 30이다.
이 우와 상을 곱하면 525를 얻고 이 수를 방법(方法)으로 한다. 이 수와 상을 곱해서 실수에서 빼면 나머지는 693이다.
또 우와 상을 곱하여 방법에 더하여 방법을 1퇴시키면 105를 얻는다.
우를 제퇴하여 생각하면 다음 상(商) 66보를 얻는다. 이 수 105를 방법 1,050에 더하면 115보 반이 된다.
이 수를 상 6과 곱하여 실수에서 빼면 실수가 완전히 없어진다. 이때 얻은 상 36이 곧 방면(方面) 36보를 뜻하며, 원의 지름은 똑 같다. 이 방법은 개평방법(開平方法)이다.
원 6 묘를 보로 환산하여 그것을 사지감기좌(四之減寄左)하면 나머지는 6,156인데 이 수를 실수로 하고 104를 종방(從方)으로 하며 7을 정우(正隅)로 한다. 방을 1자리 올려 우를 2자리 올려서 상을 구하면 30이다. 우와 상을 곱하면 즉 상 30과 우 7을 곱하면 210이 되는데 이것을 별방(別方)이라 한다. 이에서 종방을 빼면 나머지가 106이 된다.
이 수를 1자리 올려서 1,060으로 하고 이것을 방법(方法)으로 한다.
이 수와 상 3과를 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 2,976이 된다.
또 우와 상을 곱하여 방법을 1퇴시켜 더하면 〈7×30=210(우×상), 방법을 1퇴시키면 106이 되는데, 106+210=316 이 된다.〉우를 2퇴시켜 생각하면 다음 상 8보를 얻는다.
우와 상 8을 곱하여 방에 더하면 372가 얻어진다〈우 7×상 8=5656, 이 수 56과 방 316을 더하면 곧 372가 된다.〉
이 수와 상 8을 곱하여 실수의 나머지 2,976에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
이때의 상으로 얻어지는 38이 원의 지름이고, 이 수에 불급(不及)한 수를 빼면 곧 방면(方面)이 된다.
이 방법은 개평방번법(開平方飜法)이라고 말한다.
원 7 묘를 보로 환산하여 15로 곱하면 35,280이 되는데 이 수를 실수로 하고 1,512를 종방(從方)으로 하며 16을 우로 하고 진위(進位)는 위와 같은 법으로 하면 〈방은 1진하며 우는 제진하게 하여〉생각하면 상 40을 얻고 우와 상을 곱하면 640을 얻는다. 이것을 종방에서 빼면 나머지가 8,720이 된다(다시 말하면 종방 1,512에서 640을 빼면 872인데 이것을 1진시키면 8,720이 된다). 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 400이 된다.
또 우와 상을 곱하여 종방에서 빼면, 나머지는 2,320이 된다〈다시 말하면 종방 8,720에서 우 16을 제진하여 1,600이 되는데 이 1,600에서 상 4를 곱한 6,400을 빼면 나머지가 2,320이 된다는 뜻이다.〉
종방을 1퇴시키고 우를 제퇴시키면 속상(續商)이 곧 2보가 된다. 우와 상 2를 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 200이 된다〈다시 말하면 종방을 1퇴시키면 232가 되고 우 16과 상 2를 곱한 32를 232에서 빼면 나머지는 200이 된다는 뜻이다.〉
이 수 200과 상 2를 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다. 이때의 상 42가 곧 평(平)의 길이이며, 이 평 42를 가지고 평과 장(長)을 곱한 적(積)을 나누면 곧 장(長)이 나온다.
원 8 별도로 1수를 세워서 13을 교(較)로 하고 교평차(較平差) 8분을 취한다. 21을 평으로 하고, 교 13을 취하여 34가 장(長)이 된다. 교(較)는 단지 수로 말하면 1평 1보가 많다.
또 평으로 장을 감하는데 122평에 109장을 빼고 그 수와 분모를 서로 곱한 1,144를 합하면 2보가 많다.
이것은 1보의 배수이다. 이것은 모든 수를 배로 한 2,288이고 109장에서 122평을 빼는 것과 같다.
묘를 보로 환산하여 122로 곱하면 그 결과는 348,432이 된다. 이 수를 실수로 하고 2,288을 종방으로 하고, 또 109를 우로 한다. 종방을 1자리 올리고, 우를 2자리 올려서 상 60을 얻는다. 우와 상을 곱하면 65,400이 된다〈109에 상 6을 곱하면, 654가 되는데 이것을 2진시키면 65,400이 된다.〉이것을 별방(別方)으로 둔다.
이것을 또 종방에서 빼면 나머지는 42,520이 된다〈왜냐하면 65,400에서 종방 2,288을 1진시키면 22,880이 된다.
이것을 65,400에서 빼면 나머지는 42,520이 된다.〉
이 수를 상 6과 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 93,312가 된다. 또 우를 상과 곱하여 방법(方法)에 더하여 그 결과를 1퇴하여 10,792가 된다. 〈우 109에 상 60을 곱하면 6,540〉
이 수를 종방 45,520인데 1퇴하니 4,252가 된다〈이 수와 합하면 10,792다·〉우 8퇴하면 속상(續商) 8보를 얻는다.
우와 상을 곱하여 방법(方法)에 더하면 11,664를 얻는다〈다시 말하면 방 10,792에 우 109와 상 8을 곱한 결과수 872를 더하면 11,664가 된다.〉이 수와 상 8을 곱하여 실수의 나머지 93,312에서 빼면 완전히 실수는 없어진다.
이때의 상 68부가 장(長)이며 이 장의 길이로서 적(積)을 나누면 곧 평(平)이 된다.
