담헌서(湛軒書) (9) 홍대용 - 외집5권 주해수용 내편 하(籌解需用內編 下)

[솔롱고]

외집 5권 주해수용 내편 하(籌解需用內編 下)

6. 비례 구고(比例勾股)

거리를 알고 높이를 구하라 두 개의 표적을 사용하든가 혹은 지평선(地平線)을 바라보아서 짧은 표적[短表] 대신으로 사용한다.
[풀이] 표적과의 거리를 소구(小勾)로 하여 1율(率)로 하고, 두 개의 표적의 높이의 차를 소고(小股)로 하여 이것을 2율(率)로 하며, 뒤 표적과의 거리를 대구(大勾)로 하여 이것을 3율로 한 뒤 4율로서 구하려는 물건의 높이를 계산한다.

높이를 알고, 거리를 구하라.
[풀이] 표적의 높이의 차를 소고(小股)로 하고 이것을 1율로 하며, 표적 사이의 거리를 소구(小勾)로 하여 2율로 하며,

높이를 대고(大股)로 하여 3율로 하며, 4율로서 그 거리를 구한다.



깊이를 알고 그 거리를 구하라.
[풀이] 표적(表的)의 길이의 차를 소고(小股)로 하여 1율로 하며, 표적 사이의 거리를 소구(小勾)로 하여 2율로 하며,

깊이를 대고(大股)로 하여 3율로 하며, 4율은 구하려는 거리를 생각하면 된다.


거리를 알고 있다. 깊이를 구하여라.
[풀이] 이 방법은 앞문제 거리를 알고 높이를 구할 때[有遠求股]와 동률이며 즉 복구(覆矩 : ㄱ자 자, 곧 곱자를 뒤집은

모양)이다.

거리를 알고 그 물건의 나비를 구하여라. 또 나비를 알고 거리를 구하라.
[풀이] 유원구고(有遠求高)와 같은 율이며 즉 와구(臥矩 : 곱자를 옆으로 눕힌 모양)이다.

높이를 모른다. 거리를 구하라.
[풀이] 유고구원(有高求遠)과 동률(同率)이며 다시 말하면 앞에 있는 표적으로 대고(大股)를 삼으면 곧 앞 표적까지의

거리를 얻고, 뒤에 있는 표적으로 대고(大股)를 삼으면 곧 뒤 표적까지의 거리를 얻는다.


높이를 모르고 빗변의 거리를 구하라.
[풀이] 빗변과 전, 후(前後)의 두 개의 표적을 세우므로 인하여 무고구원법 높이를 모르고 그 거리를 구하는 방법과

동률이 된다.

거리를 모르고 깊이를 구하여라. 또 깊이를 모르고 거리를 구하여라.
[풀이] 빗변에 곱자를 세워 먼저 빗변의 거리를 구하고 또 곱자[矩尺]로 지평선(地平線)에 대고 빗변으로 끊으면 작은

구고, 곧 작은 직각 삼각형이 생긴다.

[참고] ‘以矩尺 因地平截斜遠’이란 말을 그림으로 표시하여 보자.

나비를 모르고 그 물건과의 거리를 구하라.
[풀이] 무고구원(無高求遠)과 동률(同率)이다. 따라서 이 방법 역시 와구(臥矩 : 곱자를 옆으로 눞힌 모양)에 해당한다.

7. 중비례구고(重比例勾股)

거리를 모른다. 그 높이를 구하라. 4개의 표를 쓸 때 표는 2개씩 서로 같아야 하며 지평선을 이용하여 짧은 표를 대신해도

된다.
[풀이] 표적의 거리의 차를 소구(小勾)로 하여 이것을 1율로 하며, 길이가 긴 표적과 길이가 짧은 표적의 차를 소고(小股)로 하여 2율로 삼으며 2개의 짧은 표적의 거리를 대구(大勾)로 하여 이것을 3율로 한다 지금 그 거리를 구하려면 전후에 있는 표적의 거리의 차를 소고(小股)로 하여 1율로 삼고, 앞에 있는 2개의 표적의 거리의 차를 소고(小股)로 하여 2율로 삼으며

긴 2개의 표적 사이의 거리를 대고(大股)로 하여 이것을 3율로 하면 된다.

[참고] 원문의 주에 오자를 지적하여 둔다. 2개의 ‘矩’는 ‘距’ 자로 고쳐야 한다.

거리를 모르고 그 깊이를 구하라 또 깊이를 모르고 거리를 구하여라.
[풀이] 무원구고(無遠求高)와 동률로 하면 된다. 단지 층(層)을 두개 아래쪽으로 설치한다. 이것을 층구(層矩)라고 말한다 층구(層矩)는 먼 거리엔 사용할 수 없다. 곧 천척(千尺)이 넘는 데 사용할 수는 없다.

[참고] 원문의 주에 오자를 지적하여 둔다. ‘矩’ 자는 ‘距’ 자로 고쳐야 한다.

거리를 모르고 나비를 구하라.
[풀이] 광(廣), 원(遠)의 양선분 즉 가로, 세로의 양 선분으로 생각해서 이것이 직각이면 곧 무원구고(無遠求高)의 방법과

동률로 하면 된다. 즉 중와구(重臥矩)이며, 직각이 아닐 때는 우선 양쪽의 거리를 구하고 둔각, 예각의 구별을 하여 이것을 추칙해 나아가야 한다.

8. 삼각총률(三角總率)

대체로 두 개의 직선의 한 끝은 서로 만나고 다른 한 끝은 열려 있어 그 사이에 공허한 면, 즉 허면(虛面)이 만들어지게 되며 또 아래는 넓고 위는 뾰죽하여 그 꼴이 꼭 뿔[角] 모양을 닮은 까닭에 각(角)이라 이름하였다.

그리고 그 두개의 직선 사이의 벌어진 정도를 반원(半圓)으로서 그 도수(度數)를 측정하여 각도(角度)라고 말하며, 열려

있는 두 개의 직선 쪽에 또 한 직선이 서로 만나게 만들면 3각이 이루어지게 된다.

3각 중에 한 개의 각이 상한(象限)에 가득찬 것을 직각(直角)이라 하며 곧 구고는 구가 3, 고가 4, 현이 5인 직각삼각형과

같은 식일 때 이것은 정구고다. 또 3개의 각 중에 한 개의 각이 상한(象限)에 넘치는 것을 둔각(鈍角)이라 말하며, 3각이 모두 상한에 차지 못하는 것을 예각(銳角)이라 말한다.

이 3개 종류의 3각형의 비율이나 그 변의 길이 및 각을 구하는 방법에 있어서 각각 비율이 있으며, 3종류의 3각형의 꼴이

천태만상이지만 3각형의 내각의 합은 반원의 도수, 즉 180도와 같다는 것은 3종류가 다 같다.

그러므로 3각형에 있어서 작은 각의 맞변[對邊]은 반드시 짧고 길이가 긴 변의 맞각[對角]은 반드시 크다.

곧 변과 각은 서로 대(對)이며 각이 정분(定分)하고 있으면 서로 비례하므로 그 수를 가히 알 수 있다.

대체로 한 각에 팔선(八線)이 있으며 비례와 4율이 있으므로 3각과 3변 중에 3개를 알면 그 나머지를 가히 구할 수 있다

다만 3개의 각만 안다면, 3개의 선분은 기준이 없으므로 그 길이를 알 수 없다.

그런데 혹 아는 각이 아는 2개의 선분 사이에 있고, 선과 각이 대가 없을 때는 그 낀 각의 비율로써 추지할 수 있다.
이것을 다시 총괄하여 말하면 이미 알고 있는 것의 대를 1율로 하고 구하려는 것의 대를 2율로 하며, 알고 있는 것을 3율로 하며, 구하려는 것을 4율로 한다면 모든 물(物)의 높이ㆍ깊이ㆍ넓이ㆍ거리나 천지의 형체ㆍ칠정(七政)의 전도 등을 앉아서 구할 수 있으니 이것을 삼각총률이라 한다.


정삼각형 또는 2등변삼각형의 한 변의 길이를 알고 그 수선의 길이를 구하라.
[풀이] 밑변의 반을 구(勾)로 하고 주어진 3각형의 한 변을 현(弦)으로 하여 그 고(股)를 추리하면 곧 그것이 수선이 된다.
또 밑변의 길이가 반을 제곱하여 3을 곱하고 그것을 개평하면 역시 같은 결과를 얻는다.


예각 삼각형의 각변의 길이를 알고 수선을 구하라.
[풀이] 밑변을 1율로 하고 나머지 두 변의 합을 2율로 하며 또 두 변의 길이의 차를 3율로 하고 추리하여 얻은 것을 4율로

한다. 이 4율은 두 밑변의 차 즉 저교(底較)가 된다. 이 4율의 값에 밑변을 감한 나머지의 절반을 구(勾)로 하고 소요(小腰)를 현(弦)으로 하여 고(股)를 얻는다. 이것이 곧 수선이다. 또 양변의 길이를 각각 제곱하여 서로 빼고 그 나머지를 밑변의 길이로 나누며 그것을 저교(底較)로 하며, 그 값에 밑변의 길이를 뺀 나머지의 절반을 구(勾)로 하고 소요(小腰)를 현(弦)으로 하여 고(股)를 추리하여 역시 구할 수 있다


둔각삼각형을 사립(斜立)시켜 둔각 외의 다른 꼭지점에서 대변에 내린 순선이 길이를 구하라.
[풀이] 밑변의 길이를 1율로 하고 양변의 길이를 서로 뺀 길이를 2율로 하며 또 양변의 길이를 서로 합한 길이를 3율로 하여 4율을 추리하여 얻는다. 이와 같이 하여 얻은 4율에서 밑변을 뺀 나머지의 절반을 구(勾)로 하고 소요(小腰)를 현으로 하고 고(股)를 추리하여 수선을 구한다.
또 두 변의 길이를 각각 제곱하여 그것을 서로 뺀 나머지를 밑변으로 나누고 그 결과에서 밑변을 뺀 나머지를 절반으로 하여 구(勾)로 하고 소요(小腰)를 현으로 하여 고(股)를 추득 한다.


3각형의 중심(외심)에서 3변에 내린 수선의 길이를 구하라.
[풀이] 3변의 길이를 합한 절반을 1율로 하고 소요(小腰)와 1율의 차를 2율로 하며 대요(大腰)와 2율의 차와 밑변과 1율과의 차를 서로 곱한 것을 3율로 하여 4율을 추리하여 구하고 그 결과를 개평하면 된다.

정삼각형의 한 변의 길이를 알고 그 면적을 구하라 2등변 예각 삼각형이나 둔각삼각형의 경우도 모두 같다.
[풀이] 밑변의 반을 구(勾)로 하고 정삼각형의 한 변을 현(弦)으로 하여 고(股)를 추리하여 그 삼각형의 수선을 구한 뒤에 그 수선을 밑변과 곱한 결과의 절반이 곧 면적이 된다.

둔각삼각형 속에 들어 있는 정사각형의 한 변의 길이를 구하라.
[풀이] 둔각삼각형 중수선(中垂線)과 밑변을 합한 결과를 1율로 하고 중수선을 2율로 하며 밑변을 3율로 하고 4율을 구하면 된다.

정삼각형 속에 들어 있는 원의 지름을 구하라.
[풀이] 정삼각형의 중수선을 3으로 나누면 곧 그것이 원의 반지름이 된다.

정3각형의 외접원의 지름을 구하라.
[풀이] 정삼각형의 중수선을 3으로 나누고 그 결과를 4로 곱하면 된다. 또 변의 길이를 제곱한 결과에 3으로 나누고 또 4를 곱하여 그 결과를 개평하면 역시 같은 결과를 얻는다.

예각삼각형 속에 들어 있는 원의 지름을 구하라.
[풀이] 예각삼각형의 중수선을 구하고 그 중수선의 길이에 밑변의 길이를 곱하여 그것을 실수(實數)로 하고, 3각형의 3변을 합한 길이를 법수(法數)로 하여 나누면 원의 반지름을 얻는다.

예각삼각형의 외접원의 지름을 구하여라.
[풀이] 예각삼각형의 중수선을 1율로 하고 소요(小腰)를 2율로 하며 대요(大腰)를 3율로 하여 4율을 구한다.

둔각삼각형에 있어서 둔각을 낀 양변을 구하라 3각이 주어져 있다.
[풀이] 각 적량(積量)은 직각(直角)일 경우로 만들어 생각하여야 하므로 주어진 삼각형을 눕혀서 측정한다.

[참고] 이 문제는 둔각삼각형에서 3각이 주어져 있으며 둔각의 대변이 주어져 있다. 또 직각삼각형으로 만들어 풀어야 한다.

양변과 그 낀각[夾角]을 알고 나머지 각을 구하라.

[참고] 원문에 여각(餘角)이라는 말이 있는데 현대 수학에서 말하는 여각과는 다른 뜻이다.

[풀이] 양변의 합을 1율로 하고 또 양변의 차를 2율로 하며 주어진 협각과 반원(半圓)각의 차(差)의 절반의 정절(正切 : Tangent)을 3율로 하여 4율로서 교각(較角)의 반의 정절(正切)을 얻게 된다. 따라서 정절표(Tangent表)를 점검하여 그 정절에 해당하는 각도를 얻게 된다. 그 결과에서 주어진 각의 외각(外角)의 반을 감(減)하면 대요각도(大腰角度)를 얻는다. 그리고 교각(較角)도의 반과 외각도(外角度)의 반을 합하여 소요각(小腰角)을 얻는다.
또 직각이 아는 각의 대가 되고[爲對知角] 둔외각이 구하는 각의 대가 되며[爲對求角], 소요(小腰)가 아는 작은 선이 되어[爲小知線] 소요(小腰)의 형외수선(形外垂線)을 추리하여 얻게 된다. 이는 곧 직각으로서 아는 각의 대로 삼고, 둔외각은 상한에서 빼서 그 차를 구하는 각의 대로 하게 하며, 소요(小腰)를 작은 선으로 하게 하여(위에서 말한 바 있는 아는 것에 대를 1율로 하며 구하는 것에 대를 2율로 하며 아는 것을 3율로 하며 구하려는 것을 4율로 한다는 원칙에서) 수선의 거리를 추득(推得)할 수 있다.
둔각의 형외 허선(形外 虛線)은 곧 허선과 대요(大腰)를 합하여 1율로 하고 수선을 2율로 하고 반지름을 3율로 하여 대요각(大腰角)의 정절(正切 : Tangent)을 추득(推得)할 수 있다. 대요각의 정절은 삼각표를 점검하여 대요각(大腰角)을 얻을 수 있으며, 이 대요각과 둔외각을 서로 빼서 소요각(小腰角)을 얻는다.
또 소요(小腰)를 1율로 하고 대요를 2율로 하며, 둔외각(鈍外角)의 여할(餘割 : Cosecond)을 3율로 하여 4율로서 둔외각(鈍外角)의 여절과 대요각(大腰角)의 여절(餘切 : Cotangent)의 차를 추득(推得)할 수 있다. 따라서 이 둔외각의 여절과 앞에서 구한 둔외각의 여절과 대요각의 여절의 차(較)를 합하면 대요각의 여절(餘切 : Cotangent)이 된다. 이 결과를 3각 표에서 찾으면 곧 대요각과 둔각이 된다. 이 대요각과 둔각을 합하여 반원각에서 빼면 곧 소요각(小腰角)이 된다.

[참고] 원문 중 ‘角度下減 反圜餘 …… ’는 ‘角度反減 反圜餘 …… ’의 잘못으로 생각된다.

예각삼각형에서 예각을 알고 나머지 2각을 구하라.

[참고] 원문의 ‘鈍角求兩角 …… ’은 ‘銳角求兩角 …… ’의 잘못이라고 생각된다.

[풀이] 직각이 아는 각[知角]의 대가 되고, 알고 있는 예각(銳角)이 구하는 각의 대가 되며, 소요(小腰)를 알고 있는 선분으로 하여 소요각, 중수선을 추득(推得)한다. 따라서 직각(直角)으로써 아는 각의 대로 삼고 알고 있는 예각으로써 상한(象限)각과의 차를 구하는 각의 대로 하고 소요(小腰)를 아는 선으로 하여 분선(分線)을 추득한다. 이 분선과 대요(大腰)와의 차를 1율로 하고, 수선을 2율로 하여 반지름을 3율로 하여 대요각의 정절(正切 : Tangent)을 추득(推得)한다. 이와 같이 하여 얻은 정절은 3각표에서 찾아 대요각(大腰角)을 얻는다. 이 대요각과 양각(兩角)을 합하여 반원각(半圓角)에서 빼면 소요각(小腰角)을 얻는다.

[참고] 반원각(半圓角)은 지금의 180°도를 말하며 상한(象限)은 90°를 뜻한다.

또 직각을 1율로 하며 알고 있는 예각(銳角)의 여현(餘弦) 즉 Cosine을 2율로 하며 소요(小腰)를 3율로 하여 소분선(小分線)을 추득(推得)한다. 따라서 소분선(小分線)을 1율로 하고 소분선(小分線)과 대요(大腰)와의 차를 2율로 하며 알고 있는 예각의 여절(餘切 : Cotangent)을 3율로 하여 대요(大腰)의 여절(餘切 : Cotangent)을 추득한다. 이렇게 얻은 결과를 삼각표를 찾아서 대요각(大腰角)을 얻는다.
또 소요(小腰)를 1율로 하고, 대요(大腰)를 2율로 하며 알고 있는 예각의 여할(餘割 : Cosecond)을 3율로 하여 알고 있는 예각(銳角)과 대요각(大腰角)의 여절(餘切 : Cotangent)의 합을 추득할 수 있다. 이것은 역시 또 소요각(小腰角)과 양분각의 정절(正切 : Tangent)의 합이 된다. 따라서 알고 있는 예각을 상한에서 빼서 그 나머지가 분각이 되고, 그 분각의 정절(正切 : Tangent)을 조사하고 그 결과와 두 개의 분각의 정절(正切)의 합과의 차를 분각(分角)의 정절(正切)로 한다. 그렇게 하면 역시 대요각(大腰角)의 여절(餘切 : Cotangent)이 된다. 이것을 삼각표에서 찾아서 대요각(大腰角)을 얻는다.

