절댓값기호가 포함된 식의 그래프

[성지훈]

오늘은 절댓값 기호가 포함된 식의 그래프를 어떻게 그리면 되는지 그 원리에 대해 설명하고 간단한 결론을 써볼까 합니다.

y=f(x)의 그래프를 알고 있을 때,

y=f(lxl),  lyl=f(x),  lyl=f(lxl),  y=lf(x)l

이 4가지의 그래프를 어떻게 해석해서 그리는가가 주 내용이 될 것입니다.

우선 알아둬야 할 것은 절댓값 기호를 다룰 때의 기본방향은 절대값 기호 안의 값이 0이상인 경우와 음수인 경우로 나눠서 생각하는 것입니다.(물론 0인 경우는 부호가 의미 없으므로 양수인 경우와 0이하인 경우로 나눠도 무방합니다.) 따라서 그래프를 각각의 경우로 나눠서 그린후 완성하면 됩니다. 추가로 대칭이동에 대한 개념이 잡혀있어야 합니다. 예를 들어 y=f(x)를 y축에 대칭시키면 y=f(-x), x축에 대칭시키면 -y=f(x) 즉, y=-f(x), 원점에 대칭시키면 -y=f(-x) 즉, y=-f(-x)가 됩니다.

1. y=f(lxl)의 그래프

x≥0 일 때, lxl=x이므로 y=f(x) ==> 오른쪽(y축기준) 부분은 원래 그래프와 같다.

                ==> y=f(x) 그래프의 오른쪽만 그린다.

x<0 일 때, lxl=-x이므로 y=f(-x) ==> 왼쪽(y축기준) 부분은 y=f(-x)의 그래프와 같다.

                ==> y=f(-x)의 왼쪽 부분은 y=f(x)의 오른쪽 부분이 y축에 대칭된 것

                ==> 미리 그려놓은 y=f(x) 그래프의 오른쪽 부분을 y축에 대칭시킨 모양이다.

이 둘을 합쳐놓은 것이 y= f(lxl)의 그래프입니다.

쉽게 생각하면 lxl 때문에 x가 들어가든 -x가 들어가든 y값이 같고 이것은 곧 y축에 대칭인 형태의 그래프라는 뜻입니다. 그래서 그리기 쉬운 부분인 오른쪽(절댓값이 그대로 풀려서 이미 알고 있는 y=f(x)와 동일)만 그린 후, 이 그래프가 y축에 대칭인 형태여야 하므로 왼쪽은 y축에 대칭인 형태가 되도록 그려 주면 됩니다.

2. lyl=f(x)의 그래프

y≥0 일 때, lyl=y이므로 y=f(x) ==> 위쪽(x축기준) 부분은 원래 그래프와 같다.

                ==> y=f(x) 그래프의 위쪽만 그린다.

y<0 일 때, lyl=-y이므로 -y=f(x) 즉, y=-f(x)  ==> 아래쪽(x축기준) 부분은 y=-f(x)의 그래프와 같다.

                ==> y=-f(x)의 아래쪽 부분은 y=f(x)의 위쪽 부분이 x축에 대칭된 것

                ==> 미리 그려놓은 y=f(x) 그래프의 위쪽 부분을 x축에 대칭시킨 모양이다.

이 둘을 합쳐놓은 것이 lyl= f(x)의 그래프입니다.

이것도 쉽게 생각하면 lyl 때문에 y가 들어가든 -y가 들어가든 x값이 같고 이것은 곧 x축에 대칭인 형태의 그래프라는 뜻입니다. 그래서 그리기 쉬운 부분인 위쪽(절댓값이 그대로 풀려서 이미 알고 있는 y=f(x)와 동일)만 그린 후, 이 그래프가 x축에 대칭인 형태여야 하므로 아래쪽은 y축에 대칭인 형태가 되도록 그려 주면 됩니다.

3. lyl=f(lxl)의 그래프

1, 2에서 한 것과 마찬가지로 기본 방향은 x와 y의 범위를 나눠서 4가지를 따로 그리는 방법입니다.

하지만 뒤에 적어 놓은 더 쉬운 방법에 따라 lyl=f(lxl)의 그래프는 lyl 때문에 x축에 대칭인 형태여야하고, lxl때문에 y축에 대칭인 형태여야 합니다. 즉, x축에도 대칭이고 y축에도 대칭인 형태의 그래프란 뜻입니다. 물론 이 경우 원점에도 대칭이 됩니다. 그래서 가장 그리기 쉬운 1사분면(절댓값이 그대로 풀려서 이미 알고 있는 y=f(x)와 동일)만 그린 후, 다른 사분면은 x축과 y축, 원점에 각각 대칭인 형태가 되도록 그려주면 됩니다.

4. y=lf(x)l의 그래프

이 그래프는 위 3가지 그래프와는 다릅니다. 위 3가지 그래프는 x또는 y에 절댓값 기호가 있었던 반면 이 그래프는 f(x) 전체 식에 절댓값기호가 있습니다. 그래서 이경우는 그냥 기본방향대로 하면 됩니다.

f(x)≥0 일 때, lf(x)l=f(x)이므로 y=f(x) ==> f(x)가 0이상일 때 즉, 위쪽 부분은 y=f(x)의 그래프와 같다.

                   ==> y=f(x) 그래프의 위쪽 부분만 그린다.

f(x)<0 일 때, lf(x)l=-f(x)이므로 y=-f(x) ==> f(x)가 음수인 부분은 y=-f(x)의 그래프와 같다.

                   ==> f(x)가 음수인 부분만 y=-f(x)의 그래프를 그린다.

이 둘을 합쳐놓은 것이 y=lf(x)l의 그래프입니다.

완성된 형태를 보면 y=f(x) 그래프에서 아래쪽 부분만 x축에 대칭시켜 위로 꺾어 올린 모양입니다.

간단히 정의대로 각각의 함수값인 f(x)에 대해 절댓값을 취한 것이므로 함숫값이 0이상인 경우는 그대로 f(x)이고 함숫값이 음수인 경우는 -f(x)로 바뀐다 생각하시면 됩니다.

이상 4가지 형태를 그리는 원리를 설명해봤습니다.

이제 간단히 정리를 해보자면,

1. y=f(lxl)의 그래프

y=f(x)그래프의 오른쪽만 그린 후
왼쪽은 그려놓은 것을 y축(x=0)에 대칭

2. lyl=f(x)의 그래프

y=f(x)그래프의 위쪽만 그린 후

아래쪽은 그려놓은 것을 x축(y=0)에 대칭

3. lyl=f(lxl)의 그래프

y=f(x)그래프의 1사분면만 그린 후

2, 3, 4 사분면은 그려놓은 것을 x축(y=0), y축(x=0), 원점(x=y=0)에 대칭

4. y=lf(x)l의 그래프

y=f(x)의 그래프를 그린 후

x축 아래쪽을 x축에 대칭시켜 꺽어 올린다.(대칭전의 아래쪽은 삭제한다)

#주의: lxl와 그냥 x, 또는 lyl와 그냥 y가 섞여 있는 식은 이런 꼴에 해당되지 않습니다. 따라서 이 방법을 적용할 수 없습니다. 그런 경우는 기본 방향대로 범위를 나눈 후 식을 정리해서 다뤄야합니다!