원 9 개평방대종법(開平方帶從法)을 사용하고, 감종반법(減從反法)을 사용해서 장(長) 2보 소반보(少半步)를 얻는다
〈{2과1/3}보를 얻는다.〉이것을 통분내자(通分內子)하면 〈과분수로 하여 분자를 택하면〉7을 얻는다.
이 7을 분모와 곱하면 672가 된다. 또 이것을 3으로 나누면 224보가 된다.
묘를 보로 환산하여 실수를 하고 28을 종방(從方)으로 하고 방을 1자리 올리고 1을 우로 하며 우를 2자리 올리고 해서 상(商) 50을 세운다.
우와 상을 곱하여 종방에 더하면 780이 된다〈다시 말하면 종방 28을 1진시켜 280으로 하고, 우 1을 2진시켜 100으로 하여 상 5와 곱하면 500이 된다. 이 수 500과 종방 280을 더하면 780이 된다.〉
이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지가 804가 된다. 또 우와 상을 곱하여 종방 1퇴한 결과에 더하면 128이 얻어진다 〈종방 1퇴하면 78인데 이 78에 우 1과 상 50을 곱한 50을 더하면 128이 된다.〉
우를 2퇴하면 속상(續商) 6이 세워진다. 또 우와 상 6을 곱하여 종방에 더하면 134가 된다.
이 수와 상 6을 곱하여 실수의 나머지 804에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
이때의 상 56이 곧 평(平) 56보를 뜻하며 이 편으로 적(積)을 나누면 곧 장(長)을 얻는다.
원 10 개평방감종법(開平方減從法)을 사용하고 묘를 보로 환산하여 그 내자(분자를 말함)를 4로 곱하여 기좌(寄左)에 합하면 10,647이 된다. 이 수 즉 10,647을 실수로 하고 208을 종방으로 하며, 1을 우로 하고, 종방을 1진시키면 2,080이 된다.
우를 제진시켜서 생각하면 상이 90이 된다.
우와 상을 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 1,180이 된다
〈다시 말하면 종방 208에 우와 상을 곱한 90을 빼면 118인데 종방을 1진시켰으므로 나머지는 1,180이 된다.〉
이 수 1,180을 상과 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 27이 된다.
또 우와 상을 곱하여 종방 1퇴한 결과에 더하여 주면 28을 얻는다. 우 2퇴하고 다시 생각하면 속상(續商) 1을 얻는다.
이때 우 1과 상 1을 곱하여 종방 28에서 빼면 27을 얻는다.
이 수 27과 상 1을 곱하여 실수의 나머지 27에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
그리고 이때의 상 91이 곧 원의 지름 91보이고 이것을 배로 하면 즉 91×2=182인데, 이것을 종방 208에서 빼면 208-182=26인데 이 수가 곧 방이 된다.
원 11 개평방감종법(開平方減從法)을 사용해서 묘를 보로 환산하고 196으로 이것을 곱한 것에 기좌(寄左) 39,204를 빼면 나머지가 56,052를 얻는다. 이 수를 실수로 한다. 또 3,960을 종방으로 하고 47을 우로 한다.
종방을 1진하고 우를 2진하여 상을 10으로 한다. 우와 상을 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 34,900이 된다.
이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 21,152가 된다 〈34,900에 상 10을 곱하면 34,900인데 이 수를 실수 56,052에서 빼면 나머지는 21,152가 된다.〉또 우와 상을 곱하여 종방(從方)에서 빼면 나머지는 30,200이 된다.
종방을 1퇴시키고 우를 2퇴시켜 속상(續商)을 8로 세운다. 우와 상을 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 2,644가 된다.
이 수를 상과 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
이때의 상 18이 곧 지경(池徑) 18보이다.
(이 수와 각경(角徑)의 배로 한 수를 더하여 그 결과를 5/7로 하면 밭[田]의 한 변의 길이 27보를 얻는다)
원 12 평과 장을 곱한 적(積)을 4배하니 4,096을 얻는다. 이 수 4,096을 실수로 하고 이것을 개평(開平)하면 장(長) 64보를 얻는다. 이것을 4로 나누면 곧 평(平) 16을 얻는다.
또 실수가 적고 방(方)이 많을 경우에 방을 1퇴, 우 2퇴하여 상을 2분으로 하고 우와 상을 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 405가 된다. 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지가 1푼 9리가 된다.
또 우와 상을 곱하여 종방(從方)에서 빼면 나머지는 385가 된다. 이것을 1퇴시키고 우를 2퇴시켜서 생각하면 속상(續商) 5리가 된다.
우와 상을 곱하여 종방에서 빼면, 나머지는 38이 된다.
이 38과 상 5를 곱하여 실수의 나머지에서 빼면 실수는 완전히 없어진다. 이때의 상은 2푼 5리(0.25)가 된다.
지금 2푼 5리를 우로 하고 원적을 개평하여 아래 조건을 잘 보고 하면 평(平)을 얻을 수 있다.
원 13 직적(直積)을 소장(少長)으로 나누면 1,024가 된다.
이 1,024를 개평하면 32보를 얻는데 이 32보가 곧 평(平)이 된다. 이 수 32보에 소장(少長)을 곱하면 128보가 되는데 이 수 128보가 바로 장(長)이다.
원 14 소면(小面)을 대면(大面)에 곱하는 것은 장(長)과 평(平)을 서로 곱하는 것에 비(比)할 수 있으므로 직적(直積)이라 말하고 공적(共積)은 구고(勾股)의 현적(弦積)에 비할 수 있으므로 현멱(弦羃)이라 말한다. 직적과 현멱의 2개의 적을 서로 빼서 그 나머지를 교멱(較羃)이라 말하며 이 교(較)를 종방으로 하고 천원(天元) 1을 우(隅)로 하여 개평한다.