둔각삼각형에서 둔각을 알고 양각을 구하라.
[풀이] 우선 중수선을 구하고, 두 개의 직각삼각형으로 나누어 따라서 대요(大腰)와 밑변을 곱하여 그 결과를 배로 하여 1율로 하고, 밑변을 제곱한 결과에 대요(大腰)를 제곱한 것을 합한 결과에서 소요(小腰)를 제곱한 것을 뺀 차를 2율로 하며 반지름을 3율로 하여 2개의 요각(腰角), 분각의 정현(正弦 : Sine)을 추득할 수 있다. 이 결과는 곧 대요와 밑변의 이루는 각의 여현(餘弦 : Cosine)이고 이 결과를 삼각표를 찾아서 대요와 밑변의 이루는 각을 얻을 수 있다.
소요(小腰)와 밑변을 곱하여 그것을 배로 하여 1율로 하고 밑변의 길이를 제곱하고 소요을 제곱하여 서로 합한 결과에서 대요(大腰)를 제곱한 것을 뺀 결과를 2율로 하며, 반경(半徑)을 3율로 하여 2개의 요각(腰角)과 분각의 정현(正弦 : Sine)을 추득할 수 있다. 이 결과는 곧 대요와 밑변의 이루는 각의 여현(餘弦 : cosine)이 된다. 이것을 삼각표를 찾아서 곧 대요와 밑변의 이루는 각을 얻는다.
양각(兩角)을 합하여 반원각(半圓角)에서 빼면 양요각(兩腰角)을 얻는다. 또 1각을 얻어 2개의 선으로서 1각을 추측하여 2개의 각을 얻는다.
또 밑변을 1율로 하고, 대요(大腰)와 소요(小腰)을 합하여 2율로 하고 2개의 요를 서로 뺀 차를 3율로 하여 분선(分線)의 교(較) 즉 분선의 차를 추득할 수 있다. 이 분선의 차와 밑변의 길이와의 차의 절반이 소분선(小分線)이 된다. 따라서 소요(小腰)를 아는 선의 상대로 하고 소분선(小分線)이 구하는 선의 상대가 되며 직각이 알고 있는 각이 되어 이것으로서 2개의 요각(腰角)과 분각(分角)의 정현(正弦 : Sine)을 추득할 수 있다. 역시 이것은 소유(小腰)와 밑변이 이루는 각의 여현(餘弦 : Cosine)이 된다. 이 결과를 삼각표로 찾아서 소요와 밑변이 이루는 각을 얻는다.
또 우선 먼저 중심에서 삼각형의 삼변에 이르는 수선을 구하고, 3변의 길이를 합한 것의 절반에서 대요(大腰)를 뺀 차를 1율로 하고 수선을 2율로 하며, 반경을 3율로 하여 소요(小腰)와 밑변의 이루는 각의 반의 정절(正切 : Tangent)을 추득할 수 있다. 이 결과를 삼각표를 찾아서 각도를 얻고 그것을 배로 한 것이 곧 소요와 밑변의 이루는 각이 된다.
삼선을 합한 절반에서 소요(小腰)를 뺀 나머지를 1율로 하면 대요와 밑변의 이루는 각의 반의 정절(正切 : Tangent)이 되고, 삼선을 합한 결과에서 밑변을 뺀 나머지를 1율로 하면 두 개의 요(腰)가 이루는 각의 반의 정절(正切 : Tangent)이 된다. 이 2개의 정절(正切 : Tangent)을 합하여 삼각표를 찾아서 얻은 결과를 배로 하면 양각(兩角)을 얻는다.

9. 팔선총률(八線摠率)

경(經)에 ‘원은 방(方)에서 방은 구(矩)에서 구는 곧 구고(勾股)다.’라 하였다. 대체로 원호(圓弧)의 형세는 자주 변하여 측정하기 어렵다. 반드시 방으로 하여 재야만 그 수치를 알 수 있다.
그 방법은 또한 간단하니 곧 할원팔선(割圓八線)이다. 직선으로서 원호를 나누면 모두 구고(勾股)에 귀일하게 된다. 그때의 정현(正弦 : Sine)이나 통현(通弦)은 서로 상쇄하여 나머지 선을 얻을 수 있다. 육종(六宗)ㆍ삼요(三要)ㆍ이간(二簡) 등 여러 방법은 모두 갖추어진 추법(推法)으로 입표(立表)에 정밀하고 검용(檢用)에 모자람이 없다. 이를 만든 양공(良工)의 수고로움이 그 은혜 넓고도 깊다. 이젠 그 법칙을 모아 팔선총률이라고 명명한다 무릇 팔선표에 있어서 간략함을 택하려면 반지름을 10만으로 하고 정밀함을 취하려면 천만으로 반지름을 한다. 단 가장 정밀함을 취하려면 반드시 할원본법(割圓本法)을 사용하라. 이 역시 조금 나머지는 있지만 거의 차가 없다.

원의 지름을 알고 6분원(六分圓), 3분원, 4분원, 10분원, 5분원, 15분원, 18분원, 9분원, 14분원, 7분원의 각 통현을 구하라 이것이 육종(六宗)이다.

[참고] 분원(分圓)이라는 말은 원을 등분한다는 뜻이다. 그리고 통현(通弦)이라는 말은 현대 수학에서는 없는 용어이며 여기서는 원에 내접하는 등분원의 한 변의 길이를 뜻한다.

[풀이] 6분원의 통현을 구하면 원의 지름의 절반이다.
3분원의 통현을 구하면, 원의 지름을 현(弦)으로 반지름을 구(勾)로 하여 고(股)를 구할 때 이 고가 곧 통현이다.
4분원의 통현을 구하려면, 반지름의 제곱을 다시 배로 하여 개평하면 된다.


10분원의 통현을 구하려면 연비례(連比例)를 사용하며 첫률과 양률이 꼭같게 하며 반경을 첫률로 하고 중률(中率)을 구하면 된다.
또 반경을 고(股)로 하고 반경의 절반을 구(勾)로 하며 현(弦)을 구하고 거기에서 구(勾)를 뺀다.
5분원의 통현을 구하려면 원의 반지름을 밑변으로 하며 따라서 1요(腰)로 하며 10분원의 통현을 1요(腰)로 하여 중수선(中垂線)을 얻은 뒤 이것을 배로 하면 된다.
또 반경(半徑)을 고(股)로 하고 10분원의 통현을 구(勾)로 하여 현(弦)을 추득하면 된다.
또 반경(半徑)을 제곱한 것을 직사각형의 면적으로 하며, 반경을 세로와 나비의 차로 하여[爲長廣較] 대종교수(帶縱較數)로 개평하면 길이[長] 즉 세로의 길이를 얻는다.
이 세로의 길이의 절반이 곧 원의 중심에서 통현(원에 내접하는 정십각형의 한 변)에 이르는 수선이 된다. 따라서 반경을 현(弦)으로 하고 수선을 고(股)로 하여 구(勾)를 추득하여 이를 배로 하면 된다.

[참고] 대종교수란 가로와 세로의 길이의 차를 뜻한다. 대(帶)는 가로의 길이, 종(縱)은 세로의 길이, 교(較)는 두 수의 차다.

15분원의 통현을 구하려면 반경을 현(弦)으로 하고 5분원의 통현의 절반을 구(勾)로 하며 고(股)를 추득한 후에 이 고(股)의 값에서 반경, 즉 원의 반지름의 절반을 뺀 값을 또다시 고(股)로 하고 3분원의 통현에서 5분원의 통현을 뺀 나머지의 절반을 구(勾)로 하여 현(弦)을 추득하면 된다.
18분원의 통현을 구하려면, 반지름을 1율로 하고, 반지름을 제곱, 3제곱하여 그 값을 갑(甲)의 실수(實數)로 하고 반지름의 제곱에 3을 곱하여 갑(甲)의 법수로 하여 익실귀제법(益實歸除法)을 사용해서 실수를 나누어 2율을 얻는다.
9분원의 통현을 구하려면 반지름을 밑변으로 하면 곧 이것이 1요(腰)가 되고 18분원의 통현이 1요(腰)가 되어 중수선(中垂線)을 얻는다. 그리하여 이 중수선의 길이를 배로 하면 된다.

[참고] 원문의 ‘求九分圜通弦則 半徑爲低仍爲一率 …… ’이라고 되어 있는데 ‘一率’은 ‘一腰’의 잘못이며, ‘爲低’는 ‘爲底’로 해야 한다.

14분원의 통현을 구하려면 반지름을 1율로 하고 반지름의 제곱, 3제곱을 갑의 실수(實數)로 하며, 반지름의 제곱을 하고, 또 그 값을 배로 하여 갑(甲)의 법수(法數)로 하여 익실(益實)겸 감실(減實) 귀제법(歸除法)으로 이 실수를 나누어 2율을 얻는다.
7분 원의 통현을 구하려면 반지름을 밑변으로 하면 곧 그것이 1요(腰)가 되며 14분원의 통현을 1요(腰)로 하여 중수선(中垂線)을 구한 후에 이를 배로 하면 된다.

본호(本弧)의 정현(正弦)을 알고 본호의 여현(餘弦)을 구하라(이 이하는 3요(腰)에 속하는 문제다)
[풀이] 본호의 정현(正弦)을 구(勾)로 하고 반지름을 현(弦)으로 하여 고(股)를 추득(推得)하면 된다 역시 여호가 정현이 된다.

본호(本弧)의 정현(正弦)과 여현(餘弦)을 알고 그 배호(倍弧)의 정현과 여현을 구하라.
[풀이] 반지름을 1율로 하고 본호의 정현(正弦)을 2율로 하며 본호의 여현(餘弦)을 3율로 하며, 4율을 추득(推得)한 후 이 값을 배로 하면 곧 정현(正弦)이 된다.
본호(本弧)의 정현(正弦)을 제곱한 뒤 반지름으로 나누고, 그것을 배로 한 뒤 반지름에서 빼면 곧 여현(餘弦)을 얻는다.

본호(本弧)의 정현과 여현을 알고 반호(半弧)의 정현을 구하여라.
[풀이] 정현을 고(股)로 하고, 여현(餘弦)에서 반지름을 뺀 차를 구(勾)로 하며 현을 추득(推得)한 후 그것을 절반하면 된다.
또 여현(餘弦)에서 반지름을 뺀 나머지의 절반을 반지름에 곱하여 개평하면 된다.

[참고] 원문에 오자를 지적하여 둔다. ‘正弦爲股餘弦半減半徑 …… ’이라고 되어 있는데 ‘半減’은 ‘反減’으로 고쳐야 한다.

본호(本弧)의 여현을 알고 배호(倍弧)의 여현(餘弦)을 구하여라. 여기부터는 새로 추가한 것이다.
[풀이] 여현(餘弦)을 제곱하여 반지름으로 나누고, 그것을 반지름에서 뺀 뒤 그것을 배로 곱하여 반지름에서 뺀다.

본호의 여현을 알고 반호(半弧)의 여현을 구하여라.
[풀이] 여현을 반지름에서 빼고 그 절반과 여현을 합하고, 그것에 또 반지름을 곱하여 나온 값을 개평하면 된다.

본호(本弧)의 정현을 알고 본호의 1/3인 호의 정현을 구하라.
[풀이] 정현의 배는 배호(倍弧)의 통현(通弦)이 된다. 이 값에 반지름 자승을 곱한 결과를 실수(實數)로 하고, 반지름의 제곱한 결과에 3을 곱한 것을 법수(法數)로 하여 익실귀제법(益實歸除法)으로써 실수를 나누어 그 결과를 절반으로 하면 구하려는 결과를 얻는다.

대호(大弧), 소호(小弧)의 두 호의 정현(正弦)과 여현(餘弦)을 알고, 양호의 화(和)의 정현과 양호의 정현을 구하여라. 이하는 2간(二簡)에 속한 문제들이다.
[풀이] 우선 반지름을 1율로 하고 대호(大弧)의 정현을 2율로 하며 소호(小弧)의 여현을 3율로 하여 4율을 추득한다. 또 반지름을 1율로 하고 대호(大弧)의 여현을 2율로 하며 소호(小弧)의 정현을 3율로 하여 4율을 추득한다. 2개의 4율을 서로 합한 것이 양호의 화의 정현이고, 2개의 4율의 차가 양호의 차의 정현이다.

[참고] 원문에 끝부분인 ‘得相倂弧正弦’은 ‘得相減弧正弦’의 착오다.

60도의 외호(外弧)와 외호(外弧)에 놓여 있는 60도의 정현(正弦)를 알고 60도 속에 놓여 있는 서로 같은 호의 정현을 구하라.
[풀이] 외호(外弧) 정현에서 호에 놓여 있는 정현을 빼면 된다.

60도의 내호(內弧)와 내호(內弧)에 놓여 있는 60도의 정현(正弦)을 알고 60도 외에 놓여 있는 서로 같은 호의 정현을 구하라.
[풀이] 내호(內弧) 정현과 호에 놓여 있는 정현을 합하면 된다.

60도 내외(內外)에 놓여 있는 서로 같은 2개의 호(弧)의 정현(正弦)을 알고 양현(兩弦)에 놓여 있는 60도호의 정현을 구하라.
[풀이] 양호 정현을 서로 뺀다.

10. 십호정현(十弧正弦)

30도 …… 5만

[참고] 현대 수학에서는 sin30°=0.5다. 이 0.5를 5만으로 표시하고 있다. 이하 마찬가지다.

45도 …… 7만070167811965
18도 …… 3만090169943745
36도 …… 5만87785252191
12도 …… 2만7911690817
10도 …… 1만73648177667
20도 …… 3만420201433265
12도54분25초반 …… 2만225209339765
25도42분51초 …… 1만338883739118

11. 8호정현(八弧正弦)

60도 …… 8만6천6백025403784
45도 …… 7만7백1십67811865
36도 …… 5만8천7백7십85252192
30도 …… 5만
20도 …… 3만4천2백201433265
18도 …… 3만9백169943745
12도 …… 2만7백9십11690817
10도 …… 1만7천3백6십48177667
10통현을 얻은 뒤, 각각 이것을 반으로 하면 각 반호(半弧)의 정현을 얻는다. 곧 각 그 여현을 구한 다음에 12도의 정현으로서 그 반호씩 체감하여 생각하면 6도 정현, 3도 정현, 1도 30분의 정현을 점차로 구할 수 있다.
45분의 정현을 그 1/3씩 체감하여 생각하면 15분의 정현 5분의 정현을 점차로 구할 수 있다. 곧 60도의 내외의 정현을 구한 다음에 5분 정현으로서 그 반호를 구하면 2분 30초 정현을 얻는다. 다시 1/3호를 구하여 그때 얻는 호를 1율로 하고 50초의 현을 2율, 1분의 호를 60초로 바꾸어서 3율로 하면 1분 50초의 정현을 얻는다. 곧 50초의 정현으로 다시 2간법(二簡法)으로 이것을 구하면 매도(每度) 매분(每分)의 정현을 얻는다. 1분의 정현을 비례로서 이것을 구하면 매초의 8선을 모두 얻는다.

[참고] 원문에 오자를 지적하여 둔다. ‘ …… 以五分正弦 …… 得二分三十秒五弦復求三分 …… ’라고 되어 있는데 ‘五弦’은 ‘正弦’이라고 고쳐야 한다.

정현(正弦)을 알고 7선(七線)을 구하여라.
여현을 구하려면 반지름을 현으로 하고 정현(正弦)을 고(股)로 한다.
정시(正矢)를 구하려면 반지름에서 여현(餘弦)을 빼면 된다.
여시(餘矢)를 구하려면 반지름에서 정현을 빼면 된다.
정절(正切)을 구하려면 정현(正弦)과 반지름을 곱한 결과를 여현으로 나눈다.
여절(餘切)을 구하려면 정현과 반지름을 곱한 결과를 정현으로 나눈다.
정할(正割)을 구하려면 반지름을 제곱한 결과를 여현으로 나눈다.
또 본호(本弧)의 정절(正切)과 여호(餘弧)의 절반의 정절(正切)을 합한다.
여할(餘割)을 구하려면 반지름을 제곱한 결과를 정현으로 나눈다.
또 본호(本弧)의 정절(正切)과 본호의 절반의 정절을 합한다.

[참고] 원문에서 ‘八線摠率’이라고 말한 8선이라 함을 다음 8가지를 말한다.
1. 정현(正弦=sinA) 2. 여현(餘弦=cosA)
3. 정시(正矢=1-cosA) 4. 여시(餘矢=1-sinA)
5. 정절(正切=tanA) 6. 여절(餘切=cotA)
7. 정할(正割=secA) 8. 여할(餘割=cosecA)

위의 공식에서 유의하여야 할 것은 이때의 반지름은 모두 1로 생각하여야 한다. 즉 단위원(單位圓)에서 생각하여 공식을 유도하였다.

12. 원의율(圓儀率)

거리를 알고 높이를 구하라[有遠求高].
[풀이] 표각(表角)을 상한(象限)에서 뺀 나머지를 아는 각의 대(對)로 삼고, 표각(表角)을 구하는 각의 대(對)로 삼고, 거리를 아는 선으로 하여 생각한다. 그리하여 사원(斜遠) 즉 빗변의 거리를 구하면 곧 직각이 구하는 각의 대가 된다. 또 높이를 구(勾)로 하고 거리를 고(股)로 하여 현(弦)을 추득하면 된다.

거리를 알고 나비를 구하라[有遠求廣].
[풀이] 와의(臥儀)하여 높이를 구하는 방법과 같은 율이다.

깊이를 알고 거리를 구하라[有深求遠].
[풀이] 표각(表角)을 상한(象限)에서 뺀 나머지로써 아는 각의 대(對)로 삼고, 표각을 구하는 각의 대로 삼아 깊이를 아는 선으로 하여 생각한다.

높이를 알고 거리를 구하라[有高求遠].
[풀이] 표각(表角)을 아는 각의 대로 하고 표각과 상한(象限)과의 차를 구하는 각의 대로 하며, 높이를 아는 선으로 하여 생각하면 된다.

거리를 모르고 높이를 구하라[無遠求高].
[풀이] 2개의 측의(測儀)로서 겹으로 측량하여 앞에 있는 표지의 각도에서 뒤에 있는 표적의 각도를 뺀 나머지를 아는 각의 대를 구하는 각의 대로 삼고, 전후(前後)의 측량기의 거리를 아는 선으로 하여 사원(斜遠)(빗거리)을 추득(推得)한다. 따라서 직각으로 아는 각의 대로 삼고, 앞에 있는 표적의 각도[前表度]를 구하는 각의 대로 하며 빗거리[斜遠]를 아는 선으로 하여 구하면 된다.

거리를 모르는 물체의 측량 결과가 둔각으로 나타날 때의 나비를 구하라[鈍角無遠求廣].
[풀이] 우선 양요(兩腰)를 구하고 다음에 1각을 구하여 아는 각의 대(對)로 삼고 둔각외각(鈍角外角) 반원각에서 둔각을 뺀 나머지가 외각(外角)이다. 둔각에는 8선이 없으니 외각(外角)의 8선을 차용하라. 비례도 역시 외각을 이용하라 을 구하는 각의 대(對)로 하며 1요(腰)를 아는 선으로 하면 된다.

[참고] 원문의 주에 오자가 있으니 지적하여 둔다. ‘爲外用’이라고 되어 있는데 ‘爲外角’이라고 고쳐야 한다.

거리를 모르는 물체의 측량한 결과가 예각일 때의 그 물건의 나비를 구하라[銳角無遠求廣].
[풀이] 우선 양요(兩腰)를 구하고 다음에 1각을 구하여 아는 각의 대(對)로 삼고 예각을 구하는 각의 대로 하며 1요(腰)를 아는 선으로 하여 구하면 된다 방의율(方儀率)도 같다.

13. 구의율(矩儀率)

이 율은 방의율(方儀率)이라고도 말한다.

거리를 알고 높이를 구하라[有遠求高].
[풀이] 표(表)가 구(勾)에 있을 경우에는 표분(表分)을 소구(小勾)로 하고 의분(儀分)을 소고(小股)로 하며 표(表)가 고(股)에 있을 경우에는 의분(儀分)을 소구(小勾)로 하고 표분(表分)을 소고(小股)로 하며 두 가지 경우가 모두 거리를 대구(大勾)로 한다.

