아르키메데스의 지렛대의 원리와 원주율

[성모세]

아르키메데스의 지렛대의 원리와 원주율

‘나에게 지렛대와 지탱할 장소만 준다면, 나는 지구도 움직일 수 있다.’

지렛대의 원리를 발견한 고대 수학자 아르키메데스(Archimedes, 약 B.C287~B.C212)가 한 이 말은, 지레를 이용하면 작은 힘으로 아주 무거운 물체를 쉽게 움직일 수 있음을 비유한 것이다. 적당한 크기의 막대를 이용하여 작은 힘을 큰 힘으로 바꾸어 주는 장치를 지레라고하며, 이때 사용되는 막대를 지렛대라고한다. 지레는 세 부분으로 구성된다. 지렛대를 받쳐 고정시켜 놓는 받침점, 지레에 힘을 가하는 힘점, 지레가 다른 물체에 힘을 미치는 작용점(일점)이그것이다.

지레의 세 가지 종류

지레에는 세가지 종류가 있다. ‘1종 지레’는 받침점이 힘점과 작용점 사이에 있는 것으로, 받침점의 위치를 조절하여 필요한 힘의 크기를 줄이거나 받침점과 작용점 사이의 거리를 넓힐 수 있다. ‘1종 지레’의 원리를 이용한 사례로는 시소, 양팔 저울, 펌프, 펜치, 가위, 장도리로 못을 뽑는 것 등이 있다. 아르키메데스는 바로 ‘1종 지레’를 이용하여 지구를 움직일 수 있다고 말했다.

  

그림1. 1종 지레의 원리와 그 사례

‘2종 지레’는 필요한 힘의 크기가 줄어든다는 점에서는 1종 지레와 같다. 하지만 힘점과 작용점이 받침점을 기준으로 같은 쪽에 있다는 것이 다르다. 즉, 2종 지레에서는 힘을 주는 방향과 물체가 움직이는 방향이 같다. 2종 지레의 예로는 병따개나 작두, 손톱 깎기, 호두까기, 외발 손수레 등이 있다.

 

그림2. 2종 지레의 원리와 그 사례

‘3종 지레’는힘점이받침점과작용점사이에있는지레로, 작용점이 힘점보다 받침점으로부터 멀리 있어 물체를 들어 올리려면 더 큰 힘을 주어야 한다. 따라서 힘을 절약하는 데에는 별로 소용이 없다. 오히려 물건을 들어 올리려면 물건의 무게보다 더 큰 힘이 필요하다. 그러나 무거운 돌을 멀리 날려 보내는데 적합하다. 3종 지레에는 전정 가위, 젓가락, 핀셋, 집게, 우리 몸의 팔, 스테이플러, 낚싯대를 이용한 낚시질 등이 있다.

  

그림3. 3종 지레의 원리와 그 사례

원의 둘레와 반지름의 비, 원주율 = 아르키메데스의 수

지레의 원리를 발견한 아르키메데스는 원주율을 정확하게 구한 수학자이기도 하다.

원주율 를 구하려는 노력은 아주 오래 전부터 있었고 아르키메데스도 그 중 한 명이다. 아르키메데스는 원주율을 구하기 위하여 원에 내접하는 정다각형과 외접하는 정다각형을 이용했다. 즉, [내접하는정 각형의 둘레의 길이] < [원의 둘레] < [외접하는 정 각형의 둘레의 길이]이므로 원의 둘레의 길이의 근삿값을구할 수 있었다.

위 그림은 반지름의 길이가 1인 원에 내접하고 외접하는 두 정사각형을 그린 것이다. 먼저 외접하는 큰 사각형의 둘레의 길이는 가 1이므로, [ 의 둘레의 길이] 이다. 그리고 내접하는 정사각형의 둘레의 길이를 구하기 위해서는 의 길이를 구하면 된다. 그런데 는 인 직각이등변삼각형이므로, 피타고라스의 정리에 의하여 이다. 그러므로 내접하는 정사각형인 의 둘레의 길이는 [ 의 둘레의 길이]= ×4 이다. 따라서 원의 둘레는 5.6보다는 크고 8보다는 작고, 반지름의 길이가 1인 원의 둘레는 의 두 배이므로 이다.

위 그림과 같이 정8각형을 원에 외접하고 내접하게 그리면 참값에 조금 더 참값에 가까운 의 근삿값을 구할 수 있다. 아르키메데스는 이와 같은 방법으로 정96각형을 이용하여 원주율 가 임을 밝혀냈다.

그는 보다 정확한 값을 구하기 위하여 모래판이나 땅바닥에 어렵고 복잡한 계산을 해서 결국 오늘날 우리가 원주율의 근삿값으로 가장 많이 이용하고 있는 3.14를 얻었다. 아르키메데스의 이런 노력 때문에, 오늘날 우리는 를 ‘아르키메데스의 수’라고도 한다. 원주율에 관한 그의 결과는 <원의 측정에 관하여>라는 논문의 명제3에 실려 있는데, 그 논문은 중세에 가장 인기 있던 아르키메데스의 저작 가운데 하나였다. 이와 같이 고대 수학자 아르키메데스가 원주율을 구한 방법은 중세까지 이어져 수학발전의 밑거름이 되었다.

수학자들은 원주율을 구하는 많은 방법을 찾았다. 그 가운데 가장 간단하며 많이 이용하는 것은 독일의 수학자 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646~1716)가 발견한 다음과 같은 ‘라이프니츠의공식’이다.

보다 정확한 원주율 의 값을 구하기 위해서는 이 수식을 연장하기만 하면 된다. 소수점 아래로 끝없이 계속되는 수인 원주율은 오늘날 컴퓨터의 성능을 측정하는 데에 활용되기도 한다.

[교육팁]

가위와 두꺼운 도화지를 준비해, 가위의 두 다리를 최대한 벌려 안쪽으로 잘라보고 가위 끝으로도 잘라본다. 어느 경우에 힘이 더 많이 들며 그 이유는 무엇인지 설명하도록 지도한다.

- 가위는 힘점, 받침점, 작용점이 순서대로 있는 1종 지레다.

- 받침점 - 작용점의 거리가 받침점 - 힘점의 거리보다 작을 때 힘이 적게 든다.

- 가위의 두 다리를 최대한 벌려 안쪽으로 잘랐을 때 받침점 - 작용점의 거리가 최소이므로 힘도 가장 적게 든다.

[교육과정]

- 초등학교 6학년 과학, 편리한 도구

- 초등학교 6학년 수학, 원과 원기둥

- 중학교 3학년 과학, 일과 에너지