직적(直積)을 실수로 하고 교 17을 종방(從方)으로 하고 1을 우(隅)로 하며 종방을 1자리 올리고, 우를 2자리 올려서 생각하면 상이 60이 된다. 이 우와 상을 곱하면 60이 되며 여기에서 종방을 빼면 나머지 43이 된다.
이 43을 방법(方法)으로 하고 이 방법과 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 540이 된다.
또 우와 상을 곱하여 방법을 1퇴시켜서 더하면 103이 된다.
우를 2퇴하여 생각하면 속상이 5가 된다.
우와 상 5를 곱하여 방법에 더하면 108이 된다. 이 108을 상 5와 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
이때의 상 65보는 대방면(大方面)이다. 대방면에서 교 17을 빼면 48보인데 이것이 곧 소방면이 된다.
개평방대종법(開平方帶從法)을 사용하면 우선 소방면(小方面)을 얻고, 그 결과에 교 17을 더하면 대방면(大方面)이 된다
그리고 대방면 748을 제곱하면 559,504 되는데 기좌(寄左)를 빼면 1,268이 된다.
원 15 실수로서 558,236으로 두고 방(方)을 1진시키고, 기좌(寄左)를 상염(上廉)으로 하고 상염을 2진시키면 149,600을 얻는다. 그리고 하염(下廉)은 0이다. 1은 우(隅)로 하고, 4진시키고 상(商)을 20보로 하여 우와 상을 곱하여 하염(下廉) 20,000으로 둔다. 이 하염 20,000과 상을 곱하여 상염(上廉)에서 빼면 나머지는 119,600이 된다.
이 수에 상을 곱하여 방법에서 더하면 219,210이 된다.
이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 119,816이 된다.
또 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 40,000을 얻는다. 하염(下廉)과 상을 곱하여 상염(上廉)에서 빼면 나머지는 29,600이 된다. 이 수와 상을 곱하여 방법에 더하면 278,410이 된다.
또 우와 상을 곱하여 하염(下廉)에 더하면 60,000을 얻는다.
이 60,000과 상을 곱하면 120,000이 되는데 이것을 별도로 두어 상염을 빼면 나머지는 90,400이 된다.
이 수를 상염으로 한다〈본염은 버린다.〉
또 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 80,000을 얻는다. 방법을 1퇴하고 상염을 제퇴하며 하염을 3퇴하고 우를 4퇴하여 생각하면 속상으로 8보를 얻는다. 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 88을 얻는다.
하염으로 상과 곱하여 상염에 더하면 1,608을 얻는다.
이 1,608과 상을 곱하여 방법(方法)에서 빼면 나머지가 14,977이 된다. 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히
없어진다. 이때의 상 28보가 곧 소방면(小方面)이다. 이상은 개삼승방번법(開三乘方飜法)이다.
원 16 직적(直積)은 제곱[自乘]하면 4,264,225가 되고 이 수를 실수(實數)로 하고 방법을 0으로 하며, 교(較)와 화(和)를
곱하면 2,256이 되는데 이 수를 상염(上廉)으로 한다.
상염을 제진(再進)하고 하염(下廉)은 0이고, 1을 우(隅)로 하고 또 4진시키면 상(商)이 30보(步)가 된다.
우와 상을 곱하여 하염에 더하면 30,000을 얻고, 하염과 상을 곱하여 상염(上廉)에 더하면 315,600이 된다.
상염(上廉)으로 상을 곱하면 946,800이 된다.
이 수를 방법(方法)으로 하여 이 수와 상을 곱하여 실(實)에 빼면 나머지가 1,423,825가 된다. 또 우와 상을 곱하여 하염(下廉)에 더하면 60,000을 얻는다.
하염과 상을 곱하여 상염에 더하면 495,600이 된다.
상염(上廉)과 상을 곱하여 방법에 더하면 2,433,000이 된다.
또 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 90,000을 얻는다.
하염(下廉)과 상을 곱하여 상염에 더하면 765,600이 되고 또 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 120,000이 된다.
방법을 1퇴시키고 상염을 2퇴시키고, 하염을 3퇴시키며 우를 4퇴시키면 속상(續商)이 5보가 된다.
우와 상 5를 곱하여 하염에 더하면 125가 된다. 하염과 상을 곱하여 상염에 더하면 8,281이 된다.
상염(上廉)과 상을 곱하여 방법에 더하면 284,765가 된다. 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
이때의 상 35보는 평(平)이 되고, 이 평(平)으로서 적(積)을 나누면 그것이 곧 장(長)이 된다.
이 해법을 개삼승방대종법(開三乘方帶從法)이라 말한다.
3승방번법을 사용하면 먼저 장(長)을 얻게 되고, 이 장(長)으로 적(積)을 나누면 평(平)을 얻는다 견 3 무제 작 93의 공식을 사용. 직적(直積)을 제곱하면 4,264,225보를 얻는데, 이 수를 실수로 두고, 방법은 0으로 하며 2,256을 상염(上廉)으로 하고 상염을 제진시키고 하염은 0으로 하고 1을 우(隅)로 하며, 우는 4진하고 상은 50으로 한다.
이것과 상을 곱하여 하염(下廉) 50,000을 얻고, 하염과 상을 곱한 250,000을 별도로 두어 상염과 반대로 빼면 나머지는 24,400이 된다. 상염(上廉)과 상을 곱하면 122,000을 얻는데 이 수를 방법으로 하고 이 방법과 상을 곱하여 실수에서 빼면, 나머지는 3,654,225가 된다.