깊이를 알고 거리를 구하라[有深求遠].
[풀이] 의분(儀分)을 소고(小股)로 하며 표분(表分)을 소구(小勾)로 하고 깊이를 대고(大股)로 한다.

거리를 알고 깊이를 구하라[有遠求深].
[풀이] 표분(表分)을 소구(小勾)로 하고 의분(儀分)을 소고(小股)로 하며 그 거리를 대구(大勾)로 한다.

거리를 알고 나비를 구하라[有遠求廣].
[풀이] 와의(臥儀)로 측량하고 의분(儀分)을 소구(小勾)로 하며 표분(表分)을 소고(小股)로 하며 그 거리를 대구(大勾)로 한다.

거리를 모르고 높이를 구하라[無遠求高].
[풀이] 물건 있는 곳에서 좀 거리를 두어서 물러나와 중측(重測)을 한다. 따라서 전후표(前後表)가 모두 구(勾)에 있으면 2개의 표분(表分)의 차를 구(勾)로 하며 의분(儀分)을 소고(小股)로 하고 물러선 거리를 대구(大勾)로 한다. 또 전후표가 모두 고(股)에 있을 경우에는 우선 소분(小分)을 1율로 하고 의분(儀分)을 2율로 하며 소분(小分)과 의분(儀分)의 차 즉 교(較)를 3율로 하여 4율을 추득한다. 따라서 4율이 소구(小勾)가 되며 많은 쪽이 소고(小股)가 되며 물러간 거리가 대구(大勾)가 된다.
1구(勾) 1고(股)이면 우선 고분(股分)을 1율로 하며 의분(儀分)을 2율로 하고 고(股)의 여분(餘分)을 3율로 하여 4율을 추득한다. 이 4율과 구여(勾餘)를 합하면 곧 소구(小勾)가 되며 의분(儀分)이 소고(小股)가 되며 물러나간 거리가 대구(大勾)가 된다.

거리를 모르고 깊이를 구하라[無遠求深].
[풀이] 경사(傾斜)되도록 양의(兩儀)를 두고 무원구고(無遠求高)의 율로서 먼저 사선(斜線)을 구하고 따라서 소현(小弦)으로 이것을 추득(推得)한다. 이것은 유원구고(有遠求高)와 같은 율이다.

거리를 모르고 나비를 구하라[無遠求廣].
높이를 모르고 거리를 구하라[無高求遠].
이상 두 개의 방법은 모두 측의(測義)를 층(層)을 두어서 중측(重測)하며[層儀重測] 무원구고(無遠求高)와 같은 율로 생각하면 된다. 그러나 단 구와 고를 바꾸어서 이것을 추득(推得)하여야 한다.

14. 평구고(平勾股)

[참고] 다음의 문제는 구ㆍ고ㆍ현을 구하는 방법이다. 즉 현대 수학에서 말하는 직각삼각형(直角三角形)의 해법, 다시 말하면 직각을 낀 두변의 길이를 주고 빗변의 길이를 구하든가 또는 빗변과 밑변을 주고 높이를 구하든가 또는 빗변과 높이를 주고 밑변을 구하든가 하는 방법을 여기서 공부하려는 것이다.

직각삼각형 구고형
　밑변=구(勾)
　높이=고(股)
　빗변=현(弦)


구(勾)가 21척이고 고가 28척이면 현(弦)은 얼마인가?
[답] 35척
[풀이] 구와 고를 각각 제곱하여 서로 합하고 그 결과를 개평하라 고(股)를 제곱하면 784척이고 구(勾)를 제곱하면 441척인데 이것을 합하면 1,225척인데 이것을 실수로 하고 제곱근 구하는 방법으로 이들을 추득하면 현(弦)을 얻는다.

현(弦)이 35척이고 고(股)가 28척이면 구(勾)는 얼마인가?
[답] 21척
[풀이] 현과 고를 각각 제곱하여 서로 뺀 결과를 개평하면 된다. 현을 제곱하면 1,225척이고 고를 제곱하면 784척인데 이것을 서로 빼면 그 나머지가 441척이다. 이것을 실수로 하고 제곱근을 구하는 방법으로 이것을 추득하면 구(勾)의 길이를 얻고 답과 같이 된다.

현의 길이가 35척이고 구(勾)의 길이가 21척이면 고(股)는 얼마인가?
[답] 28척
[풀이] 현과 구를 각각 제곱하여 그 결과를 서로 뺀 연후에 그 차를 개평하면 된다 현을 제곱하면 1,225척이며 구를 제곱하면 441척인데 이것을 서로 뺀 나머지는 784척이다. 이 수를 실수로 하고 제곱근 구하는 방법으로 추득하면 고의 길이를 얻고 답과 같다.

[참고] 본문에는 ‘弦勾求股法 弦羃減勾羃開方’라는 말로서 이 방법을 설명하고 있으나

이 말도 역시 현과 구를 알고 고를 구하는 방법은 현을 제곱한 것에 구를 제곱한 것을 뺀 후에 그 결과를 개평하라는 뜻이다.
원문에 누락된 글자를 지적하여 둔다. ‘得長如答’이라고 되어 있는데 ‘得股長如答’이라 해야 한다.

구가 20척이고 고가 30척이면 직각의 대변에 내린 수선 즉 중수선(中垂線)의 길이는 얼마인가?
[답] 17척 약(弱) 여기서 약(弱)이라는 말은 부족을 뜻한다. 여기서는 16척이고 나머지가 부진(不盡) 수이므로 이것을 통합하여 1척으로 하여 원수에 합하여 17척으로 하였으나 약간 부족하다는 뜻이다.
[풀이] 구와 고를 서로 곱하여 그 결과를 현(弦)으로 나누면 된다 즉 구와 고를 서로 곱하면 600척이고 이것을 현의 길이 36척 강(强)을 법수로 하여 귀제법(歸除法)으로 나누면 16척이고 나머지가 부진수를 얻는 고로 17척 약으로 하였다. 만약 현의 길이 36척 강을 얻을려고 하면 위에서 공부한 바 있는 구고구현법(勾股求弦法)으로 하여 추득하면 된다.


구가 20척이고 고가 30척일 때 중수선(中垂線)에 의하여 현이 2단(段)으로 나누어진다. 대단(大段) 즉 큰 것과 소단(小段) 즉 작은 것의 각각의 길이를 구하여 보아라.

여기서 강(强)이라고 말함은 나머지가 있는 것을 말한다. 여기서는 11척이고 나머지가 부진수이나 극히 작으므로 12척으로는 너무 약하며 11척으로는 강하다는 뜻이다.
[풀이] 대단을 구하려면 고(股)를 제곱하여 그 결과를 현의 길이로 나누면 된다 고(股)를 제곱하면 900척이고 이것을 현의 길이 36척으로 나누면 즉 36척을 법수로 하고 귀제법으로 하여 나누면 결과를 얻는다.
소단을 구하려면 구(勾)를 제곱하여 그 결과를 현으로 나누면 된다 구를 제곱하면 400척이고 이것을 현 36척 강으로 법수로 하여 귀제법을 사용하여 나누면 결과와 같은 것을 얻는다.

구(勾)가 20척이고 고(股)가 30척일 때 그 내부에 포함되어 있는 정사각형의 1변의 길이를 구하여라.
[답] 12척
[풀이] 구와 고를 서로 곱하고 그 결과를 구와 고를 합한 결과로써 나눈다.
구와 고를 서로 곱하면 600척이 되는데 이 수를 실수로 하고, 구와 고를 서로 합하면 50척이 되는데 이 수를 법수로 하여 실수를 법수로 나눈다.

구(勾)가 20척이고 고(股)가 30척이면 그 속에 포함되어 있는 원의 지름은 얼마인가?
[답] 14척 약(弱)
[풀이] 구와 고를 합하여 그 결과에서 현을 뺀다 즉 구와 고를 서로 합하면 50척이 되는데 이 결과에서 현의 길이 36척 강을 뺀 나머지는 14척에 약간 부족하므로 약이라고 말하였다. 또 구와 고를 서로 곱한 결과를 3선(구와 고와 현)을 합한 수로서 나누면 원의 반지름 7척 약을 얻는다(다시 말하면 구와 고를 서로 곱하면 600척인데 이 결과를 구와 고와 현의 3선을 합한 수 36척 강을 법수로 하여 귀제(歸除)하면 원의 반지름의 척수를 얻는다. 이 결과를 배로 하면 곧 지름이 된다).

정구고(正勾股)에서 구가 15척이면 고와 현의 길이는 각각 얼마인가?

[참고] 여기서 정구고(正勾股)라 말함은 구의 길이가 3이고 고의 길이가 4이고 현의 길이가 5의 비율로 되어 있는 직각삼각형을 말한다.

[답] 고(股) …… 20척
　　 현(弦) …… 25척
[풀이] 고(股)를 구하려면 구 3을 1율로 하고, 고(股) 4를 2율로 하고, 주어진 구의 길이 15척을 3율로 하여 고를 구한다(즉 2율과 3율을 서로 곱한 수 60척을 1율로서 나누면 4율 2척을 얻는다).
현을 구하려면 현 5를 2율로 한다. 또 구(勾) 3으로서 지금 주어진 구(15척)를 나누어 그 결과를 4배하면 고가 되고 5배하면 현이 된다.
이상을 그림으로 표시하면 다음과 같다. 즉
(ㄱ) 고(股)를 구할 때
1율 : 2율=3율 : 4율
구 : 고=주어진 구의 값 : 구하려는 고의 값
3 : 4=15척 : χ
따라서 χ(구하려는 고의 값)=(15×4)÷3
(ㄴ) 현(弦)을 구할 때
1율 : 2율=3율 : 4율
구 : 현=주어진 구의 값 : 구하려는 현의 값
3 : 5=15척 : χ
따라서 χ(구하려는 현의 값)=(75)÷3

정구고에서 구(勾)가 15척이면 그 속에 포함되어 있는 정사각형의 1변의 길이를 구하여라.
[답] 9척 약(弱)
[풀이] 먼저 고(股)를 구하고 그 값을 7로 나누고 그 결과를 3으로 곱한다 고(股)를 우선 구하면 20척이 된다. 이 수를 실수로 하고 7로서 법수(法數)로 하여 귀제(歸除)하면 284를 얻는다(실제로는 285를 얻는다). 이 결과를 3을 법수로 하여 곱하면 그 결과 8척 5촌 2푼(실제로는 8척 5촌 5분)이 된다. 그런고로 9척 약이라고 말하였다.
또 구의 값을 7귀4인 하면 된다(즉 구의 값을 7로 나누고 그 결과를 4로 곱하면 된다는 뜻이다). 이 사실을 상세히 설명하면 구의 값 15척을 실수로 하고 7을 법수로 하여 귀제하면 213을 얻는다(실제로는 214가 된다). 이 결과를 4로 곱하면 8척 5촌 2푼을 얻는다(실제로는 8척 5촌 6분). 따라서 9척 약이라 하였다.

[참고] 원문에서 ‘得二一三 又以三爲法 …… ’이라 하였는데, ‘ …… 又以四爲法 …… ’이 타당하다고 생각된다.

정구고에 있어서 구의 길이가 15척이면 그 속에 포함되어 있는 원의 지름은 얼마나 되는가?
[답] 10척
[풀이] 우선 고(股)를 구하고 그 고의 값을 절반으로 하면 된다 다시 상세하게 말하면 고를 우선 구하여 보면 고는 20척이고 그것을 반으로 하면 10척이 된다. 그 값이 바로 속에 포함되는 원의 지름이다. 또 구의 값을 3귀 2인하면 된다. 즉 구의 값을 3으로 나누고 그 결과를 2로 곱하면 된다는 뜻이다. 구의 값 15척을 실수로 하고 3을 법수로 하여 귀제하면 5를 얻는다. 이 5를 또 2로써 곱하면 10척을 얻는데 이것이 지름이다.
정사각형의 성(城)의 정동남방에 문을 설치하려고 한다. 남문을 나가서 30보(步)에 깃발이 달린 대나무 한 주(株)가 있고 동문을 나가서 750보에서 이 깃발이 보인다고 한다. 그리고 성의 모서리 각과 현(弦)은 직각이라고 하면 성의 한 변의 길이는 얼마인가 여구, 여고를 알고 그 속에 포함되어 있는 정사각형의 한 변의 길이를 구하면 된다.

[참고] 원문의 ‘方城東南正中設問 …… ’은 ‘東南正中設門’의 착오로 생각된다.

[답] 300보
[풀이] 남문을 나가는 거리를 여구(餘勾)로 하고 동문을 나가는 거리를 여고(餘股)로 하여, 여구와 여고를 서로 곱하여 그 결과를 개평하면 속에 포함되어 있는 정사각형의 한 변의 길이가 되고 따라서 이 값을 배로 하면 구하는 것이 된다 남문을 나가는 거리 30보와 동문을 나가는 거리 750보를 서로 곱하면 22,500보를 얻는다. 이것을 실수로 하고 개평법으로써 개평하면 150보를 얻는다. 이 값 150보를 배로 한 300보가 곧 성(城)의 한 변의 길이가 된다.

성(城)의 한 변의 길이가 200보이고 동문을 나와서 15보에 나무 한 주가 있다. 남문을 나와 이 나무를 보려면 몇 보를 나오면 되겠는가 이 문제는 속에 포함되어 있는 정사각형의 한 변의 길이와 여구(餘勾)의 길이를 알고, 여고(餘股)의 길이를 구하면 된다.
[답] 666보 강
[풀이] 성의 한 변의 길이의 절반으로 속에 포함되어 있는 정사각형의 한 변의 길이로 하며, 그것을 제곱한 뒤 동문을 나오는 거리를 여구로 해서 그 제곱한 수치를 나누면 그것이 곧 여고(餘股)가 된다 성의 한 변의 길이 200보를 절반하면 100보인데 이것을 제곱하면 10,000보가 된다. 이 값을 실수로 하고, 동문을 나왔는 거리 15보를 법수로 하여 귀제하면 666보 1분이 되는 까닭에 답을 666보 강(强)이라고 하였다. 대체로 이 방법과 앞에서 공부한 구용방경법(求容方徑法)을 서로 바꾸어 가령 동문을 나가서 15보에 나무 한 주가 있고 남문을 나가서 666보 강(强)에 이 나무를 보았다고 하고 또 성의 모서리각과 현을 이루는 각이 직각이라고 할 때 성의 한 변의 길이는 얼마인가라고 한다면 마땅히 답은 200보라고 답할 것이다.

[참고] 원문의 ‘見此數 與城角 弦直 門城方幾’은 ‘見此樹 …… 問城方幾何’의 착오인 듯하다.

15. 비례구고(比例勾股)

깃대[旗竿]에서 35척 되는 곳에 3척 되는 짧은 표적(表的)을 세우고 다시 3척 또 앞에 9척 되는 긴 표적을 세웠다. 지금 짧은 표적의 머리에서 깃발의 꼭지점과 긴 표적의 머리를 바라볼 때 직선으로 연결된다고 한다. 깃발의 높이는 얼마인가 유원구고(有遠求高)법으로 하면 된다

[참고] 표, 간(竿), 지평을 곧 바로 직선으로 연결한다. 다음에도 이와 같다.

[답] 70척이다 3척의 짧은 표적의 높이가 있으니 실제의 높이는 73척이다.
[풀이] 양 표적(表的)의 거리를 소구(小勾)로 하여 1율로 하고 양 표적의 차를 소고(小股)로 하여 2율로 하며, 뒤에 있는 표적과 깃대의 저면과의 거리를 대구(大勾)로 하여 3율로 하고, 4율을 구한 뒤에 짧은 표적의 높이를 더하면 된다 다음에는 모두 이와 같이 한다. 2율과 3율을 서로 곱하면 즉 2율은 양 표적의 차(9척에서 3척을 빼면 6척)가 6척이고, 3율은 뒤 표적과 깃발 사이의 거리 35척이니 이것을 서로 곱하면 35척×6척=210척이 된다. 이것을 1율 즉 양 표적 사이의 거리 3척으로 나누면 4율 70척을 얻고 그 값에 짧은 표적의 높이 3척을 더한다.

회목(檜木 : 노송나무)으로부터 38척 되는 곳에 높이 5척의 표적을 세웠다. 그리고 그 표적에서 2척 뒤쪽에서 사람 눈을 땅에 딱 부착하여 치어다볼 때 노송나무의 꼭지점과 표적의 머리가 일직선으로 이어졌다면 노송나무의 높이는 얼마냐?
[답] 100척
[풀이] 표적에서 뒤로 물러난 거리 2척을 소구(小勾)로 하여 1율로 하며 표적의 높이를 소고(小股)로 하여 2율로 하고 사람 눈과 나무의 지면 부분과의 거리를 대구(大勾)로 하여 3율로 하고 4율을 추득하면 된다

탑(塔)을 측량하는데 탑에서 떨어진 곳에 두 개의 표적을 세웠다. 두 개의 표적의 거리는 20척, 앞표적의 높이는 5척, 뒤표적의 높이는 4척이다. 뒤표적의 꼭지점에서 바라보면 꼭지점과 앞표적의 꼭지점이 일직선에 있다. 이때 탑의 높이가 120척이라면 뒤표적과 탑과의 거리는 얼마인가? 유고구원(有高求遠)의 방법으로 풀린다
[답] 2,400척 1율 : 소고 1척. 2율 : 소구 20척. 3율 : 대고 탑높이 120척. 4율 : 대구 2,400척이다. 2율과 3율을 서로 곱하여 1율로 나누면 2,400이 된다.
[풀이] 양 표의 차를 소고 1율, 양 표의 거리를 소구 2율, 탑 높이를 대고 3율로 하면 4율을 얻는다.

강(江)의 나비를 측량하려고 한다. 강물 기슭에 높이 2척의 표적(表的)을 세우고 뒤로 30척 물러서 지평(地平)에서 건너쪽을 바라보면 표적의 꼭지점과 언덕의 꼭지점 직선으로 연결된다. 언덕의 높이는 80척이다. 강의 나비는 얼마냐?
[답] 1,200척 뒤로 물러나간 거리 30척을 빼면 실지 나비는 1,170척이다.
[풀이] 표적의 높이를 소고(小股) 1율로 하고, 물러선 거리를 소구(小勾) 2율로 하며, 강둑의 높이를 대고(大股) 3율로 하여 4율을 추득한 뒤 여기에 뒤로 물러간 거리를 뺀다 다음은 모두 이와 같다. 서로 곱하면 2,400척을 얻고 법에 의하여 이것을 나눈다.

[참고] 4율=(2율×3율)÷(1율)=30

이 값에서 36척을 감하면 1,170척이 된다.
원문에 ‘推得四率 減退大’라고 씌어 있는데 이것은 ‘推得四率 減退距大勾’라고 쓰야 옳을 것 같다.

성에 올랐다. 타두(垜頭 : 활과 포의 표적이 있는 곳)까지의 거리는 9척이다. 적진(敵陣)의 교각과 타두를 바라보면 직선으로 연결된다. 타두의 지평선까지의 깊이(거리)는 75척이며 눈은 타두보다 5촌(寸)이 높다. 적진의 교각에서 성(城)까지의 거리는 얼마나 되는가? 유심구원(有深求遠)의 법으로 풀면 된다.
[답] 1,350척 1율 : 소고(눈높이 0.5). 2율 : 소구(성과 타두와의 거리 9). 3율 : 대고(타두의 지평깊이 75). 4율 : 대구(적진각 1,350) 2율×3율 : 675)

[풀이] 눈의 높이와 타두의 차이를 소고 1율로 하고, 타두와 눈의 거리를 소구 2율로 하고, 지평심(地平深)을 대고 3율로 한다.

해안(海岸)의 깊이가 234척 5촌이고 해안을 따라서 뒤로 36척을 물러선 곳에 높이 1척 3촌되는 돌[石]이 있고, 이 돌 위에서 바다 멀리 1점의 고도(孤島)와 해안의 꼭지점을 바라보니 일직선이라고 한다. 해안과 섬과의 거리는 얼마나 되겠는가?
[답] 6,494척 약(弱) 1척 3촌을 촌으로 고치면 13촌이고 36척을 촌으로 고치면 360촌이며 234척 5촌을 촌으로 고치면 2,345촌이 된다. 또 계산해서 얻은 64,938촌과 나머지 6촌을 합하면 답이 나온다.
[풀이] 돌의 높이를 소고 1율로 하고, 물러선 거리를 소구 2율로 하며, 해안의 깊이를 대고(大股) 3율로 한다 2율 36척과 3율 234척 5촌을 서로 곱하면 844,200촌이다. 이것을 실수로 하고, 1율 13촌을 법수로 하여 나누면 6,493척 8촌이고 나머지 6촌이고 나누어 떨어지지 않으므로 4척 약이 된다. 대체로 3율의 끝자리는 촌(寸)이므로 모두 촌으로 환산하여 승제(乘除)를 하면 차별이 없다.


지름이 4척인 우물이 있다. 거기서 뒤로 5촌 물러서 높이 4척 5촌인 표적을 세웠다. 이 표적의 꼭지점에서 내려다보니 우물의 밑바닥과 우물의 입구가 직선으로 연결되었다고 한다. 우물의 깊이는 얼마인가? 유원구심(有遠求深)의 방법으로 하면 된다.
[답] 36척
[풀이] 퇴거한 거리를 소구(小勾) 1율로 하고, 표적의 높이를 소고(小股) 2율로 하며, 우물의 지름을 대구(大勾) 3율로 하여 4율을 추득하면 된다 서로 곱하면 1,800이 된다. 식에 의해 나누면 된다. 척을 촌으로 환산하는 것은 앞에 이미 보였다.


대상에서 대의 깊이를 측량하려고 한다. 대(臺) 앞에 있는 뜰 나비가 120척이며 대상에서 뒤로 2척을 물러서 높이 5척인 표적을 세웠다. 지금 표적의 꼭지점에서 바라보니 앞뜰[前庭]의 끝부분과 대(臺)의 끝부분이 직선으로 연결되었다. 대(臺)의 깊이는 얼마나 되겠는가?
[답] 300척
[풀이] 뒤로 물러선 거리를 소구(小勾) 1율로 하고, 표적의 높이를 소고(小股) 2율로 하며, 앞뜰의 나비를 대구(大勾) 3율로 정한 후 4율을 추득(推得)하면 된다 곱하여 600척을 얻고 법대로 나눈다.

해안에서 고도(孤島)까지의 거리는 6,493척 (8과6/13)촌이고, 해안(海岸)의 꼭지점에서 뒤로 36척을 물러선 곳에 높이 1척 3촌의 돌이 있다. 돌의 꼭지점에서 내려다보면 섬의 꼭지점과 해안의 꼭지점이 직선으로 연결된다고 한다. 해안의 꼭지점과 섬까지의 평면 깊이는 얼마나 되겠는가?
[답] 235척
[풀이] 뒤로 물러간 거리(36척)와 분모(13)를 곱한 결과를 소구(小勾) 1율로 하고, 돌의 높이(1척 3촌)를 소고(小股) 2율로 하며, 해안에서 섬까지의 거리를 통분내자하여 대구 3율로 한다.

정사각형의 꼴로 되어 있는 성(城)에서 500척이 떨어져 있는 곳에 곱자[矩尺]를 눕혀서 장치하였다. 곱자의 길이는 30척이다. 여기서 성(城)의 동쪽 면과 구(勾)를 바라보아 직선으로 연결되었으며 구선(勾線)에 따라서 2척을 간 뒤에 다시 서쪽 모퉁이와 고(股)의 끝을 바라보아 직선으로 연결되었다고 한다. 성(城)의 나비는 얼마냐 유원구광(有遠求廣)과 유광구원(有廣求遠)의 방법으로 계산하면 된다
[답] 7,500척
[풀이] 구선(勾線)에 따라서 물러간 거리 2척을 소고(小股) 1율로 하고 곱자의 길이 30척을 소구(小勾) 2율로 하고 성(城)과 곱자까지의 거리 500척을 대고(大股) 3율로 한다.

원대(圓臺)의 갓변에서 1,600척의 거리에 큰 곱자를 눕혀서 고선(股線)과 대변(臺邊)을 직선으로 되게 하고, 고의 끝에서 바라보아 대의 중심과 구(勾) 6촌이 직선으로 된다. 대의 지름은 얼마냐?
[답] 64척
[풀이] 고의 길이를 소구 1율로 하고, 구(勾)의 길이(6척)를 소고 2율로 하며, 대의 거리를 대구 3율로 하여 4율로 추득한 후 그 값을 배로 하면 된다.

[참고] 1율은 대구척(大矩尺)의 길이인 30척이고, 2율(6촌)과 3율(1,600척)을 서로 곱한 연후에 그 결과를 1율로 나눈다. 즉

960척÷30척=32척
이 된다. 이 32척을 배로 하면 64척인데 이것이 구하려는 답이다.

바닷속에 정(丁), 무(戊)의 양 섬이 있으며 바다 기슭에 을(乙), 병(丙)의 두 표적을 세웠다. 그 두 표적 사이의 거리는 54척이라 했다. 을, 병의 두 표적으로부터 각각 45척을 뒤로 물러선 곳에 갑표(甲表)를 세웠다. 갑표에서 보면 오른쪽으로 정과 을표가 일직선이고, 왼쪽으로 무섬과 병표가 직선으로 연결된다. 또 두 섬과 갑표의 거리를 측량하여 각각 2,545척을 얻었다고 한다. 이 두 섬의 거리는 얼마냐? 같은 식으로 예각일 때도 고찰할 수 있다.
[답] 3,054척
[풀이] 갑을의 거리를 1율, 을병의 거리를 2율로 하며, 갑과 양 섬과의 거리를 3율로 하여, 4율을 추득하면 된다(2율과 3율을 서로 곱한 결과인 137,430척을 1율 45척으로 나누면 3,054척이 된다).

[참고] 원문의 답에 ‘答曰 三千五百四尺’이라고 되어 있는데, 이것은 ‘三千五十四尺’의 착오임을 병기하여 둔다.


성밑에 갑, 을, 병의 3개 표적을 세웠다. 을, 병의 양 표적과 성의 면이 평행한다고 한다. 갑표에서 왼쪽으로 동쪽 모퉁이와 을의 표적을 바라보고 직선으로 연결하며, 오른쪽으로 서쪽 모퉁이라 병의 표적을 바라보고 직선으로 연결하며, 갑과 을, 갑과 병의 서로 떨어진 거리는 각각 15척이라 한다. 을과 병의 서로 떨어진 거리는 570척이며 갑과 동쪽의 모퉁이까지의 거리는 1,500척이라 한다. 성의 나비는 얼마나 되겠는가? 같은 식으로 둔각일 때도 고찰할 수 있다.
[답] 57,000척
[풀이] 갑과 을의 거리(15척)를 1율, 을과 병의 거리(550척)는 2율, 갑과 동쪽 모퉁이의 거리(1,500척)를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

평야(平野)에서 산을 측량하려고 한다. 멀리 있는 산의 꼭지점과 지평선을 곧바로 바라보며 직선으로 연결한다고 하자. 두 개의 표적을 세우는데 앞표적의 높이는 15척이고 뒤표적의 높이는 17척이며 양 표적의 거리는 300척이며 뒤표적의 꼭지점에서 산의 꼭지점과 앞표적의 꼭지점을 바라보고 직선으로 연결하였다고 하자. 이때 앞표적과 산꼭지점까지의 거리는 얼마나 될까? 무고구원(無高求遠)의 방법으로 풀면 된다.
[답] 2,250척
[풀이] 앞표적의 차를 소고(小股)로 하여 1율로 하고 두 표적 사이의 거리를 소구(小勾)로 하여 2율로 하며, 앞표적의 높이(15척)를 대고(大股)로 하여 3율로 하고 4율을 추득하면 된다.

하천(河川)의 기슭에 높이 5척인 짧은 표적을 세우고 뒤로 28척을 물러서서 높이 6척인 긴 표적을 세웠다고 한다. 뒤표적의 꼭지점으로부터 건너편 언덕의 강물 기슭과 앞표적의 꼭지점을 바라보고 직선으로 연결하였다고 하자. 이때의 강물의 거리는 얼마나 되겠는가?
[답] 168척
[풀이] 두 표적의 차를 소고(小股)로 하여 1율로 하며, 두 표적의 사이의 거리(28척)를 소구(小勾)로 하여 2율로 하며 앞표적의 높이(6척)를 대고로 하여 3율로 정하고 4율을 추득하면 된다.

지팡이[杖]를 짚고 야외(野外)에 가서 멀리 있는 편석(片石)과 지팡이 꼭지점을 멀리 바라보고 직선으로 연결하였다고 한다. 지팡이 길이는 3척 7촌이고 눈과 지면 사이의 거리는 3척 7촌 5푼, 지팡이의 꼭지점과의 거리는 1척 9촌이라고 할 때 돌과 사람 사이의 거리는 얼마나 되겠는가?
[답] 142척 5촌
[풀이] 눈과 지팡이와의 차를 소고(小股)로 하여 1율로 하며, 눈과 지팡이와의 거리를 소구(小勾)로 하여 2율로 하며, 눈과 지면과의 거리를 대고로 하여 3율로 정한 후에 4율을 추득하면 된다.


언덕 위에 있는 들나무[野樹]까지의 빗거리[斜遠]를 측량하려고 한다. 2개의 곡자[矩尺]를 비탈에 세웠다. 그 곡자[矩尺]의 사이의 거리는 50척이라 한다. 2개의 구선(勾線)을 합한 것과 나무를 직선으로 연결하며 후구고(後矩股) 21척에서 나무와 전구고(前矩股) 20척을 바라보고 직선으로 연결하였다고 하자. 이때의 전구척과 나무와의 비탈거리[斜遠]는 얼마인가? 무고구사원(無高求斜遠)의 방법으로 구하면 된다.
[답] 1,000척
[풀이] 2개의 구고(矩股)의 차(21척과 20척의 차 1척)를 소고(小股)로 하여 1율로 하고 2개의 구척의 거리(50척)를 소구(小勾)로 하여 2율로 하며 전구고(前矩股)의 길이 20척을 대고로 하여 3율로 한 뒤 4율을 추득하면 된다.

[참고] 원문에서 ‘ …… 斜立兩矩尺 相距五十尺 …… ’ ‘ …… 合兩勾線與野叅直 …… ’ ‘ …… 望野樹與前矩二十尺 …… ’으로 되어 있는데, 이들은 각각 ‘ …… 斜立兩矩尺 相距五十尺 …… ’으로, ‘ …… 合兩勾線與野樹叅直 …… ’으로, 또 ‘ …… 望野樹與前矩股二十尺 …… ’으로 고쳐야 한다.

또 ‘術曰兩距差 …… ’에서는 ‘距’ 자는 ‘矩’ 자로 바꾸어야 하며, ‘ …… 前股長爲大股三率’이라고 한 데서는 ‘前’ 자 다음에 ‘矩’ 자를 삽입해야 한다.


갑과 을의 2개의 산봉우리와 병의 산꼭지점을 연결하였다고 하자. 을로부터 갑까지의 비탈 거리는 1,000척이며 평심(平深)은 5척이며(지금 지평수(地平數) 10척이 있으면 구를 포게서 그리고 퇴거(退距)해서 그 높이와 거리를 측량하여 각각 구와 고로 해서 현을 구하고 그것을 비탈 거리로 한다. 만약 지평수가 없을 경우에는 갑에서부터 층구(層矩)를 설치하여 심원(深遠)을 측량하며 혹 사선(斜線)을 그어서 두 개의 구척(矩尺)으로 직접 사원을 측량하는 것도 좋다)
을에서 병까지의 비탈 거리는 46,000척이라 한다. 을에서 병까지의 평심은 얼마나 되는가? 무원구심(無遠求深)법과 무심구원(無深求遠)법으로 구하면 된다.
[답] 230척
[풀이] 갑과 을의 비탈 거리(1000척)를 소현(小弦)으로 해서 1율로 하며, 그 평심(平深)(5척)을 소고(小股)로 해서 2율로 하며 을과 병의 비탈 거리(446,000척)를 대현(大弦)으로 하여 3율로 하여 4율을 추득한다. 만약 을과 병의 평원(平遠)을 구하려면 갑과 을의 평원(平遠)을 추득하여 그것을 소구(小勾)로 하여 2율로 하여 4율을 추득하면 평원을 얻는다.
또 비탈 거리를 현으로 하고 평심을 구(勾)로 하여 고(股)를 추득하면 곧 그것이 평원이 된다.

갑지(甲地)에서 산의 높이를 측지하려고 한다. 그런데 지평(地平)수를 얻지 못하여 임의로 상파(上坡)의 을지를 직선으로 연결하려는 것을 택하여 우선 을지에서 층구(層矩)로써 갑의 평심(平深) 68척과 평원(平遠) 51척을 측정하여 얻고 곧 갑과 을의 비탈 거리 85척을 얻었다. 또 산꼭지점과 갑지 사이의 비탈 거리 2,500척을 얻었다고 한다. 갑지에서 멀리 있는 산의 꼭지점까지의 높이는 얼마나 되는가?
[답] 2,000척
[풀이] 갑과 을의 비탈 거리(85척)를 소현(小弦)으로 하여 1율로 하며 평심(平深)(68척)을 소고(小股)로 하여 2율로 하며 산정(山頂)과 갑지까지의 비탈 거리(2500척)를 대현(大弦)으로 하여 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.
만약 거리를 구하려면 갑과 을의 평원(51척)을 소고(小股)로 하여 2율로 하며 4율을 구하면 된다.

또

바닷가에 갑의 표적을 세우고 90척을 물러서서 을의 표적이 서 있다. 을에서 무(戊)도와 갑의 표적을 곧바로 바라보며 직선으로 연결하였다고 하자. 갑의 표적의 오른쪽으로 68척이 떨어진 곳에 병의 표적이 서 있으며 을의 표적의 오른쪽으로 70척이 떨어진 곳에 정의 표적이 서 있다고 하자. 정의 표적에서 섬과 병의 표적을 바라보며 곧바로 직선으로 연결하였다고 하자. 갑과 을의 양 표적은 각이나 중간 거리가 일치하고 있다. 이때 섬과 앞표적까지의 거리는 얼마나 되겠는가? 무광구원(無廣求遠)의 법으로 풀면 된다.
[답] 3,060척
[풀이] 갑과 병 사이의 거리(68척)와 을과 정 사이의 거리(70척)의 차인 (2척)을 소고(小股)로 하여 1율로 하고, 갑과 을의 사이의 거리(90척)를 소구(小勾)로 하여 2율로 하고 갑과 병의 사이의 거리(68척)를 대고로 하여 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

성루(城樓)에 올라가서 적병의 포진한 것을 바라보니 적병은 삼각진(三角陣)으로 이루어져 있으며 적진의 추예(錐銳)가(삼각의 뾰족한 끝) 성을 향하게 되어 있다. 지금 성의 누각 문에서부터 뒤로 33척의 거리에서 적진을 바라보니 예각(銳角)이 누문(樓門)의 정복판(중심)과 문지방[閾]을 직선으로 연결한 후 2개의 각과 물의 윗부분의 돌쩌귀를 참직(叅直)하였다고 하자. 지금 문지방의 나비는 8척이고 문지방의 지면까지의 높이는 75척이며 문기둥의 길이는 2척이며 사람 눈밑으로 문지방까지의 거리는 3척이라고 하면 이때의 적진에서 성까지의 거리와 적진의 중장(中長)과 적진의 후면의 나비와 적진의 예각을 이루는 2개의 변의 길이는 각각 얼마나 되겠는가?(잡측에 속하는 문제)

[참고] 원문에 삭제할 부분을 지적하여 둔다. ‘ …… 叅直後兩角與門楣兩角叅直 …… ’이라고 되어 있는데, ‘兩角’이 2회 있다. 뒤의 ‘兩角’은 불필요한 것이다. 따라서 삭제되어야 한다.

[답] 중장 : 1,716척.
　　 성까지 거리 : 825척.
　　 적진의 후면의 나비 : 624척.
　　 양변의 길이 : 1,744척 강.
[풀이] 성까지 거리를 구하려면 눈밑으로 문지방까지 거리(3척)를 소고로 하고 1율로 하며 뒤로 물러나간 거리(33척)를 소구로 하여 2율로 하며 문지방의 지면(地面)까지의 거리(75척)를 대고(大股)로 하여 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

또 중장을 구하려면 눈밑에서 문지방까지의 거리(3척)에서 문기둥의 길이(2척)를 뺀 차(1척)를 소고(小股)로 하여 1율로 하고 퇴거한 거리(33척)를 소구로 하여 2율로 하고 문기둥의 길이(2척)와 문지방의 지면 사이의 높이(75척)를 합한(77척) 것을 대고(大股)로 3율로 정하여 4율을 추득한 후 그 결과에서 성까지의 거리 82척을 감하면 된다.

또 후면의 나비를 구하려면 퇴거한 거리(33척)를 1율로 하고 문지방의 넓이의 절반(4척)을 소고로 하여 1율로 하며 중장과 성까지의 거리를 합하고 또 그 결과에 1율을 더하여 대구로 하며 3율로 하여 4율을 추득한 후에 그 값을 배로 한다.

또 양변의 길이를 구하려면 중장(中長)을 고(股)로 하고 후면의 나비의 절반을 구(勾)로 하고 현(弦)을 추득하면 된다.