또 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 100,000을 얻는다.
하염과 상을 곱하여 상염에 더하면 524,400을 얻는다.
상염과 상을 곱하여 방법에 더하면 2,744,000을 얻는다.
또 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 150,000을 얻는다.
하염(下廉)과 상을 곱하여 상염에 더하면 1,274,400이 된다.
또 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 200,000을 얻는다. 그리고 상염 12,744를 얻는다.
방법을 1퇴시키면 274,400이 되고, 상염 2퇴, 하염 3퇴, 우 4퇴하여 생각하면, 속상 9보를 얻는다.
우와 상을 곱하여 하염에 더하면 209를 얻는다. 하염을 상에 곱하여 상염에 더하면 14,625를 얻는다.
상염과 상을 곱하여 방법에 더하면 406,025가 된다. 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
따라서 문제에 알맞게 된다〈이때의 상(商)은 59보인데, 이것은 장(長)이다. 이 장으로 직적을 나누면 평을 얻는다.
이때의 평은 35보다.〉
원 17 화(和) 129를 제곱하면 16,641인데 이 수를 4로 곱하면 66,564를 얻는다. 또 차 39를 제곱하면 1,521을 얻는데 이 수와 앞에서 얻은 66,564를 합하면 68,085를 얻는다. 이 수를 실수로 하고 화(和) 129를 8로 곱하면 1,032가 되는데 이 수를
종방(從方)으로 한다.
3을 우로 하고, 종방을 1진하는 것은 10,000 자리에 그치고 우 2진은 100자리에 그치게 하면 곧 상(商) 80이 되고 우와 상을 곱하면 2,400이 된다. 이 2,400을 하염으로 하고 종방에서 빼면 나머지는 7,920이 된다.
이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 4,725가 된다. 또 우와 상을 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 5,520이 된다.
종방 1퇴하고 우 2퇴하면 곧 속상 9보를 얻는다. 또 우와 상을 곱하여 종방에서 빼면 나머지는 525가 된다.
이 수 525와 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
이때의 상 89보에서 차 39를 빼면 50인데 이것을 반으로 하면 25보이다. 그것이 바로 평(平)이 되고 이 평에 차 39를 더하면 곧 장(長)이 된다. 즉 장은 64보이며 평은 25보다.
원 18 화(和)는 장(長)과 같고, 중방면(中方面)은 평(平)과 같고, 장ㆍ평을 서로 곱하여, 공적(共積)대, 중, 소 방전 각 1단의 면적의 합을 뺀 나머지는 2단의 교멱(較羃)이 되므로 2를 우(隅)로 하여 개평(開平)을 하면 곧 교(較)를 얻는다.
적을 실수로 하여 2를 우로 하고 개평하면 교(較) 16보(步)를 얻고 이 수에 중방면을 더하면 대방면(大方面)을 얻는다.
중방면에 교(較)를 빼면 곧 소방면(小方面)이 된다.
원 19 개평방대종법(開平方帶從法)으로 개평한다. 15,340,920을 실수로 하고 92,344를 종방으로 하며, 6,498을 우(隅)로
하며 종방을 1진시키고 우를 2진시키되 모두 300,000 아래에 그치도록 한다. 그러하면 곧 상(商)이 40이고 우와 상을 곱하여 종방에 더하면 3,522,640이 된다.
이 수에 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 1,250,360이 된다. 또 우와 상을 곱하여 종방(從方)에 더하면 6,121,840이 된다.
종방 1퇴하고 우 2퇴하여 생각하면 속상이 2보가 되고 또 우와 상을 곱하여 종방에 더하면 625,180이 된다.
이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
이때 얻은 상보 42는 고경(古徑)이며 이 수에 차 7을 더하면 밀경(密徑)을 얻고, 또 차 7보를 더하면 휘경(徽徑)을 얻는다.
즉 고경은 42보이며 밀경은 49보이며 희경은 56보다.
원 20 3승방번법(乘方飜法)을 사용해서 개립한다. 207,936을 실수로 두고 48을 방법(方法)으로 하며, 방법을 1진시키고 2,736을 상염(上廉)으로 하며 상염을 2진시키며 9를 우고 하여 4진시킨다. 그러하면 곧 상(商) 10이 된다.
우와 상을 곱하면 90,000을 얻는데 이것을 하염으로 하고 하염을 상과 곱하여 상염에 빼면 나머지는 183,600이 된다.
상염을 상과 곱하여 방법에 더하면 184,080이 된다.
이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 23,856이 된다. 또 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 180,000을 얻는다.
이 하염을 상에 곱하여 상염에서 빼면 나머지는 3,600이 된다. 상염을 상에 곱하여 방법에 더하면 187,680이 된다.
또 우를 상에 곱하여 하염에 더하면 270,000이 됨을 알 수 있다.
하염과 상을 곱하면 270,000이 되는데 이것을 별도로 두어 상염과 반대로 빼면 나머지는 266,400이 된다.
또 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 360,000이 된다. 방법을 1퇴시키고 상염을 2퇴시키며 하염을 3퇴시키고, 우를 4퇴시켜, 속상은 2보가 된다. 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 378을 얻는다. 이 수와 상을 곱하여 상염에 더하면 3,420이 얻어진다. 이 수를 상에 곱하여 방법에 빼면 11,928이 된다. 이 수를 상에 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전하게 없어진다.
이때의 상으로서 얻어진 12보가 원경(圓徑)이고, 이것을 3배한 것이 둘레 36보가 된다.