16. 중비례 구고(重比例勾股)

산의 높이를 측지하는데 2개의 대나무 막대기를 세웠다. 그 2개의 대나무 사이의 거리는 120척이라 한다. 앞대나무에서 뒤로 18척을 물러서서 표적을 세워 놓고, 그 표적의 꼭지점에서 산의 꼭지점과 대나무의 꼭지점을 바라보고 직선으로 연결하고, 뒤의 대나무에서 뒤로 20척을 물러서서 표적을 세워 놓고 그 표적의 꼭지점에서 산의 꼭지점과 대나무 꼭대기를 바라보고 직선으로 연결하였다고 한다. 2개의 대나무의 높이는 각각 30척이고, 2개의 표적의 높이는 각각 12척이라 한다. 산 높이는 얼마인가? 무원구고(無遠求高)의 법과 무고구원(無高求遠)의 법으로 풀면 용이하다.
[답] 1,080척.
[풀이] 앞과 뒤의 대나무와 양 표적의 거리의 차를 소구(小勾)로 하고 1율로 하며(20척에서 18척을 뺀 차 2척을 1율로 하고) 또 대나무의 높이(30척)와 표적의 높이(12척)의 차를 소고(小股)로 하여 2율로 하며 양 표적의 거리(120척)를 대구(大勾)로 하여 3율로 정하여 4율을 추득한다. 그리고 그 뒤에 표적의 높이(12척)를 더한다. 거리를 구하려면 전후의 대나무와 그 표적의 거리의 차(20척과 18척의 차인 2척)를 소고(小股)로 하여 1율로 하며 양 표적의 거리(120척)를 소구(小勾)로 하여 2율로 하고 앞대나무와 표적 사이의 거리(18척)를 대고(大股)로 하여 3율로 하고 4율을 추득하면 된다.


바닷가 사이에 있는 섬을 측량하려고 한다. 2개의 길이가 표적을 세우는데 그 표적의 높이는 3척이고 2개의 짧은 표적을 세우는데 그 높이는 3촌이라고 한다. 짧은 표적의 꼭지점에서 섬의 꼭지점과 길이가 긴 두 표적의 꼭지점을 바라보고 그것을 직선으로 연결하였다고 하자. 앞에 있는 2개의 표적의 거리는 60척이고 뒤의 2개의 표적의 거리는 62척이라고 한다. 2개의 짧은 표적의 사이의 거리는 500척이라 한다. 이때의 섬의 높이는 얼마인가?
[답] 675척
[풀이] 전후의 표적의 거리의 차(62척에서 60척을 뺀 거리의 차 2척)를 소구(小勾)로 하여 1율로 하며 길이가 긴 표적과 짧은 표적의 높이의 차(3척에서 3촌을 뺀 차 2척 7촌)를 소고(小股)로 하여 2율로 하고 두 개의 짧은 표적의 거리(500척)를 대구로 하여 3율로 하며 4율을 추득한다.

또 이때의 거리를 구하려면 전후의 표적의 거리의 차(62척에서 60척을 뺀 거리의 차 2척)를 소고(小股)로 하여 1율로 하고 짧은 표적의 거리(500척)를 소구(小勾)로 하여 2율로 하고 앞의 두 개의 표적의 거리(60척)를 대고(大股)로 하여 3율로 정하고 4율을 추득하면 된다.


강(江) 건너편에 있는 산을 측량하려고 한다. 2개의 표적을 세우는데 그 표적의 높이는 각각 5척이라고 한다. 그리고 그 2개의 표적의 거리는 100척이라 하자. 전 표적에서 23척을 뒤로 물러서고 뒤표적에서 27척을 뒤로 물러서서 각각 지평(地平)에서 산 꼭지점과 표적의 꼭지점을 바라보고 그것을 직선으로 연결하였다고 하자. 이때 산 높이는 얼마나 되겠는가?
[답] 125척
[풀이] 전후의 표적의 퇴거한 거리의 차(27척과 23척의 차인 4척)를 소구(小勾)로 하여 1율로 하고, 표적의 높이(5척)를 소고(小股)로 하여 2율로 하며 두 표적의 거리(1,000척)를 대구(大勾)로 하여 3율로 한다. 그런 후에 4율을 추득하면 된다.

전후 표적의 퇴거리(退距離)의 차(27척과 23척의 차인 4척)를 소고(小股)로 하여 1율로 하고, 양 표적의 사이의 거리 100척을 소구(小勾)로 하여 2율로 하며 또 전 표적의 물러선 거리(23척)를 대고(大股)로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.


언덕 위에서 산골의 밑바닥까지의 깊이를 측정하기 위하여 층구(層矩)척을 설치하고 고(股) 2척에서 산골짝의 밑바닥과 아래 구(勾) 1척을 바라보고 그것을 곧바로 직선으로 연결하며, 상고(上股) 2.05척에서 산골짝의 밑바닥과 상구(上勾) 1척을 바라보고 그것을 직선으로 연결하였다고 하자. 두 개의 곡자[矩尺]의 사이의 거리는 10척이라고 한다. 이때의 산골짝의 밑바닥의 평심(平深)은 얼마나 되는가? 무원구심(無遠求深)과 무심구원(無深求遠)의 방법으로 푸는 것이 좋다.
[답] 400척
[풀이] 상하(上下)의 고의 차(2.05척과 2척의 차인 5푼)를 소고(小股)로 하여 1율을 하고 하고(下股)의 길이(2척)를 소구(小勾)로 하여 2율로 하며 2개의 곡자의 사이의 거리 10척을 대고(大股)로 하여 3율로 정하고 4율을 추득하면 된다.

거리를 구하려면 상하의 고(股)의 차(5푼)를 소구(小勾)로 하여 1율로 하며 구(勾)의 길이(1척)를 소고(小股)로 하여 2율로 하며 2개의 구척(곡자)의 사이의 거리(10척)와 고(股)의 차(5푼)를 합한 것을 대구로 하여 3율로 정한다. 이와 같이 하여 4율을 추득하면 된다.


갑산(甲山)에서 을산(乙山)의 평심(平深)을 측정하려고 한다. 지금 층구(層矩)를 설치하고 하구(下勾) 5촌에서 을산의 꼭지점과 하고(下股)의 끝을 바라보고 그것을 직선으로 연결하였고, 상구(上勾) 6촌 8푼에서 을산의 꼭지점과 상고(上股)의 끝을 바라보며 그것을 역시 직선으로 연결하였다고 하자. 이때의 양 구척의 사이의 거리는 25척이라고 한다. 을산의 꼭지점에서의 평심(平深)은 얼마나 되는가?
[답] 68척 약(弱)
[풀이] 상하의 두 개의 구의 차를(6촌 8푼 5촌의 차인 1촌 8푼) 소고(小股)로 하고 1율로 정하여 하구(下勾)의 길이(5촌)를 소구(小勾)로 하여 2율로 하며 두 개의 구척의 사이의 거리(25척)를 대고(大股)로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.

이어서 거리를 구하려면 상ㆍ하의 두 개의 구(勾) 차(6촌 8푼과 5촌의 차인 1촌 8푼)를 소구(小勾)로 하여 1율로 하고, 고(股)의 길이 문제에 없다를 소고(小股)로 하여 2율로 하고, 두 개의 구척의 거리(25척) 상ㆍ하구의 차(1촌 8푼)를 더한 결과를 대구(大勾)로 하여 3율로 하여 4율을 추득할 수 있다.

[참고] 분문제의 미비점을 지적한다. 구성상으로 보아 상ㆍ하의 2개의 고(股)의 길이가 주어져 있어야 하는데도 불구하고 원문에서는 전연 언급이 없으며 또 다음 몇 가지를 보충하여 두어야 한다. 즉 원문에서 ‘甲山測乙山深平 …… ’이라고 되어 있는데, 이것은 ‘ …… 測乙山平深 …… ’이라고 하여 ‘平’ 자와 ‘深’ 자를 바꾸어야 하며, 또 원문에서 ‘ …… 從上勾 望乙山頂 …… ’이라 하였는데, 이 문제의 풀이에서 추리하여 ‘上勾’ 다음에 ‘六寸八分强’이라는 수를 보충하여야 문제가 주어진 답과 근사적으로 합당하게 된다. 따라서 이와 같이 교정하는 것이 좋다.

해변에서 섬의 나비를 측정하려고 한다. 지금 구척(矩尺)의 길이 30척인 2개의 2척을 가로로 장치하고 그 2개의 구척의 사이의 거리는 500척이라고 한다. 두 개의 구선(勾線)과 섬을 오른쪽으로 곧바로 직선으로 연결하여 앞구척에서 9척 뒤로 물러서고, 뒤구척에서 뒤로 7척 물러서서 각각 구선(勾線)에 따라서 섬을 바라보아 왼쪽으로 각고의 끝을 직선으로 연결하였다고 하자. 이때의 섬의 나비는 얼마나 되겠는가? 무원구광(無遠求廣)의 방법과 무광구원(無廣求遠)의 방법으로 구하면 된다.

[참고] 이 문제의 원문에서 누락과 오자(誤字)를 지적하고 다음 교정에 도움을 주려고 한다.

‘ …… 橫置兩矩尺相距五百尺 …… ’이라 되어 있는데 ‘矩尺’ 다음에 ‘長三十尺’이라는 것을 삽입하여야 한다. 왜냐하면 이 문제의 풀이에서 추리하고 주어진 답과 합당하게 하려면 이와 같이 하여야 옳다. 또 ‘ …… 前矩尺退矩五尺 …… 退矩七尺 …… ’이라고 되어 있는데 ‘退矩’는 모두 ‘退距’로 고쳐야 한다. 즉 ‘矩’ 자를 ‘距’ 자로 바꾸어야 한다.
[답] 7,530척
[풀이] 전후의 구척에서 퇴거한 거리의 차(7척과 5척의 차인 2척)를 소구(小勾)로 하여 1율로 삼고 구척의 길이(원문에는 없으나) 30척을 소고(小股)로 하여 2율로 하며 2개의 구척의 사이의 거리(500척)과 퇴거한 거리의 차(2척)를 합한 502척을 대구(大勾)로 하여 3율로 정하여 4율을 추득한다.

이 문제에서 2율 30척은 역산(逆算)으로 하여 구한 값이다.
후구척(後矩尺)에서 섬 중심까지의 거리.
거리를 구하려면 전후의 구척에서 물러선 거리의 차(7척과 5척의 차인 2척)를 소고(小股)로 하여 1율로 하고 두 개의 척의 거리(500척)와 전후 구척의 퇴거한 거리의 차(2척)를 합한 거리(502척)를 소구(小勾)로 해서 2율로 정하여, 앞구척에서 물러선 거리(5척)를 대고(大股)로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.

17. 원의(圓儀)

깃대[旗竿]에서 퇴거(退距) 50척의 거리의 지평에 각도기를 설치하고 깃대의 꼭대기를 엿본 결과 57도(度)가 되는 곳에 깃발이 놓여 있다고 한다. 이 깃대의 높이는 얼마나 되겠는가? 이하 직각
[답] 77척 약(弱)
[풀이] 깃대표[旗竿表]의 각도 57도와 상한(象限)의 차 90도에서 57도를 뺀 각 33도를 깃대의 꼭지점의 지각(知角)의 대로 한다. 깃대의 꼭지점은 대나무의 선과 표적을 눈으로 엿본 시선(視線)과의 이루는 각도와 같으며, 지평선(地平線)은 간정(竿頂)의 상대로 하는 것이며 50척은 알고 있는 선이므로 지각(知角)의 대가 될 수 있다.
삼각표를 찾아서 33도의 정현(正弦)을 1율로 하고 표적의 도수(57도)를 구하는 각의 대로 한다. 표적의 각은 간고(竿高)의 대가 되고 간고(竿高)는 구하는 선이므로 구하는 각의 대가 된다. 삼각표를 찾아서 57도의 정현을 구하여 그것을 2율로 하며, 퇴거한 거리 50척을 알고 있는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.

또, 반지름 100,000을 1율로 하고 57도의 정절(正切)을 2율로 하며 퇴거한 거리(50척)를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

△ABC는 직각삼각형이므로 원에 내접한다. 따라서 빗변의 AB가 반지름이다.

탑(塔)의 높이가 320척이고 각도기[儀器]로서 탑의 꼭지점의 표적을 측정한 결과 23도 35분이었다고 한다. 탑과 각도기와의 사이의 거리는 얼마나 되는가?
[답] 733척 강(强)
[풀이] 탑정(塔頂)에 있는 표적의 각도를 아는 각의 대(對)로 하여 그 각도의 정현(正弦)을 1율로 하고 표적의 각도의 절반을 상한(90도를 말함)에서 뺀 나머지를 탑정(塔頂)의 구하는 각도의 대로 하여 그 정현을 2율로 하며, 탑의 높이를 아는 선으로 하고 그것을 3율로 하여 4율을 추정하면 된다.


또 반지름은 1율로 하고 표적의 도수 23도 35분의 여절(餘切 Cotangent)을 2율로 하며, 탑의 높이를 3율로 하고 4율을 추득하면 된다.

강둑[江岸]에 각도기를 두어 강둑 아래로 물까지의 평심(平深) 210척이라 한다. 그리고 건너편 언덕의 강물 기슭에 위치하고 있는 표적의 위치를 엿본 결과 43도 37분이라고 한다. 이때의 강의 나비는 얼마인가?
[답] 200척 강(强)
[풀이] 표적의 각도(43도 37분)를 상한(象限)에서 뺀 나머지를 건너편 언덕의 아는 각도의 대로 하여 그 정현(正弦)을 1율로 하고 표적의 각도를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현(正弦)을 2율로 하며 또 각도기와 수평심(水平深 : 210척)을 아는 선으로 하여 3율로 하고 4율을 추득하면 된다.

이 된다.
또 비탈의 거리[斜表]를 구하려면 직각을 구하는 각도의 대로 하여 그 정현(正弦)을 2율로 하여 4율을 추득하면 된다.

또 직각의 정현(正弦)을 1율로 하고 표적의 위치도수(43도 37분)의 정할(正割)을 2율로 하며, 또 각도기의 높이 210척을 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.


시냇가에서 우선 섬에 있는 바위의 꼭지점을 측정한 결과 그 비탈 거리는 890.22척분이라 한다. 지금 각도기에서 바위 꼭지점의 표적을 본 결과 51도 51분에 위치하고 있음을 알았다. 이때의 섬 높이와 섬까지의 거리는 각각 얼마인가?
[답] 섬의 높이 : 700척 강(强)
　　 섬의 길이 : 550척 약(弱)
[풀이] 높이를 구하려면 섬의 밑각인 직각을 아는 각도의 대로 하여 그 정현을 1율로 하고 표적의 위치 각도를 구하는 각의 대로 하며 그 정현을 2율로 하고 비탈 거리를 아는 선분으로 하여 3율로 하고 4율을 추득하면 된다.

또, 그 거리를 구하려면 섬의 밑각인 직각을 아는 각도의 대로 하여 그 정현을 1율로 하고 표적의 각도를 상한에서 뺀 나머지인 각(38도 9분)을 섬의 꼭지점의 구하는 각의 대로 하며 그 정현을 2율로 하며 비탈 거리를 아는 선으로 하여 3율로 하면 4율을 추득할 수 있다.

또 높이를 구하려면 표적의 위치 각도의 정할(正割)을 1율로 하고 그 정절을 2율로 하고 비탈 거리를 3율로 하여 4율로 추득하면 된다.
[참고] 正割 : second을 말한다.

또 거리를 구하려면 표적의 위치 각도(51도 51분)의 정할(正割)을 1율로 하고 섬의 밑바닥의 직각도의 정현을 2율로 하며 비탈 거리를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.


강의 나비를 측정하려고 하는데 강의 양쪽 언덕을 계(鍥)로 하고(표적으로 삼고) 그 계에서 직각으로 가로의 길이 150척을 취해서 그곳에서 각도기로 양쪽의 계를 본 결과 그 위치 각도는 60도라고 한다. 이때의 강의 나비는 얼마인가?
[답] 260척 약(弱)
[풀이] 표적의 위치 각도(60도)를 상한에서 뺀 나머지를 건너편 언덕의 아는 각도의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며 또 표적의 위치 각도를 구하는 각의 대로 하며 그 정현을 1율로 하며 또 가로의 길이 150척을 아는 선분으로 하고 그것을 3율로 정하고 4율을 추득하면 된다.

원문에 오자(誤字)를 지적하여 둔다.
‘術曰表度半減象限 …… ’이라고 되어 있는데 ‘表度反減’으로 고쳐야 한다.
또 직각도의 정현을 1율로 하고 표적의 위치 각도의 정절을 2율로 하며 가로의 길이(150척)를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

또 비탈 거리를 구하려면 직각도의 정현을 1율로 하고 표적의 위치 각도의 정할을 2율로 하며 가로의 거리(150척)를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.


깃발이 달린 나무 1주의 높이를 측정하려고 하는데 그 거리를 모르며 각도기를 지평에서 깃발 달린 나무의 꼭지점의 표적을 본 결과 그 위치 각도는 50도였다고 한다. 다시 그곳에서 100척을 뒤로 물러서서 다시 지평에서 그 깃발나무의 표적을 본 결과 40도의 곳에 위치하고 있다고 한다. 이때의 깃발이 달린 나무의 높이는 얼마인가?
[답] 280척 강(强)
[풀이] 우선 앞표적과 뒤표적의 위치 각도의 차(50도에서 40도를 뺀 나머지 각도 10도)를 깃발 나무의 아는 각도의 대로 하고 그 정현을 1율로 하고 뒤표적의 각도(40도)를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현을 2율로 정하고 퇴거한 거리 100척을 아는 선으로 하여 3율로 정한 후에 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 깃발 나무 꼭지점과 앞각도기의 중심 사이의 비탈 거리[斜遠]가 된다. 따라서 깃발 나무의 밑바닥의 직각을 아는 각도의 대로 하고 그 정현(正弦)을 1율로 하며, 앞표적의 위치 각도를 구하는 각의 대로 하며 그 정현을 2율로 하고 비탈 거리를 아는 선으로 하여 3율로 정하여 4율을 추득하면 된다.


또 전후의 표적의 위치 각도의 여절(餘切)을 서로 감하여 그 나머지를 1율로 하고 직각도의 정현(正弦)을 2율로 하며 퇴거한 거리(100척)를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

산 위에서 산의 높이를 측정하려고 한다. 산 앞에 있는 평야(平野)에 2개의 돌[石]이 있고 그 돌과 산꼭지점을 현으로 곧바로 연결하고 두 개의 돌 사이의 거리는 118장(丈)이라 한다. 각도기를 산정(山頂)의 수선(垂線)에 두고서 멀리 있는 돌의 표적을 엿보니 그 위치는 49도였다고 한다. 그리고 가까이 있는 돌의 표적을 엿보니 38도에 위치하고 있다고 한다. 이때의 산의 높이는 얼마나 되겠는가?
[답] 487장(丈) 강(强)
[풀이] 우선 멀리 있는 표적과 가까이 있는 표적의 위치 각도를 서로 뺀 나머지를 산꼭지점의 아는 각도의 대로 하며 그 정현을 1율로 하고 멀리 있는 표적의 위치 각도를 상한에서 뺀 나머지를 아는 각도의 대로 하여 그 정현을 2율로 하고 두 개의 돌의 사이의 거리(180장)를 3율로 하여 4율을 추득한다. 이 4율은 가까이 있는 돌과 산꼭지점 사이의 비탈 거리이다. 그러므로 이 산밑 직각으로 아는 각의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며 가까이 있는 표적의 위치 각도와 상한과의 차를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현을 2율로 하며 비탈 거리를 아는 선으로 하고 그것을 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

△ADB에서 sin 정리를 사용하면,

원문에 오자를 지적하여 둔다. ‘ …… 遠表度半減象限 …… ’은 ‘反減象限’으로 고쳐야 한다.
또 멀리 있는 표적과 가까이 있는 표적의 위치 각도의 정절(正切)을 서로 뺀 나머지를 1율로 하고 직각도의 정현을 2율로 하며, 2개의 돌의 서로 떨어져 있는 거리(180장)를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.


갑, 을, 병의 3개의 섬이 있다. 을의 섬에서 갑과 병의 양 섬의 표적을 엿보았더니 60도의 각도에 놓여 있으며, 병의 섬에서 갑과 을의 양 섬의 표적을 엿보았더니 46도의 각도에 놓여 있다고 한다. 을과 병의 섬의 사이의 거리는 320척이라고 한다. 이때 갑과 병의 양 섬의 사이의 거리와 갑과 을의 섬의 사이의 거리는 각각 얼마나 되는가? 이하 예각
[답] 갑과 병의 양 섬 사이의 거리는 : 288척 강
　　 갑과 을의 양 섬 사이의 거리는 : 239척 강
[풀이] 갑과 병의 양 섬 사이의 거리를 구하려면 갑, 병 양 섬의 표적의 각도(60도)와 갑, 을의 양 섬의 표적의 각도(46도)를 합한(106도)와 반원각(180도)와의 차를 갑의 섬의 아는 각의 대로 하며, 그 각도의 정현을 1율로 하고 을의 섬에서 갑ㆍ병을 엿본 각도(60도)를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현을 2율로 하며 을과 병의 양 섬의 사이의 거리 320척을 3율로 하여 4율을 추득한다.
또 갑과 을의 양 섬 사이의 거리를 구하려면 갑의 각도를 아는 각의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며 병의 섬에서 갑과 을의 양 섬을 엿본 표적의 위치 각도(46도)의 정현을 2율로 하며 을과 병의 양 섬 사이의 거리를 아는 선으로 하여 3율로 한 뒤에 4율을 구하면 된다.

또 갑, 병의 사이의 거리를 구하려면 양 표도의 합의 여절을 1율로 하고 병의 표도의 여할을 2율로 하고 을, 병의 사이의 거리를 3율로 하여 4율을 추측하면 된다.
이 해법은 정확하지 않다. 원문에 ‘兩表度’는 ‘丙表度’라고 고쳐야 한다.
또 갑과 을의 양 섬 사이의 거리를 구하려면 양 표적의 각도의 합(106도)의 여절(餘切)을 1율로 하고 을의 각도의 여할(餘割)을 2율로 하며 을과 병의 양 섬의 거리(320척)를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

[참고] 갑의 각도를 구하려면 삼각형의 내각의 합이 반원각 180도이므로 갑의 각은 180도에서 2개의 내각과 60도 46도를 합한 것을 빼면 된다. 따라서 원문에 ‘倂兩表度 反減半圜餘爲 甲島對知角度 …… ’라고 한 말이 바로 이 사실을 뜻함을 명기하여야 한다.

원문에서 오자가 있는 것을 지적하여 둔다. 즉 ‘甲乙丙三島從乙島窺甲乙丙島表’라고 되어 있는데, 이 부분의 ‘窺甲乙丙島表’를 ‘窺甲丙兩島表’로 고쳐야 한다.

해상에 각도기를 설치하여 갑과 을의 섬을 측정한 결과 갑도까지의 거리는 4,000척이고 을도까지의 거리는 2,610척 8촌이었다고 한다. 그리고 양 섬의 표적의 이루는 각도는 60도라고 한다. 이때의 갑과 을의 양 섬의 이루는 각(갑각과 을각)은 각각 얼마이며 갑과 을의 양 섬 사이의 거리는 얼마나 되는가?
[답]
갑각 : 40도
을각 : 80도
양 섬 사이의 거리 : 3,517척 5촌 강(强)
[풀이] 갑의 각도를 구하려면 갑, 을의 양 섬의 사이의 거리의 합을 1율로 하고 또 양 섬의 거리의 차를 2율로 하며 두 섬의 표적이 이루는 각(60도)와 반원각(120도)과의 차를 이 표적각의 외각이 되고 이 외각의 절반의 정절(正切)을 3율로 하여 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 반교각도(半較角度)의 정절이다. 따라서 4율의 값을 삼각표를 찾아서 반교각(半較角)을 얻고 이 각도와 반외각도(半外角度)를 서로 빼면 된다.



또 을각(乙角)을 구하려면 반교각도(半較角度)와 반외각도(半外角度)를 합하면 된다.
[참고] 여기서 반교각도(半較角度)라고 말함은 삼각형에서 지금 각도기가 위치한 곳을 병이라고 하면 병각이 60도이고 갑각과 을각이 모르는 각이므로 갑각과 을각의 절반의 각의 차를 말한다. 또 반외각도라 함은 병각의 외각 즉 180도에서 병각 60도를 뺀 120도의 반을 말하며 이 외각은 갑각과 을각의 합과 같다.

또 양심의 거리를 구하려면 을의 각도를 아는 각도의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며 표적의 이루는 각(60도)을 구하는 각의 대로 하며 그 정현을 1율로 하고 갑도까지의 거리를 아는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.

원문의 답란에 ‘兩島 …… 五寸弦’이라고 되어 있는데 이것은 ‘弦’ 자를 ‘强’ 자로 고쳐야 한다. 즉 ‘兩島距三千五百一十七尺五寸强’이라고 하여야 한다.

산꼭대기에 각도기를 설치하여 남북(南北)의 양 산봉우리를 엿보니 그 표적의 이루는 각이 50도라고 한다. 이 남쪽 산봉우리와 각도기 사이의 거리는 5,000척이고 복산 산봉우리와 도기 사이의 거리는 7,000척이라고 한다. 이때의 양 산봉우리 사이의 거리는 얼마인가?
[답] 5,385척 강(强)
[풀이] 두 산의 산봉우리의 거리의 합 5,000척과 7,000척의 합인 12,000척을 1율로 하고 또 두 산의 산봉우리까지의 거리의 차 2,000척을 2율로 하며 표적의 각도 50도를 반원각 180도에서 뺀 나머지를 (50도) 외각(外角)도로 하고 그 절반의 정절(正切)을 3율로 하여 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 반교각도(半較角度)의 정절(正切)이다. 이것을 삼각표로 찾아서 반교각도를 얻고 그 결과를 외각의 절반과 서로 뺀 나머지가 곧 북쪽의 산봉우리의 각도가 된다. 따라서 북쪽 산봉우리의 각도를 아는 각도의 대로 하여 그 각도의 정현을 1율로 하고 표각도(表角度) 50도를 구하는 각도의 대로 하며 그 정현을 2율로 하고 또 남봉(南峯)까지의 거리 5,000척을 아는 선으로 하여 3율로 한 뒤에 4율을 추득하면 된다.
또 직각도(直角度)의 정현을 1율로 하고 표각도의 정현을 2율로 하며 남봉까지의 거리를 3율로 하여 4율을 추득하면 4율은 북봉(北峯)을 바라보는 시선(視線)상의 남봉수선(南峯垂線)까지의 거리가 된다. 또 다시 직각도의 정현을 1율로 하고 표각도의 여현을 2율로 하며 남봉까지의 거리를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다. 이 4율을 시선(視線)상의 수선으로 나누어진 적은 쪽의 선분이 된다. 이 결과를 북쪽산까지의 거리 7,000척에서 뺀 나머지는 수선으로 나누어진 큰쪽의 선분이 된다. 이 큰쪽의 선분을 구(勾)로 하고 수선을 고(股)로 하여 현(弦)을 추득하면 된다.
또 남봉까지의 거리 5,000척을 1율로 하고 북봉까지의 거리 7,000척을 2율로 하며 표각도 50도의 여할(餘割)을 3율로 하여 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 남봉각도(南峯角度)의 수선의 나누는 지분(持分)이 된다. 양분각도(兩分角度)의 정절(正切)의 합에서 표각도(50도)의 여절(餘切)을 뺀 나머지는 곧 북봉각도(北峯角度)의 여절(餘切)이 된다. 이 결과를 삼각표에서 찾아보면 곧 북봉각을 얻는다. 이 북봉각을 아는 각도의 대로 해서 그 각의 정현(正弦)을 2율로 하고 표각도를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현을 2율로 하며 남봉까지의 거리를 아는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.

[참고] 원문 중에서 잘못된 것을 적어 보자. ‘術曰 …… 爲二率表角度半減 …… ’과 ‘又南峯遠爲一率 …… 表餘度割爲三率 …… ’로 되어 있는데, ‘半減’은 ‘反減’으로 또 ‘表餘度割爲三率’을 ‘表度餘割爲三率’로 바꾸어야 한다.

갑, 을, 병의 3개의 나무가 있다. 을의 나무에서 갑과 병의 나무의 표적을 보니 표도는 24도였다고 한다. (즉 을에서 갑을 바라본 직선과 을에서 병을 바라본 직선을 이루는 각도가 24도라는 말이다) 또 병의 나무에서 갑과 을의 나무를 바라보고 두 직선이 이루는 각도는 36도 30분이라고 한다. 그리고 을과 병의 나무 사이의 거리는 720척이라고 한다. 이때 갑과 병의 나무 사이의 거리와 갑과 을의 나무 사이의 거리는 각각 얼마나 되는가? (이하 예각)
[답] 갑과 을 사이의 거리 : 492척 강(强)
갑과 병 사이의 거리 : 336척 강(强)
[풀이] 갑과 을의 사이의 거리를 구하려면 갑과 병이 이루는 표각 24도와 갑과 을이 이루는 표각 36도 30분을 합하여 반원각(삼각형의 내각의 합인 180도)에서 뺀 나머지의 각을 갑각의 아는 각도의 대로 하고 다시 갑각이 둔각(鈍角)이므로 이 각과 반원각(半圓角)과의 차를 둔외각도(鈍外角度)로 둔각은 정현이 없으므로 이 외각 정현(外角正弦)을 둔각 정현으로 한다. 하여 그 정현을 1율로 한다. 그리고 병의 나무에서의 표각도(表角度) 30°30′을 구하는 각도의 대로 삼고 그 정현을 2율로 하며 을과 병의 사이의 거리를 아는 선으로 하여 3율로 한다. 그리고 4율을 추득하면 된다.

원문의 오자를 지적하여 둔다. ‘術曰 …… 反減半圜餘爲甲島對知角度 …… ’라고 되어 있는데 ‘爲甲鳥’는 ‘爲甲角’의 오자임을 명기하여 둔다.
갑과 병의 나무 사이의 거리를 구하려면 갑의 외각도를 아는 각도의 대로 하여 그 정현을 1율로 하며 을에서의 표적각[表角] 24도를 구하는 각의 대로 하여 그 정현을 2율로 하고 을과 병의 나무 사이의 거리 720척을 아는 선으로 하여 3율로 한다. 그리하여 4율을 추득한다.

또 갑과 을의 사이의 거리를 구하려면 양 표각 24도와 36도 30분을 서로 합한 각도의 여절(餘切)을 1율로 하고 을표각 24도의 여할(餘割)을 2율로 하며 을과 병의 거리 720척을 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

또 갑과 병의 사이의 거리를 구하려면 양표각 24도와 36도 30분을 합한 60°30′의 여절(餘切)을 1율로 하고 병의 표각 36도 30분의 여할(餘割)을 2율로 하고 을과 병의 사이의 거리를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

원문에 오자를 지적하여 둔다. ‘즉 又求甲乙距 …… 乙表餘割 爲二率 …… ’이라고 되어 있는데 이 중에서 ‘乙表餘割’은 ‘乙表度餘割’이라고 하여야 한다. 즉 ‘表’ 자 다음에 ‘度’ 자를 삽입하여야 한다.

들 가운데 각도기를 설치하여 동쪽과 서쪽의 2개의 나무를 측정하려고 한다. 동쪽 나무의 거리는 540보(步)이고 서쪽 나무의 거리는 360보였다고 한다. 그리고 동, 서 나무의 표적각(表的角) 119°34′이라고 한다. 동, 서 두 나무 사이의 거리와 동쪽 나무에서 서쪽 나무를 바라본 선과 각도기의 위치한 사이의 이루는 각과 서쪽 나무에서 동쪽 나무를 바라본 선과 각도기를 바라본 선 사이의 이루는 각을 각각 구하여라.
[답] 동수각(東樹角) : 23°34′20″
　　 서수각(西樹角) : 36°51′40″
　　 동(東), 서(西)의 두 나무 사이의 거리 : 783보 약(弱)
[풀이] 동수각을 구하려면 동쪽 나무와 각도기 사이의 거리 540보와 서쪽 나무와 각도기 사이의 거리 360보를 서로 합한 거리를 1율로 하고 또 이 두 개의 거리를 서로 뺀 나머지를 2율로 하고, 표각 119°34′의 외각도(180도에서 119°34′을 뺀 나머지의 각도)의 절반의 정절(正切)을 3율로 하여 추득한다. 이와 같이 하여 구한 4율은 반교각도(半較角度)의 정절(正切)이고 이와 같이 하여 얻은 결과를 삼각표를 찾아서 각도를 얻으면 그것이 반교각도가 된다. 이 반교각도에서 반외각도(半外角度)를 빼면 된다.
또 서수각(西樹角)을 구하려면 반교각도(半較角度)와 외각도(外角度)를 합하면 된다.
지금 두 나무 사이의 거리를 구하려면 서수각도로서 아는 각도의 대로 하고 그 서수각도의 정현을 1율로 하고 주어진 표각(119°34′)의 외각(外角)을 구하는 각도의 대로 하여 그것의 정현(正弦)을 2율로 하고 동쪽의 나무와 각도기의 사이의 거리(540보)를 아는 선으로 하여 3율로 하고 4율을 추득하면 된다.

하천(河川)가에 동쪽 서쪽의 2개의 여울이 있다. 하천(河川) 건너편에 있는 인가(人家)의 거리를 측정하려고 한다. 각도기를 동쪽 여울에 설치하여 서쪽 여울에서 인가를 비탈로 엿보니 그 표각(表角)이 110도에 위치하고 있다고 한다. 또 각도기를 서쪽 여울에 설치하여 동쪽 여울에서 인가를 비탈로 엿보니[斜窺] 그 표각이 40도에 위치하고 있다고 한다. 양 여울의 사이의 길이는 120척이라고 한다. 이때의 인가와 동쪽 여울 사이의 거리는 얼마나 되겠는가?
[답] 154척 강(强)
[풀이] 2개의 표각 110도와 40도를 합한 각도(150도)를 반원각(180도)에서 뺀 나머지의 각을 아는 각의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며, 서쪽 표각(110도)을 구하는 각의 대로 하고 그 정현을 2율로 하며 양쪽의 여울의 사이의 거리를 아는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득한다.


또 동쪽의 표각(40도)의 외각(外角)의 여절(餘切)과 서쪽의 표각(110도)의 여절을 서로 뺀 나머지를 1율로 하고, 동쪽의 표각의 외각도(外角度)의 여할(餘割)을 2율로 하고 양쪽의 여울의 사이의 거리(12척)를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

산밑에 좌(左) 우(右)의 2개의 기슭이 있다. 지금 산의 높이로 측정하려고 한다. 각도기를 좌측(左側)의 기슭에 설치하여 우측의 기슭에서 산꼭지점을 비탈로 엿보니 그 표각이 86도 53분에 위치하고 있다고 한다. 또 우측(右側)의 산기슭에 각도기를 설치하여 좌측의 기슭[左麓]에서 산꼭지점을 비탈로 엿보니 표각이 78도 7분이라고 한다. 지금 좌록(左麓) 지평면(地平面)에서 산꼭대기를 바로 측정하니 51도였다고 한다. 이때의 양 산기슭의 거리는 1,000척이라 한다. 이때의 산 높이를 구하여라. 이 문제 이하는 여러 가지의 측량법 즉 잡측(雜測)을 생각해 본다.
[참고] 원문에 오자와 누락된 것을 적어 넣어 두려고 한다.

‘ …… 置儀左麓 斜窺山頂表在 …… ’라고 되어 있는데 이 문제에서 분명히 ‘置儀左麓 從右麓 斜窺山頂表在 …… ’와 같이 ‘從右麓’이라는 말을 ‘斜窺山頂 …… ’의 앞에 삽입하여야 한다. 그리고 ‘ …… 正測山頂 表在 五十一角 …… ’이라고 되어 있는데 ‘角’ 자를 ‘度’ 자로 고치든가 또 ‘角’ 자 다음에 ‘度’를 삽입하든가 하여야 한다.
[답] 2,938 강(强)
[풀이] 우선 두 개의 산꼭대기를 바라본 표각(86도 53분과 78도 7분)을 합한 각과 반원각의 차를 아는 각의 대로 하여 그 정현을 1율로 하고, 우록(右麓)에서 산정(山頂)을 바라본 표각(78도 7분)을 구하는 각도의 대로 하고 그 정현(正弦)을 2율로 하며 양쪽의 산기슭의 사이의 거리를 아는 선으로 하고 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 산정(山頂)과 좌록(左麓) 사이의 비탈 거리가 된다. 따라서 산밑에서의 직각도를 아는 각도의 대로 하고 그 정현을 1율로 하여 좌록(左麓) 지평선에서 산정을 바로 측정한 각도(51도)를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현을 2율로 하고 위에서 구한 비탈 거리를 아는 선으로 하여 4율을 추득하면 된다.


산 높이를 측정하려고 한다. 그런데 지평면을 얻지 못하여 먼저 윗두들에(위쪽에 있는 언덕) 지평면을 가상(假想)하여 정한 후 각도기로 산꼭지점을 엿보니 표각이 40도였다고 한다(가정한 지평면과 산꼭지점 사이의 각이 40도라는 말이다). 그곳에서 1,000척을 물러서서 아래쪽 언덕에 다시 지평면을 가상하여 정한 후에 각도기로 산꼭지점을 엿보니 표각이 35도에 위치한다고 한다. 그리고 위쪽의 언덕은 각도기의 중심에서 엿보니 표각이 13도에 위치하고 있다고 한다. 이때의 산꼭지점과 아래쪽 언덕 사이의 높이는 얼마나 되는가?
[답] 2,988척 약(弱)
[풀이] 우선 상(上) 하(下)의 언덕의 표각도(40도와 35도)로 서로 뺀 나머지 각도(5도)를 아는 각도의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며 위쪽의 언덕의 표각도에서 아래 언덕으로부터 위쪽의 언덕과 각도기의 중심을 연결한 표각(13도)을 뺀 나머지를 구하려는 각도의 대로 하여 그 정현(正弦)을 2율로 하며 퇴거한 거리(1,000척)를 아는 선으로 하여 8율로 하며 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 산꼭지점과 아래 언덕의 각도기의 중심 사이의 비탈 거리[斜遠]다. 따라서 이 산밑에서의 직각도를 아는 각의 대로 하여 그 정현을 1율로 하고 아래 언덕의 표각도(35도)를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현을 1율로 하며 앞에서 구한 바 있는 비탈 거리를 아는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.
[참고] 원문에서 누락된 것을 지적하여 둔다. 즉 ‘術曰 …… 爲二率退距爲所線三率’로 되어 있는데 여기서 ‘爲所知線三率’이라고 고쳐야 한다. 즉 ‘所’ 자 다음에 ‘知’ 자를 삽입하여야 한다.