원 21 적을 3배한 결과에서 하방(下方)을 제곱한 9를 뺀 나머지는 765인데 이 수를 실수로 하고 18을 방법으로 하고 12를 염법으로 한다. 3을 우로 하고 상을 5척으로 둔다. 우와 상을 곱하여 염(廉)에 더하면 27을 얻는다. 염과 상을 곱하여 방법 153을 얻고, 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다. 이때의 상 5척이 곧 상방(上方)을 뜻하며 이 5척에 1척을 더하면 높이를 얻고 또 나아가서 2척을 더하면 하방(下方) 8척을 얻는다. 따라서 상방 5척, 하방 8척, 높이 6척이다. 이상은 개입방대종법(開立方帶從法)이다.
원 22 적과 36을 곱하면 181,440이 된다. 이 수를 실수로 하고 10,192를 종방(從方)으로 하며, 76을 종염(從廉)으로 하고 1을 우(隅)로 하고 종방을 1진시키고 종염(從廉)을 2진시키고, 우를 3진하면 곧 상이 20이 된다. 우와 상을 곱하여 종염에 빼면 나머지는 5,600이 된다. 종염과 상을 곱하여 종방에 빼면 나머지는 90,720이 된다. 종방과 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다. 이때의 상 20척이 대고(臺高) 20척을 말하며 이 20척에 불급분(不及分) 16척을 더하면 상주(上周)가 되며 상주에 상화수(相和數 : 상주, 하주를 서로 합한 수)를 빼면 곧 차주가 된다. 이상은 개입방 감종법(開立方減從法)이다.
원 23 적을 3으로 곱하여 실수로 하고 484를 상염으로 하고 44를 하염으로 하고 1을 우(隅)로 하면 곧 상이 6척이다. 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 50을 얻는다. 하염과 상을 곱하여 상염에 더하면 784를 얻는다. 상염과 상을 곱한 4,704를 방으로 둔다. 이 방과 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다.
이때의 상 6척을 제곱한 36척이 곧 높이며 또 6척에 소여(小餘 : 하방보다 적은 수) 22척을 더하면 하방 28척이 얻어진다.
이상의 법은 3승방법(乘方法)이다.
원 24 적(積)을 36으로 곱하여 실수로 하고 3,721을 상염으로 하고 122를 하염으로 하며 1을 우로 하면 곧 상 3척을 얻는다. 우와 상을 곱하여 하염에 더하면 125를 얻는다. 하염과 상을 곱하여 상염에 더하면 4,096을 얻는다. 상염과 상을 곱하면 하방(下方) 12,288을 얻고 이 하방과 상을 얻고 이 하방과 상을 곱하여 상방 36,864를 얻는다. 이 상방과 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다. 이때의 상 3척이 개평한 결과이며 이 수 3척에 하주보다 61척이 불급이라는 가정이니 61척을 더하면 그 결과가 곧 하주 64척을 얻는다. 또 3척을 3제곱한 27척이 곧 높이가 된다.
이상의 방법은 개4승방대종법(開四乘方帶從法)이다.
원 25 적을 16승한 결과에 기좌(寄左)를 빼면 나머지는 20,387,136이 된다. 이 수를 실수로 하고 8,512를 종방으로 하고 688을 종염(從廉)으로 하여 25를 우로 하고 종방 1진하고 종염 2진, 우를 3진하면 곧 상(商)이 80이 된다. 우와 상을 곱하여 종염에 더하면 268,800을 얻는다. 종염과 상을 곱하여 종방에 더하면 2,235,520이 된다. 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 2,502,976이 된다. 또 우와 상을 곱하여 종염에 더하면 468,800이 된다. 종염으로 상과 곱하여 종방에 더하면 5,985,920이 된다. 또 우와 상을 곱하여 종염에 더하면 668,800이 된다. 종방을 1퇴하고 종염을 2퇴시키고, 우를 3퇴하면 속상(續商) 4보를 얻는다. 우와 상을 곱하여 종염에 더하면 6,788을 얻는다. 종염과 상을 곱하여 종방에 더하면 625,744가 된다. 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다. 이때의 상 84보가 입원(立圓)의 지름이고, 이 수에 불급수 14척을 더하면 입방면(立方面)이 된다. 즉 입방면은 98척이고, 입원경보다 많은 수 28척을 빼면 곧 평방면(平方面)이 된다.
원 26 적을 112로 곱하여 기좌(寄左)를 빼면 나머지는 1,995,264가 된다. 이 수를 실수로 하고 28,320을 종방으로 하며 3,224를 종염으로 하고, 175를 우로 하여 종방을 1진시키고, 종염을 2진시키며 우를 3진시키면 곧 상이 10척이 된다. 우와 상을 곱하여 종염에 더하면 497,400이 된다. 종염과 상을 곱하여 종방에 더하면 780,600이 됨을 알 수 있다. 이 수와 상을 곱하여 실수에 뺀다면 나머지는 1,214,664가 된다. 또 우와 상을 곱하여 종방에 더하면 672,400이 된다. 종염과 상을 곱하여 종방에 더하면 1,453,000이 된다. 또 우와 상을 곱하여 종염에 더하면 847,400이 된다. 종방을 1퇴시키고 종염을 2퇴, 우를 3퇴하면 속상으로 6척을 얻는다. 우와 상 6척을 곱하여 종염에 더하면 9,524가 된다. 종염과 상을 곱하여 종방에 더하면 202,444가 된다. 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다. 이때의 상 16이 곧 원경(圓徑)이고 이 원경에 8척을 더하면 입방면을 얻고, 원경에 척을 빼면 곧 평원경(平圓徑)이 되며, 입방면의 배가 곧 평방면(平方面)이 2된다. 이 해법은 위의 문제와 꼭같은 개4승방대종법(開四乘方帶從法)이다.