성(城)을 바라보며 각도기를 설치하여 성의 나비를 측정하려고 한다. 지금 각도기와 성의 남쪽 모퉁이 사이의 거리는 900장이며 각도기와 성의 북쪽의 모퉁이[隴] 사이의 거리는 1,200장이라고 한다. 각도기로 남쪽 모퉁이에서 북쪽의 모퉁이를 엿보니 그 표각이 120도에 위치하였다고 한다. 이때의 성의 나비는 얼마가 되겠는가?
[답] 1,825장(丈) 약(弱)
[풀이] 주어진 양 모퉁이의 거리(900장과 1,200장)를 서로 합하여 1율로 하고 또 양 모퉁이의 거리를 서로 빼서 그 나머지를 2율로 하며, 표각 120도의 외각(外角)의 절반각의 정절(正切)을 3율로 하여 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 반교각도(半較角度)의 정절(正切)이며 이 결과를 삼각표를 찾아서 각도를 얻는다. 이 각도에서 외각도(外角度)의 반을 뺀 나머지가 북쪽 모퉁이에서의 소각도(小角度)가 된다. 따라서 이 소각도(小角度)를 아는 각도의 대로 하며 그 정현을 1율로 하고 표각(120도)의 외각도를 구하는 각도의 대로 하고 그 정현을 2율로 하며 성과 남쪽 모퉁이 사이의 거리를 아는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.
또 직각도의 정현을 1율로 하고 표각(120도)의 외각도의 정현을 2율로 하며 남쪽의 모퉁이까지의 거리(900장)를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 남쪽 모퉁이의 삼각형 밖에 있는 형외수선(形外垂線)이다.
또 이 직각도의 정현을 1율로 하고 표각의 외각도의 여현(餘弦)을 2율로 하며 남쪽 모퉁이까지의 거리(900장)을 3율로 하여 4율을 추득한다. 이때의 4율은 북쪽 모퉁이를 바라보는 시선(視線)이고 각도기의 중심과 수선을 서로 연결하면 직각의 허변선(虛邊線)을 이루며 이 허변선에 북쪽 모퉁이의 거리(1,200장)를 합하면 그것이 북쪽 모퉁이를 바라보는 시선(視線)의 길이가 되며 이 길이에 허변(虛邊)의 총 길이를 합한 총 길이를 고(股)로 하고 수선을 구(勾)로 하여 현(弦)을 추득하면 된다. 또 남쪽 모퉁이 사이의 거리를 1율로 하고 북쪽 모퉁이의 거리를 2율로 하며 표각의 외각도의 여할(餘割)을 율로 하여 4율을 추득하면 된다.
이 4율은 남쪽 모퉁이의 수선이고 이 수선으로 인하여 나누어지는 2개의 분각(分角)의 정절(正切)의 교(較)와 표각의 외각의 여절을 서로 합하여 북쪽 모퉁이의 각도의 여절(餘切)로 한다. 따라서 이 결과를 삼각표로 찾아서 각도를 얻고 이 각도가 북쪽 모퉁이의 각도가 된다. 따라서 이 북쪽 모퉁이의 각도를 아는 각도의 대로 하며 그 정현을 1율로 하고 표각의 외각도를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현 2율로 하며 남쪽 모퉁이의 거리를 아는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.
[참고] 원문의 문제 중에 오자가 있으므로 지적하여 둔다. ‘望遠 …… 儀距城南 隅九百丈 距城比隅 …… ’라고 되어 있는데 이 문장 중에서 ‘比隅’는 ‘北隅’의 오자로 생각된다. 즉 ‘比’를 ‘北’ 자로 바꾸어야 한다.

성루(城樓)에 각도기를 설치하여 성밖에 있는 2개의 돈대(즉 평지에 흙을 모아 둔 곳)를 측정하려고 한다. 누각의 위에서 성의 선[城線]을 따라서 오른쪽 돈대를 바라보니 그 표각이 90도이고 왼쪽 돈대를 바라보니 30도라고 한다. 그리고 성의 누각 좌측으로 130장의 성위에 각도기를 설치하여 역시 성의 선을 따라서 좌측 돈대로 엿보니 표각이 110도의 위치에 있고 우측(右側)의 돈대를 엿보니 표각이 45도였다고 한다. 이때의 누각과 양 돈대 사이의 거리는 각각 얼마이며 양 돈대 사이의 거리는 얼마인가?
[답] 누각과 우측 돈대 사이의 거리는 : 130장(丈)
　　 누각과 좌측 돈대 사이의 거리 : 231장(丈) 약(弱)
　　 양 돈대 사이의 거리 : 193장(丈) 강(强)
[풀이] 누각과 우측의 돈대 사이의 거리를 구하려면 성위에 있는 각도기에서 우측 돈대를 엿본 표각도(45도)와 상한과의 차인 각(45도)을 우돈각(右墩角)으로 하며 3개의 시선(視線)이 이루는 내분각도(內分角度)를 아는 각의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며 성상에서 우측의 돈대로 바라본 표각을 구하는 각도의 대로 하며 그 정현을 2율로 하고 양 각도기 사이의 거리 130장(丈)을 아는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.
또 누각과 좌측의 돈대 사이의 거리를 구하려면 2개의 각도기의 좌측 돈대를 바라본 2개의 표각의 합(38도와 110도를 합한 각인 148도)과 반원각(180도)과의 차인 각이 곧 좌돈각(左墩角)이고 3개의 시선(視線)이 이루는 내분각도(內分角度)를 아는 각의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며 성상에서 좌돈대를 엿본 표각(110도)을 구하는 각의 대로 하며 그 외각의 정현을 2율로 하며 2개의 각도기의 사이의 거리(130장)를 아는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득한다.
또 양 돈대의 거리를 구하려면 누각과 양 돈대 사이의 거리(위에서 구한 바 있음)의 합을 1율로 하고 또 양 돈대 사이의 거리의 차를 2율로 하며 누각 위의 각도기와 좌우의 양 돈대와의 표각(90도와 38도)의 차를 누의각(樓儀角)으로 하고 3개의 시선(視線)이 이루는 외분각도(外分角度)와 반원각(180도)과의 차를 외각도(外角度)로 하며 이 외각도의 절반의 정절(正切)을 3율로 하고 4율을 추득한다. 이 4율은 반교각도(半較角度)의 정절(正切)이고 이 결과를 삼각표를 찾아서 각도를 얻는다. 이 각도와 반외각도(半外角度)의 차가 곧 좌돈각(左墩角)이 된다. 3개의 시선의 이루는 외분각도를 아는 각도의 대로 하고 그 정현을 1율로 하여 앞에서 구한 바 있는 누의각(樓儀角)의 외분각도(外分角度)를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현(正弦)을 2율로 하며 누각과 우측의 돈대의 사이의 거리(앞에서 구한 바 있는 값)를 아는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.

강의 건너편에 쌍탑(雙塔)이 있다. 두 개의 각도기를 가지고 이것을 측정하려고 한다. 오른쪽 각도기로 좌측 각도기를 기준으로 남쪽의 탑을 바라보니 표각이 107도에 위치한다고 한다. 북쪽의 탑을 엿보니 그 표각이 46도에 위치한다고 한다. 양쪽의 탑의 시선(視線)의 각도는 61도라고 한다. 좌측의 각도에서 오른쪽 각도기를 기준으로 북쪽 탑을 엿보니 그 표각이 99도라고 한다. 그리고 남쪽의 탑을 엿보니 그 표각이 50도에 위치하고 있다고 한다. 그리고 여기서 양 탑의 시선각(視線角)은 49도라고 한다. 또 2개의 각도기의 사이의 거리는 100장(丈)이라고 하니, 이때의 양 탑과 왼쪽의 각도기 사이의 거리와 양 탑 사이의 거리는 얼마나 되는가?
[답] 북쪽 탑과 왼쪽 각도기와의 사이의 거리 : 125장(丈) 강(强)
　　 남쪽 탑과 왼쪽 각도기와의 사이의 거리 : 245장(丈) 약(弱)
　　 양쪽의 탑 사이의 거리 : 188장(丈) 강(强)
[풀이] 북쪽의 탑과 왼쪽 각도기 사이의 거리를 구하려면 양 각도기의 북쪽의 탑을 엿본 표각도(46도와 99도)를 합한 각(145도)을 반원각(180도)에서 뺀 나머지 각을 아는 각의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며 오른쪽 각도기에서 북쪽의 탑을 엿본 표각(46도)을 구하는 각도의 대로 하고 그 정현을 2율로 하며 양쪽의 각도기의 사이의 거리 100장(丈)을 아는 선으로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득한다. 남쪽의 탑과 왼쪽의 각도기 사이의 거리를 구하려면 양 각도기에서 남쪽의 탑을 엿본 표각의 합을 107도와 50도와의 합인 각인 157 반원각인(180도)에서 뺀 나머지를 아는 각의 대로 하고 그 정현을 1율로 하고 오른쪽 각도기에서 남쪽의 탑을 엿본 표각(107도)을 구하는 각의 대로 하고 그 외각도(外角度)의 정현을 2율로 하며 양쪽의 각도기의 사이의 거리(1,000척)를 아는 선으로 하여 3율로 정한 후에 4율을 추득하면 된다.
양 탑의 사이의 거리를 구하려면 양 탑과 각도기 사이의 거리(위에서 구한 바 있음 125장과 245장)의 합을 1율로 하고 또 양 탑과 각도기 사이의 거리의 차를 2율로 하며 좌측의 각도기에서 양 탑을 바라본 시선각(49도)의 반외각도(半外角度)의 정절(正切)을 3율로 하여 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 반교각도(半較角度)의 정절이며 이 결과를 삼각표로 찾아서 각도를 얻고 이 각도를 반외각도에서 뺀 나머지는 곧 남쪽 탑의 각 즉 남탑각(南塔角)이 된다. 3개의 시선이 이루는 외분각도(外分角度)를 아는 각도의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며 왼쪽의 각도기의 양탑의 시선각도(49도)를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현을 2율로 하고 북쪽 탑과 좌측 각도기의 사이의 거리(앞에서 구한 바 있음) 125장 강을 아는 선으로 하여 3율로 하고 4율을 추득하면 된다.
또 양쪽 탑의 사이의 거리를 구하려면 직각도를 아는 각도의 대로 하고 그 정현을 1율로 하고 좌측의 각도기에서 양쪽의 탑을 바라본 시선 각도를 구하는 각도의 대로 하며 그 정현을 2율로 하며 북쪽탑에서 각도기까지의 거리(앞에서 구하는 바 있음)를 아는 선으로 하여 3율로 하고 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 왼쪽 각도기에서 남쪽 탑의 시선상에서 북쪽 탑의 수선(垂線) 사이의 거리다. 따라서 이 수선으로 나누어지는 직각도(直角度)를 아는 각도의 대로 하고 그 정현을 1율로 하며 왼쪽의 각도기에서 양 탑의 시선각도와 상한과의 차를 구하는 각도의 대로 하여 그 정현을 2율로 하며 북쪽의 탑과 좌측의 각도기 사이의 거리를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 좌측의 각도기와 수선 직각 분변(分邊)된 소선 사이의 거리다. 그리고 소선(小線)을 남쪽의 탑과 좌측 각도기 사이의 거리에서 뺀 나머지를 남쪽 탑과 수선직각에 의하여 분변된 대선과의 사이의 거리로 한다. 따라서 이 큰쪽의 선(대변선(大邊線))을 고(股)로 하고 수선을 구(勾)로 하며 현(弦)을 추득하면 된다.

18. 부(附) 방의(方儀)

박달나무[杆]와 높이를 측정하려고 한다. 그 나무에서 30척인 곳 평지(平地)에 각도기를 세우고 나무의 꼭대기를 바라보니 표적은 변선(邊線)에 따라서 800분(分)에 위치하고 있다. 이때의 나무의 높이는 얼마나 되겠는가?
[답] 24척
[풀이] 방의(方儀) 1,000분을 1율로 하고 표적의 분도 800분을 2율로 하며 그 나무와의 거리 30척을 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

멀리 있는 나무의 거리를 측정하려고 한다. 나무에 대해서 표적(標的)을 세워서 표적으로부터 짧은 선[短線]을 가로로 취하여 평지에 방의(方儀)를 눕혀서 표적에 따라서 나무가 서 있는 곳을 엿보니 그 표분(表分)은 가로의 변선의 600분에 위치하였다고 한다. 방의(方儀)와 표적(標的)과의 사이의 거리는 150척이라고 한다. 이때의 나무까지의 거리는 얼마인가?

[참고] 원문에서 누락된 것을 지적하여 둔다. ‘ …… 問樹幾何’라고 되어 있는데, 이것은 ‘ …… 問樹遠幾何’라고 고쳐야 한다. 즉 ‘樹’ 자 다음에 ‘遠’ 자를 삽입하여야 한다.

[답] 250척
[풀이] 표분(表分)(600분)을 1율로 하고 방의 분(方儀分)(1,000분)을 2율로 하고 방의(方儀)와 표적(標的)과의 사이의 거리(150척)를 3율로 하여 4율을 추득한다.

원문에서 오자를 지적하여 둔다. 즉 ‘術曰 …… 儀表距爲三率’이라고 되어 있는데 이것을 ‘儀標距爲三率’이라고 하여야 한다. 다시 말하면 ‘表’ 자를 ‘標’ 자로 바꾸어야 한다.

멀리 있는 산 높이를 측정하려고 한다. 그 거리를 모르며 따라서 평지에 방의(方儀)를 설치하여 우선 산꼭지점을 엿보니 표분(表分)은 세로 변선상의 800분에 위치하고 있다고 한다. 그곳에서 다시 뒤로 90척을 물러서서 또다시 산꼭지점을 엿보니 표분은 세로 변선 640분에 위치한다고 한다. 이때의 산 높이는 얼마인가? 이 문제 이하는 모두 한 표적을 두 번 이상 측정하는 문제들이다.
[답] 288척
[풀이] 먼저 시행한 표분(800분)을 1율로 하고 방의(方儀)분(1,000분)을 2율로 하여 뒤의 시행한 표분(640분)을 3율로 하여 4율을 추득하면 된다. 이때의 4율을 방의분(1,000분)에서 뺀 나머지를 1율로 하고 뒤의 표분(640분)을 2율로 하고 퇴거한 거리(90척)을 3율로 하여 4율을 추득한다.


멀리 있는 분수대[汛臺]를 측정하려고 한다. 그 높이는 알 수 없으며 평지에 방의를 설치하고 먼저 분수대의 꼭지점을 엿보니 표분이 세로변의 선상의 250분에 위치하고 있다고 한다. 그곳에서 뒤로 25척을 물러서서 다시 분수대의 꼭대기를 엿보니 표분이 세로변상의 248분에 위치하고 있다고 한다. 이때의 분수대와 앞에 있는 방의(方儀) 사이의 거리는 얼마인가?

[참고] 원문에 오자가 있으므로 이것을 지적하여 다음 교정에 편리를 줄까 한다. 즉 ‘問杆距前儀幾何’라고 되어 있는데 이것을 다음과 같이 고쳐야 한다. ‘ …… 問臺距前儀幾何’라고 하여야 한다. 다시 말하면 ‘杆’ 자를 ‘臺’ 자로 고쳐야 한다.

[답] 3,100척
[풀이] 먼저 한 표분(250분)을 1율로 하고 방의분(1,000분)을 2율로 하며 뒤에 한 표분(248분)을 3율로 하여 4율을 추측하면 된다. 이 4율을 방의분 1,000분에 뺀 나머지 즉 1율로 하고 앞에 구한 4율을 2율로 하고 퇴거한 거리 25척을 3율로 하여 4율을 추득하면 구하려는 값을 얻는다.

원문의 답에서 3,101, 2촌 5푼이라고 되어 있는데, 이것은 3,100척으로서 1척 2촌 5푼은 삭제되어야 한다.

멀리 있는 돌을 측정하려고 한다. 2개의 방의(方儀)를 눕혀서 설치하고 그 사이의 거리는 10보(步)라고 한다. 우측의 방의에서 좌측의 방의를 기준으로서 돌을 엿보니 그 표분이 좌측으로 가로변의 10분에 위치하고 있다고 한다. 좌측의 방의에서 오른쪽의 방의를 기준으로서 돌을 엿보니 표분이 오른쪽의 가로변의 20분에 위치하였다고 한다. 두 개의 표사는 1,000분이라고 한다. 이때의 돌과 오른쪽의 방의 사이의 거리와 돌과 왼쪽의 방의 사이의 거리는 각각 얼마인가?
[답] 오른쪽 방의와 돌 사이의 거리 : 333보 강(强)
　　 왼쪽 방의와 돌 사이의 거리 : 333보 강(强)
[풀이] 오른쪽의 방의(方儀)와 돌 사이의 거리를 구하려면 양 표분의 합(10분과 20분)의 합인 (30분)을 1율로 하고 표사분(表斜分)(1,000분)을 2율로 하며 2개의 방의(方儀)의 사이의 거리 10보를 3율로 하여 4율을 추측하면 된다. 왼쪽 방의와 돌 사이의 거리를 구하려면 2개의 표분을 합한 (30분)을 1율로 하고 표사분(表斜分)(1,000분)을 2율로 하며 양쪽의 방의 사이의 거리 10보를 3율로 하여 4율을 추측하면 된다.

[참고] 이 문제에서 누락된 것을 지적한다. 즉 표사(表斜) 1,000분을 삽입하여야 한다. 다시 말하면 ‘問石距 …… 各幾何’의 앞에 ‘兩表斜一千步’라고 삽입하여야 한다.

멀리 있는 나무를 측정하려고 한다. 2개의 방의를 눕혀서 설치하였다. 그 사이의 거리는 10척이다. 갑의 방의에서 을의 방의(方儀)를 기준으로 하여 나무를 엿보니 왼쪽으로 가로변의 970분에 위치하고 있다고 한다. 이때의 표사는 5,390,910이다. 을의 방의에서 갑의 방의를 기준으로 나무를 엿보니 왼쪽으로 가로변의 965분에 위치하고 있다고 한다. 이 표사는 5,377,365이다. 이때의 나무와 갑, 을의 방의 사이의 거리는 각각 얼마인가?
[답] 갑의 방의와 나무 사이의 거리 : 2,786 강(强)
　　 을의 방의와 나무 사이의 거리 : 2,779 강(强)
[풀이] 갑의 방의와 나무 사이의 거리를 구하려면 양 표분의 합 970분과 965분을 합한 1,935분을 1율로 하고 표사분(表斜分)을 2율로 하며 양 방의의 사이의 거리(10척)를 3율로 하여 4율을 추득하면 된다.

을의 방의와 나무 사이의 거리를 구하려면 양쪽의 표분의 합을 1율로 하고 표사분을 2율로 하며 양쪽의 방의 사이의 거리를 3율로 하여 4율을 추측하면 된다.