원 27 공적(共積 : 각 면적을 합한 면적)을 통분(通分)하고 그것을 18로 곱하여 기좌(寄左)와 서로 소약시키고 나머지 120,366,432를 실수로 하고 339,444를 종방으로 하며 59,826을 종염으로 하며 5,625를 우로 하고, 종방을 1진시키고 종염을 2진시키며, 우를 3진하면 곧 상 20척을 얻는다. 우와 상을 곱하여 종염에 더하면 17,232,600을 얻는다. 종염과 상을 곱하여 종방에 더하면 37,859,644를 얻고 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 나머지는 44,647,152가 된다. 또 우와 상을 곱하여 종염에 더하면 28,482,600이 됨을 알 수 있다. 종염과 상을 곱하여 종방에 더하면 94,824,840이 된다. 또 우와 상을 곱하여 종염에 더하면 39,732,006이 된다. 종방 1퇴, 종염 2퇴, 우 3퇴하면 속상이 4척이 된다. 우와 상 4를 곱하여 종염에 더하면 419,826이 된다. 종염과 상을 곱하여 종방에 더하면 11,161,788을 얻는다. 이 수와 상을 곱하여 실수에서 빼면 실수는 완전히 없어진다. 이때의 상이 24척인데 이것이 입방면(立方面)이며 입방면과 고원주(古圓周)가 같은 24척이다. 이 24척에 4척을 더하면 입원경(立圓徑) 28척을 얻고 이 입원경을 3배한 84척이 평방면(平方面)이며 또 입방면에서 3척을 뺀 21척이 곧 휘원경(徽圓徑)이 된다.
2. 기윤해(朞潤解)
지금 235/940가 있다. 이것을 약분하면 얼마인가?
[답] 1/4
[풀이] 분자ㆍ분모를 서로 빼서 같은 수[等數]를 얻는다. 이것을 약법이라 하고, 원분모를 같은 수로 나눈 것을 약모(約母), 원분자를 같은 수로 나눈 것은 약자(約子)라고 한다.
주천(周天 : 천체의 궤도의 1주)은 {365와1/4}도인데 해[太陽]는 하루에 1도를 가고 달은 하루에 {13과7/19}도를 간다고 한다. 태양과 달이 서로 만나는 것은 며칠인가?
[답] {29와499/940}일
[풀이] 주천 도수를 과분수로 [通分內子]하여 그 분자를 생각하면 1,461이 된다. 월행 {13과7/19}도에서 일행(1도)을 빼면 나머지는 {12와7/19}도가 된다. 이것을 통분내자 하면 235가 된다. 곧 월행분모 19와 천도(天度)인 분자 1,461를 서로 곱하면 27,759가 된다. 이 수를 실수로 하고 다음에 천도(天度)의 분모 4와 월행의 분자 235를 서로 곱하면 940이 된다. 이 수를 법수로 하여 실수를 나누어 1일에 차지 않는 것을 명명(命名)하여 {29와499/940}일이 나온다.
달의 하루 행도(行度)는 {13과7/19}도다. 단 499/940일의 달의 행도는 얼마나 되는가?
[답] {7과1,726/17,860}도
[풀이] 월행을 통분내자 하면 254가 된다. 이 수에 일의 분자 499를 곱하면 126,746이 되는데, 이것을 실수로 하고, 다음에 일의 분모 940으로 1일을 곱하면 940이 된다. 또 이 월행의 분모 19와 위에서 얻은 940을 곱하면 17,860이 되는데 이 수를 법수로 하여 실수를 나누어 도에 차지 않는 것을 명명하면 {7과1,726/17,860}도가 얻어진다.
499/940일은 월행으로 환산하면 {7과1,726/17,860}도인데 단 1일간의 월행도수는 얼마인가?
[답] {13과7/19}도
[풀이] 월행의 {7과1,726/17,860}을 통분내자 하면 126,746이 된다. 이 수에 940을 곱하면 119,141,240이 된다. 이 수를 실수로 하고, 월행분자 499와 월행의 7도의 분모 17,860을 곱하면 8,912,140이 된다. 이 수를 법수로 하여 실수를 나누면
도가 된다. 이것을 약분하면 7/19도가 된다.
일, 월이 한 번 만나는 데는 29일이 걸린다고 한다. 12번 만나는 데는 며칠이 되겠는가?
[답] 348일
[풀이] 일수를 12로 곱하면 된다.
일, 월이 한 번 만나는 데는 29일이고 여분(餘分)이 499라고 한다. 12번 만나려면 그 여분은 얼마나 될까?
[답] 5,988
[풀이] 여분 499를 12로 곱하면 된다.
12번 만나는 데 여분의 전체의 합은 5,988인데 매일 940분이면 며칠이 되는가?
[풀이] 적(積)을 5,988을 하루의 분수 940분으로 나누어 1일에 차지 않는 것도 명명하면 문제에 합당한 답이 된다.
달과 일[太陽]이 한 번 만나는 데 걸리는 날짜는 {29와499/940}일이라고 한다. 12번 만나는 데는 며칠이 걸리겠는가?
[답] {6과348/940}일
[풀이] {29와499/940}일을 통분내자 하면 27,759가 된다. 이것을 12로 곱하면 333,108이 된다. 이 수를 실수로 하고 940을 법수로 하여 나누어 1일에 차지 않는 것도 명명하면 구하려는 것을 얻는다.
기(氣)는 {5와235/940}일이 남고, 삭(朔)은 {5와592/940}일이 모자란다고 한다. 1년 동안의 윤일(閏日)은 얼마인가?
[답] {10과827/940}
[풀이] 남는 일수와 모자라는 일수를 서로 합하여 1일에 차지 않는 것도 명명한다.
1년 동안의 윤일(閏日)은 {10과827/940}일이다. 3년, 5년, 19년 동안의 윤일은 각각 얼마나 되는가?
[풀이] {10과827/940}일을 통분내자 하면 10,227이 된다. 이 수에 3을 곱하면 30,681이 된다. 이것을 분모 940으로 나누어 법수에 차지 않는 것도 명명(命名)하면({32와601/940}일이다) 이것이 곧 3년의 윤일이 된다. 또 윤일(10,227)을 5로 곱하면 51,135가 되는데, 이 수를 분모로 나누면 곧 5년간의 윤일(閏日)이 나온다.({54와375/940}일이 된다) 또 윤일(10,227)을 19로 곱하면 194,313이 된다. 이 수를 분모(940)로 나누면, 곧 19년간의 윤일이 된다.({206과673/940}
19년간의 윤일의 총 날짜는 {206과673/940}일이다. 윤월(閏月)은 얼마인가?
[답] 7윤(閏)
[풀이] {206과673/940}일을 통분내자 하면 194,313인데 이 수를 실수로 하고, 월(月)과 일(日)이 서로 만나는 데 걸리는 날짜가 {29와499/940}일이므로 이것을 통분내자 하면 27,759가 된다. 이 수를 법수로 하여 실수를 나눈다 여분이 완전히 없어진다. 이것을 말해서 기(氣)와 삭(朔)이 고르게 나누어졌다고 말한다.
달은 하루에 {13과7/13}도를 간다. {29과499/940}일에는 월은 얼마나 가겠는가?
[답] {394과367/470}도
[풀이] {29과499/940}일을 통분내자 하면 27,759가 된다. 또 {13과7/19}도를 통분내자 하면 254가 된다. 이 두 수(27,759와 254)를 서로 곱하면 7,050,786이 된다. 이 수를 실수(實數)로 하고 일의 분모 940과 월의 분모 19를 곱하면 17,860이 되는데, 이 수를 법수로 하고 실수로 나누면 구하려는 수가 나오며, 이때 법수에 미달되는 수는 분자와 분모를 약분하면 구하는 367/470이 나온다.
달이 {29과499/940}일간에 {394과367/470}도를 간다고 하면 달의 1일간의 행도(行度)는 얼마인가?
[답] {13과7/19}도
[풀이] {394와367/470}도를 통분내자 하면, 185,547이 된다. 이 수를 분모 940으로서 곱하면 174,414,180이 된다. 이 수를 실수(實數)로 하고 {29와499/940}를 통분내자 하면 27,759인데. 이 수와 분모 470을 서로 곱하면 13,046,730이 된다. 이 수를 법수로 하여 나누면 된다. 이때 법수의 미달 부분은 법수를 분모로 하고 나머지를 분자로 하여 서로 약분하면 7/19이 된다.
3. 천의분도(天儀分度)
지금 후종(候鍾)에 일륜(日輪)과 월륜(月輪)이란 톱니바퀴가 있는데, 일륜의 톱니가 57개, 월륜의 톱니가 59개다.
하루의 차이가 톱니로 2개 난다고 하면 며칠이면 같은 톱니가 만나게 되는가?
[답] 29일 반(半)
[풀이] 월륜의 톱니 수 59를 매일의 차 2로 나누면 구하려는 29일 반이 나온다.
지금 통천의(統天儀)의 기계 톱니바퀴가 있는데 갑륜(甲輪)에는 작은 톱니가 80개, 을륜(乙輪)에는 작은 톱니가 60개, 큰 톱니가 8개 있다. 병륜(丙輪)에는 작은 톱니가 54개, 큰 톱니가 6개 있고, 정륜(丁輪)에는 작은 톱니가 50개, 큰 톱니가 6개 있다. 단 갑륜(甲輪)이 1회전하면 5시간이라고 한다. 각륜이 1회전하면 몇 시간을 얻게 되며, 하루에 각륜은 몇 바퀴 회전하는가?
[답] 갑륜 : 1회전에 5시간
1일에 2회전 32톱니({2와2/5}회전)
을륜 : 1회전에 4각(刻)
1일에 240회전
병륜 : 1회전에 6분(分)
1일에 240회전
정륜 : 1회전에 2/3분
1일에 2,160회전
[풀이] 12시를 5시로 나누면 {2와2/5}회전이다. 80을 5로 나누어 그 결과를 2로 곱하면, 갑륜의 회전을 얻는다(80÷5=16, 16×2=32인데, 이것이 곧 갑륜의 1일 회전이다. 다시 말하면 2전 32아(牙)다). 또 갑륜의 톱니 수 80을 40 5시간을 각으로 환산한 수 으로 나누면 2를 얻는다. 이것은 갑륜의 톱니바퀴의 2아(牙)가 1각(刻)이 된다. 위에서 얻은 2를 법수로 하고 8 을륜의 큰 톱니 수 을 나누면(8÷2=4) 4각(刻)이 된다. 이 4각을 다시 법수로 하여 96 1일을 각으로 환산한 수. 즉 1일은 12시이고 1시(時)는 8각이니 1일은 96각이다. 을 나누면 24를 얻는다. 이 수 24가 곧 을륜의 회전 수가 된다. 을륜(乙輪)의 작은 톱니 수 60을 6 병륜의 큰 톱니 수 으로 나누면 10인데, 이 수는 을륜의 1회전이 병륜의 10회전을 뜻한다.