[참고] 원문에서 오자가 있으므로 이것을 지적하여 둔다. 즉 원문에 ‘術曰求距右儀則 …… ’이라고 되어 있는데 여기서 ‘右儀’는 ‘甲儀’라고 바꾸어야 하며 즉 ‘右’ 자를 ‘甲’ 자로 바꾸어야 하며 또 ‘求距左儀則 …… ’이라고 원문에 되어 있는데 여기서 ‘左儀’는 ‘乙儀’로 바꾸어야 한다.

이 문제의 원문에서 누락된 것을 지적하여 둔다. 즉 ‘ …… 九百七十分乙儀 …… ’라고 되어 있는데 ‘乙儀’ 앞에 ‘表斜 5,390,910분’이라고 삽입하여야 하며 또 ‘ …… 九百六十五分問樹距 …… ’라고 되어 있는데 ‘問’ 자 앞에 ‘表斜 5,377,365’라고 삽입하여야 한다.

멀리 있는 인가(人家)를 측정하려고 한다. 2개의 방의를 눕혀서 설치하고 그 사이의 거리는 300척이라고 한다. 서쪽의 방의에서 동쪽의 방의를 기준으로 하여 인가를 엿보니 표분이 오른쪽 세로변의 540분에 위치하고 있으며, 표사(表斜)는 1,136분이라고 한다. 또 동쪽의 방의에서 서쪽의 방의선을 기준으로 인가를 엿보아 표분을 살피니 변선(邊線)을 취하지 못하여 서쪽 표분의 길이로서 내선분(內線分)을 측정하였다. 그 표분이 오른쪽으로 세로 내선(內線) 600분에 위치하여 그 표사(表斜)는 806분이라고 한다. 이때의 인가(人家)와 서쪽, 동쪽의 방의 사이의 거리를 각각 구하여라.
[답] 서쪽의 방의와 인가 사이의 거리 : 852척
　　 동쪽의 방의와 인가 사이의 거리 : 604척 5촌
[풀이] 지금 서쪽의 방의와 인가의 사이의 거리를 구하려면 동표내선분(東表內線分) (600)을 방의분 (1,000분)에서 뺀 나머지 (400분)을 1율로 하고 서쪽의 표사분 (1,136분)을 2율로 하며 양쪽의 방의의 사이의 거리 (300척)을 3율로 하여 4율을 추측하면 된다.

동쪽의 방의에서 인가 사이의 거리를 구하려면 도표내선분(600분)을 방의(1,000분)에서 뺀 나머지(400분)을 1율로 하고 동쪽의 표사분 806분을 2율로 하며 양방의 사이의 거리 300을 3율로 하여 4율을 추측하면 된다.

19. 구의(矩儀)

지금 언덕의 높이를 측정하려고 한다. 언덕과 각도기 사이의 거리는 36척이며 표적은 구(勾) 320분에 있다고 하면 그 언덕의 높이는 얼마나 되는가? 유원구고(有遠求高)의 방법으로 풀면 된다.
[답] 112척 반
[풀이] 표분을 소구(小勾)로 하며 1율로 하고 의분(儀分)(1,000분)을 2율로 하고 언덕과 각도기 사이의 거리(36척)를 대구(大勾)로 하여 3율로 하고 4율을 추득하면 된다.

대나무의 높이를 측정하려고 한다. 그 대나무와 각도기와의 거리는 80장(丈)이고 표적은 고(股)쪽으로 370분에 위치한다고 한다. 이때의 대나무의 높이를 구하여라.
[답] 29장 6척
[풀이] 의분(1,000분)을 소구(小勾)로 하여 1율로 하고 표분 370분을 소고(小股)로 하여 2율로 하며 대나무와 각도기 사이의 거리(80장)를 대구(大勾)로 하여 3율로 하며 4율을 추측하면 된다.

원문에서 오자가 있으므로 여기서 지적하여 둔다.
‘術曰 …… 表分爲小股三率 …… ’라고 되어 있는데 ‘小股二率’이라 고쳐야 한다. 즉 ‘三’ 자를 ‘二’ 자로 바꾸어야 한다.

탑의 높이를 측정하려고 한다. 탑에서 각도기의 사이의 거리는 40보라고 하고, 표적이 구고(勾股)의 서로 만나는 곳에 있다고 한다. 이 탑의 높이는 얼마인가?
[답] 40보(步)
[풀이] 표적이 구고(勾股)의 만나는 곳에 있으니 구와 고는 같다.

산의 높이를 측정하려고 한다. 먼저 표적을 측정하니 구(勾)의 방향으로 240분에 위치하고 있으며 그곳에서 30척을 뒤로 물러서서 다시 표적을 측정하니 구(勾)의 방향으로 320분에 위치하고 있다고 한다. 산의 높이는 얼마인가? 무원구고(無遠求高)의 법으로 풀면 된다.
[답] 375척
[풀이] 2개의 표분의 차(320분과 240분의 차인 80분)를 소구(小勾)로 하고 1율로 정하며 의분(1,000분)을 소고(小股)로 하여 2율로 하며 퇴거한 거리(30척)를 대구(大勾)로 하여 3율로 정하여 4율을 추측하면 된다.


구름[雲]의 높이를 측정하려고 하는데 앞에서 표적을 측정하니 고(股)의 방향으로 850분의 위치에 있고 그곳에서 뒤로 300보를 물러서서 다시 표적을 측정하니 고(股)의 방향으로 800분의 위치에 있다고 한다.
이때의 구름의 높이를 구하여라.
[답] 4,080보
[풀이] 적은 표분(800분)을 1율로 하고 표분의 차(850분과 800의 차인 50분을 3율로 하여 4율을 추측한다. 4율은 62분 반이 된다. 이 62분 반을 소구(小勾)로 하고 1율로 하며 많은 표분(850분)을 소고(小股)로 하여 2율로 하고 퇴거한 거리(300보)를 대구(大勾)로 하여 3율로 하며 4율을 추득하면 된다.

원문 중에서 오자가 있으므로 지적하여 둔다. ‘術曰 …… 推得四率六十一分半爲小勾 …… ’라고 되어 있는데, 여기서 ‘六十二分半’으로 고쳐야 한다. 즉 ‘一’ 자를 ‘二’ 자로 바꾸어야 한다.

섬의 높이를 측정하려고 한다. 앞에서 표적을 측정하니 구(勾)의 방향으로 985분에 위치하고 있으며, 그곳에서 뒤로 150척인 곳에 물러서서 다시 표적을 측정한 결과 고(股)의 방향으로 995분인 곳에 위치하고 있다고 한다. 이때의 섬의 높이는 얼마인가?

[풀이] 고의 표분(995분)을 1율로 하고 의분(1,000분)을 2율로 하며 고의 여분(의분인 1,000분에서 고의 표분(表分) 995분을 뺀 나머지인 5분)을 3율로 하고 4율을 추득하면 된다(이 4율을 구하면 25척 25/995분인데 분수 부분을 약분하면 5/199분이 된다). 이 4율과 구의 여분(의분인 1,000분에서 구의 985분을 뺀 나머지인 15분)을 합한 {20과5/199}분을 소구(小勾)로 하고 의분(1,000분)을 소고(小股)로 하며 퇴거한 거리를 대구(大勾)로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.

멀리 있는 강의 언덕을 측정하려고 한다. 지금 각도기를 섬의 위에 설치하고 있으며 물의 수평에서 각도기까지의 거리는 60척이라 한다. 표적은 고(股)의 방향으로 300분의 위치에 있다고 한다. 이때의 언덕까지의 거리는 얼마나 되겠는가? 유심구원(有深求遠)의 법으로 풀면 된다
[답] 200척
[풀이] 고의 방향으로 있는 표분 300분을 소고(小股)로 하고 1율로 정하며 의분(儀分)(1,000분)을 소구(小勾)로 하여 2율로 정하고 각도기의 높이 60척을 대고(大股)로 하여 3율로 한 후에 4율을 추득하면 된다.


우물의 깊이를 측정하려고 한다. 그 우물의 평경(平徑)(지름)은 12척이고 그 표적은 구(勾)의 방향으로 500분의 위치에 놓여 있다고 한다. 우물의 깊이는 얼마인가? 유원구심(有遠求深)의 법으로 풀면 된다.
[답] 24척
[풀이] 표분(500분)을 소구(小勾)로 하고 1율로 정하며 의분(1,000분)을 소고(小股)로 하여 2율로 정하며 평경(12척)을 대구(大勾)로 하여 3율로 정한 후에 4율을 추득하면 된다.


웅덩이의 깊이를 측정하려고 한다. 그 평경(平徑)은 60척이고 표적은 고(股)의 방향으로 99척 8푼의 위치에 있다고 한다. 이때의 그 웅덩이의 깊이는 얼마인가?
[답] 59척 4촌 5푼 약(弱)
[풀이] 의분(1,000분)을 소구(小勾)로 하여 1율로 하고 표분 99척 8푼을 소고로 하여 1율로 하고 평경은 대구로 하여 3율로 한 후에 4율을 추측하면 된다.

이 문제의 답 중에서 ‘95척 8촌 8푼’이라고 되어 있는데 이것은 59척 4촌 5푼 약이므로 정정하여 둔다.

보루의 나비를 측정하려고 한다. 각도기는 북쪽 모퉁이[隅]에서 곧바로 900보 떨어진 곳에 위치하고 있다. 남쪽 모퉁이를 비탈로 측정하니 그 표적은 고(股)의 방향으로 850분의 위치에 있다고 한다. 이때의 보루(작은 성)의 나비는 얼마인가? (유원구각(有遠求角)의 법으로 풀면 된다)
[답] 765보(步)
[풀이] 의분(1,000분)을 소구(小勾)로 하고 1율로 정하며 표분(表分) 850분을 소고(小股)로 하여 2율로 하며 북쪽과의 거리 900보를 3율로 하여 4율을 추측하면 된다.

의분 1,000분을 고(股)로 하고 표분 850분을 구(勾)로 하여 작은 현을 구한 후에 다시 의분(1,000분)을 1율로 하고 소현(앞에서 구한 것)을 2율로 하고 북쪽의 구역까지의 거리(900보)를 3율로 하여 4율인 비탈 거리[斜遠]를 추측한다. 따라서 이 소현을 1율로 하고 표분(850분)을 2율로 하고 비탈 거리(바로 위에서 구한 바 있음)를 3율로 하여 4율을 추측하여도 된다. 서로 측정해서 양쪽 결과를 합하면 그것이 북쪽 모퉁이의 직각이 됨을 안다

성의 나비를 측정하려고 한다. 각도기와 동쪽의 모퉁이를 곧바로 연결하니 거리가 500보(步)라고 한다. 서쪽의 모퉁이를 비탈로 측정하여 그 표적은 구의 방향으로 460분의 위치에 있다고 한다. 이때 성의 나비는 얼마인가?

[풀이] 표분 460분을 소구로 하고 1율로 정하여 의분 1,000분을 소고(小股)로 하여 2율로 하고 동쪽 모퉁이까지의 거리 500보를 대구(大勾)로 하여 3율로 정한 후에 4율을 추측하면 된다.

언덕 위에서 멀리 있는 강을 측정하려고 한다. 지금 언덕의 높이를 알 수 없으며 2개의 각도기를 층(層)으로 설치하고(한 개의 각도기를 2회 사용해도 무방하다) 2개의 수선을 사용해서 곧바로 연결하여 본다. 우선 아래쪽의 각도기에서 건너편 언덕을 측정하니 그 표적이 고(股)의 방향으로 200분의 위치에 있다고 한다. 다시 위쪽의 각도기에서 건너편 언덕을 측정하니 그 표적이 고(股)의 방향으로 180분에 위치한다고 한다.
양쪽의 각도기의 사이의 거리는 10척이라고 한다. 이때의 멀리 있는 강까지의 거리는 얼마나 될까?
[답] 500척
[풀이] 양 표분의 차(200분에서 180분을 뺀 나머지 20분)를 소구(小勾)로 하여 1율로 하고 의분(1,000분)을 소고(小股)로 하여 2율로 하고 양쪽의 각도기의 거리(10척)를 대구(大勾)로 하여 3율로 정한 후에 4율을 추측하면 된다.


우물 깊이를 측정하려고 한다. 그런데 그 우물의 지름을 모른다. 지금 층의(層儀)로 설치하여 우선 아래 각도기에 우물 밑바닥을 측정하니 그 표적이 구의 방향으로 205분의 위치에 있으며 다시 위쪽의 각도기에서 우물 밑바닥을 측정하니 그 표적이 구의 방향으로 200분의 위치에 있다고 한다. 이 양 각도기의 사이의 거리는 10척이다. 이때의 우물의 깊이는 얼마인가?
[답] 82척
[풀이] 적은 표분 200분을 1율로 하고 의분(1,000분)을 2율로 하고 양 표분의 차(205분)와 200분의 차인 5분을 3율로 하고 4율을 추측하면 된다. 이와 같이 구한 4율을 소구(小勾)로 하고 이것을 1율로 하며 많은 표분(205분)을 소고(小股)로 하고 2율로 하며 양 각도기의 사이의 거리(10척)를 대구(大勾)로 하여 3율로 하고 4율을 추측하면 된다. 이것을 상세하게 적어보자.


성의 나비를 구하려고 하는데 성까지의 거리를 알지 못한다고 한다. 지금 2개의 각도기를 눕혀서 설치하고 성(城)의 뒷면 모퉁이[隅]와 곧바로 직선으로 연결하고 우선 앞에 있는 각도기에서 앞에 있는 모퉁이[隅]를 비탈로 측정하니 그때의 표적은 구(勾)의 방향으로 990분의 위치에 있다고 한다. 다시 뒤의 각도기에서 앞에 있는 모퉁이를 비탈로 측정하니 이때의 표적은 고의 방향으로 985분의 위치에 있다고 한다. 양쪽의 각도기의 사이의 거리는 30보라고 한다. 이때의 성의 나비는 얼마인가?

[풀이] 고의 방향의 표분(985분)을 1율로 하고 의분(1,000분)을 2율로 하고 고의 여분(고의 방향의 표분과 의분인 1,000분과의 차인 여분인 15분)을 3율로 하여 4율을 추측한다. 이 4율과 구의 여분(고의 방향의 표분인 990분을 의분인 1,000분에서 뺀 나머지의 분 10분)을 합하여 소고(小股)로 하고 그것을 1율로 하며 의분(1,000분)을 소구(小勾)로 하고 2율로 하며 양쪽의 각도기의 사이의 거리(30보)를 대고(大股)로 하여 3율로 하고 4율을 추측하면 된다.


갑지(甲地)에서 멀리 있는 산의 높이를 측정하려고 한다. 지평선(地平線)을 얻지 못하여 임의로 위쪽에 있는 언덕[上坡]을 곧바로 보아서 직선으로 연결하고 또 병지(丙地)에서 갑지와 병지의 비탈 거리를 측정하였다. 두 곳 즉 갑지나 병지에서 각각 사선(斜線)을 기준으로 각도기를 설치하고 산의 꼭지점을 측정하니 갑지에서의 비탈 거리가 1,500척이었다고 한다. 곧 갑지에서 각도기를 설치하여 지평(地平)을 기준으로 정하고 산의 꼭지점을 엿보니 그 표적이 400분의 위치에 있다고 한다. 이때의 산의 평지(平地)와의 높이와 산의 평지 거리[平遠]는 각각 얼마인가?
[답] 산의 높이 : 557척 강(强)
산의 평지 거리 : 1,393척 약(弱)
[풀이] 산의 높이를 구하려면 우선 의분(儀分) 1,000분을 고(股)로 하고 표분(400분)을 구(勾)로 하고 현(弦)을 추득한다. 여기서 얻은 현을 소현(小弦)으로 하고 1율로 하며 표분(400분)을 소고(小股)로 하여 2율로 하고 비탈 거리[斜遠](1,500척)을 대현(大弦)으로 하여 3율로 하고 4율을 측정하면 된다.
산까지의 현지 거리를 구하려면 의분 1,000분을 소구(小勾)로 하고 2율로 하여 4율을 추득하면 된다.

[참고] 위의 방법을 좀더 자세히 적어보면 다음과 같다. 즉

[1회분] 고(股)=의분(儀分)=1,000분
　　　　구(勾)=표분(表分)=400분
　　　　현(弦)=1,000분의 제곱+400분의 제곱을 합하여 그 결과를 개평한다.
[2회분] 위에서 얻은(개평하여 얻은 바 있는 값) 값을 소현으로 하고 1율로 하며 2율은 표분으로 하고 3율은 비탈 거리인 1,500척으로 하여 4율을 추득하면 된다.

2개의 섬의 사이의 거리를 측정하려고 하는데 우선 갑의 섬을 측정하니 그 거리가 1,000보이고 을의 섬을 측정하니 그 거리가 1,200보라고 한다. 각도기를 갑의 섬에서 을 섬을 엿보니 그 표적이 고의 방향으로 250분에 위치한다고 한다. 양 섬의 사이의 거리는 얼마인가? 이 문제는 둔각에 속한다.
[답] 334보 156 강(强)
[풀이] 의분(儀分) 1,000분을 고(股)로 하고 표분(表分) 250분을 구(勾)로 하고 소현(小弦)을 추득한다. 따라서 소현(小弦)을 1율로 하고 표분(表分) 250분을 2율로 하고 을 섬까지의 거리 1,200보를 3율로 하고 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 갑 섬을 바라보는 시선(視線)을 연장한 허선(虛線) 위의 을 섬에서 수선을 내린 거리이다. 다시 표분을 1율로 하고 의분(儀分)을 2율로 하고 수선을 3율로 하고 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 갑 섬의 시선(視線)과 시선을 연장한 허선(虛線)의 합한 길이이다. 이 합한 길이에서 갑 섬까지의 거리 1,000보를 뺀 나머지는 허선의 길이이다. 따라서 이 허선(虛線)을 구(勾)로 하고 수선(垂線)을 고(股)로 하여 현을 추득한다.

양쪽의 산봉우리의 사이의 거리를 측정하려고 하는데 먼저 동쪽의 산봉우리를 측정하니 그 거리는 1,220보이며 서쪽 산봉우리까지의 거리는 1,120보라고 한다. 동쪽의 봉우리에서 서쪽의 봉우리를 엿보니 표적이 구(勾)의 방향으로 995분의 위치에 있다고 한다. 이때의 양쪽의 사이의 거리는 얼마인가? 이 문제는 예각에 속한다.
[답] 903보 약(弱)
[풀이] 의분(儀分) 1,000분을 고(股)로 하고 표분(表分) 995분을 구(勾)로 하고 소현을 추득하면 된다. 따라서 이 소현을 1율을 정하고 의분 1,000분을 2율로 하고 서쪽의 산봉우리까지의 거리 1,120보를 3율로 하고 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 동쪽의 산봉우리의 시선상에 서쪽 산봉우리에서 내린 수선의 거리이다. 따라서 이 수선을 3율로 하고 표분 995분을 2율로 하고 의분 1,000분을 1율로 하여 4율을 추득하면 된다. 이 4율은 수선으로 인하여 나누어진 변의 큰 쪽인 선[大線]이다. 이 대선(大線)을 동쪽의 산봉우리까지의 거리 1,220보에서 뺀 나머지는 나누어진 변의 작은 쪽인 선[小線]이다. 따라서 소선을 구(勾)로 하고 수선을 고(股)로 하여 현(弦)을 추득하면 된다.