이 10을 법수로 하여 60 이것은 4각(刻)을 분으로 환산한 것 즉 1각은 15분이니 4각은 60분이다. 을 나누면 6분(分)을 얻는다.
이 6분을 다시 법수로 하여 1,440 이 수는 1일을 분으로 환산한 것이다. 즉 1일은 12시이고 1시는 8각이며 1각은 15분이므로 분으로 환산하면 된다. 을 나누면 곧 병륜의 회전 수, 240회전을 얻는다. 또 병륜의 작은 톱니 수 54를 6 정륜의 큰 톱니 수 으로 나누면 9를 얻는다 이 9는 병륜의 1회전이고 정륜의 9회전에 해당한다. 이 9를 법수로 하고 6 병륜의 1회전분 을 나누면 6/9분을 얻는다.
이 6/9을 약분하면 2/3가 된다. 다시 9를 법수로 하고, 240 병륜의 회전 수 을 9에 곱하면(240×9=2,160) 2,160이다. 곧 정륜의 회전 수가 된다.
지금 을륜의 남단(南端)에 작은 톱니바퀴가 천륜(天輪)과 서로 물리게 되어 있다.
천륜은 1일 1주(周)하면 1도(度) 지난다. 천륜은 톱니의 수 359다. 소륜의 톱니 수는 얼마인가.
[답] 15아(牙)
[풀이] 천륜의 톱니 수(359)에 1도 지난 것을 탑입(搭入)하면, 360을 얻는다. 이것을 실수(實數)로 하고 24 1일의 을륜(乙輪)의 회전 수 를 법수로 하여 나누면 문제에 합당한 값 15아(牙)가 된다.
일륜(日輪)이 있는데 그 톱니의 수는 365이고, {365와1/4}일이 1주천(周天)이라고 하면 톱니 1개가 회전하는 데는 몇 시간이 되는가?
[답] 12시 1분 약(弱)
[풀이] 365일을 시로 환산하고 1/4일, 즉 3시간을 삽입하여 생각하면 전체는 4,383시가 된다. 이것을 분으로 환산하면 1시는 120분, 4,383시를 120으로 곱한다. 525,960분을 얻는다. 이 수를 실수로 하고 톱니의 수 365를 법수로 하여 실수를 나누면, 1,441분 약을 얻는다.
이것을 시분법(時分法)으로 120으로 약분하고, 법수에 차지 않는 것도 명명(命名)하면 문제에 알맞는 답이 나온다.
월륜(月輪)이 있는데 12일 반마다 일(日)과 서로 만난다고 한다. 하루에 단 톱니 4개를 회전한다고 하면, 톱니의 수는 얼마나 되는가?
[답] 톱니의 수는 111개다.
[풀이] 29일 반을 톱니의 수 4로 곱하면 118이 된다. 이 수를 실수로 하고 29아(牙) 반 1월의 일행도수(日行度數) 을 4아로 나누면 {7과1/4}아가 된다. 이들 수 중에서 영수(零數)를 버리고 7을 실수 118에서 빼면, 문제에 알맞게 된다.
4. 구고 총률(勾股總率)
구고(勾股)는 9장수(章數)에서 나왔고, 서양법에서의 직각삼각형을 말한다. 직각삼각형에서 밑변[橫]을 구(勾), 높이[立]를 고(股), 빗변을 현(弦)이라 한다.
구고에 있어서 구가 3, 고가 4, 현이 5일 때가 구고의 본율(本率)이다.
5. 평구고(平勾股)
구와 고를 알고 현을 구하라.
[풀이] 구(勾)의 제곱과 고(股)의 제곱을 합하여 그것을 개평한다.
현(弦)과 고(股)를 알고 구(勾)를 구하라.
[풀이] 현(弦)의 제곱에서 고(股)의 제곱을 뺀 뒤에 그것을 개평한다.
현(弦)과 구(勾)를 알고 고(股)를 구하라.
[풀이] 현(弦)의 제곱에서 구(勾)의 제곱을 뺀 뒤 그것을 개평한다.
구와 고를 알고 직각의 대변에 대한 수선(垂線)을 구하라.
[풀이] 구와 고를 서로 곱한 뒤 이것을 현으로 나눈다.
현(弦)이 수선을 2단으로 나눌때 그 대단(大段)과 소단(小段)을 구하라.
[풀이] 현으로 구(勾)의 제곱을 나누면 소단(小段)이 되고, 현으로 고(股)의 제곱을 나누면 대단(大段)이 된다.
구와 고를 알고, 구고 속에 포함되는 정사각형의 한 변의 길이를 구하라.
[풀이] 구와 고를 서로 곱한 뒤 이것을 구와 고의 합으로 나누면 된다.
여구(餘勾)와 여고(餘股)를 알고 그 속에 포함되어 있는 정사각형의 한 변의 길이를 구하라.
[풀이] 여구와 여고를 서로 곱하여 개평하면 된다.
구고(勾股)의 3선분을 알고 그 속에 포함되는 원의 지름을 구하라.
[풀이] 1. 구와 고를 합한 뒤 그 결과에서 현(弦)을 빼면 된다.
2. 구(勾)와 고(股)를 서로 곱한 뒤 이것을 3개의 선분의 화로 나누면 원의 반지름이 나온다.
갑정=갑무, 병기=무병, 을정=을기 이므로 따라서 구마 고를 합하면
을병+갑병 = 을기+병기+무병+갑무
= 을정+병기+무병+갑정
= 을정+갑정+병기+무병
= 갑을+2×반지름
= 현+지름이다.
그러므로 구와 고를 합한 결과에서 현을 빼면 지름을 얻는다.