f(x)가 직선임을 증명하는 과정에 대해 확인 겸 조언 부탁드립니다.(추가)

[성지훈]

#댓글을 보고 내용을 수정보완합니다. 김해일님 감사합니다.

추가한 내용은 처음과 끝에 #과 함께 굵은 글씨로 표시했습니다.

수정한 내용은 가운데 줄을 그었습니다.#

'실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)가 임의의 실수 x, y 에 대해 f(x+y)=f(x)+f(y) 를 만족한다'

이런 조건이 주어졌을 때 직관적으로 f(x)가 직선이라는 것을 알 수 있습니다.

그런데 이 조건을 만족하는 함수는 직선일 수 밖에 없음을 어떻게 증명할 수 있을까 꽤 긴 시간 고민해봤습니다.

미분가능이란 조건이 주어진다면 손 쉽게 가능하지만 그렇지 않을 경우입니다.

아래는 제가 생각해본 접근입니다. 한 번 보시고 부족한 부분은 조언해주시면 감사하겠습니다.

x=y=0을 대입해보면 f(0)=0 이고 f(x+y)-f(x)=f(y)로 변형 후 0이 아닌 y에 대해 양변을 y로 나누면

{f(x+y)-f(x)}/y=f(y)/y

y-> 0- 이면 (임의의 실수 x에서의 좌미분계수)=(0에서의 좌미분계수)=a (a는 상수)

y-> 0+ 이면 (임의의 실수 x에서의 우미분계수)=(0에서의 우미분계수)=b (b는 상수)

#x=0에서의 좌(또는 우)미분계수가 존재하지 않으면 임의의 실수 x에서의 좌(또는 우)미분계수가 존재하지 않아야 하고

좌(또는 우)미분계수가 존재하지 않는 경우는 y축과 평행한 접선이 존재하는 경우뿐이다. 그러나 실수전체에서 연속인 함수중 모든 점에서의 접선이 y축과 평행한 함수는 존재하지 않는다. 이를 만족하는 연속함수는 존재하지 않는다. 따라서 x=0에서 좌미분계수와 우미분계수가 각각 존재한다.#

#[x_1,x_2]에서의 평균변화율 {f(x_2)-f(x_1)}/(x_2-x_1)에 대해 x_2->x_1 일 때의 극한을 취한 값은 x_1에서의 우미분계수이자 x_2에서의 좌미분계수이므로#

실수의 조밀성에 의해 임의의 실수 x_1에 대해 (x_1에서의 우미분계수)=(x_2에서의 좌미분계수)를 만족하는 x_2가 반드시 존재한다.

(x_1에서의 우미분계수)=a 이고 (x_2에서의 좌미분계수)=b 이므로 a=b가 아니면 x_2가 존재할 수 없으므로 모순 즉, a=b.

따라서 f(x)의 0에서의 미분계수 f'(0)=a(=b), 임의의 실수 x에서의 좌우 미분계수도 모두 a 이므로 f'(x)=a, f(x)=ax. (f(0)=0이므로)

이렇게 해봤습니다.

혹시 논리적인 비약이 있다든지 또 다른 접근방법이 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

#다른 접근.

f(x)에서 위로 볼록한 구간이 존재할 때 그 구간에 속하는 임의의 구간 [a,b]에서 (a+b)/2=c라 하면 f(a)+f(b)<2f(c).

준식에 의하면 f(a)+f(b)=f(a+b)=f(2c)=f(c+c)=f(c)+f(c)=2f(c) 이므로 f(x)에서 위로 볼록한 구간은 존재할 수 없다.

f(x)에서 아래로 볼록한 구간이 존재할 때 그 구간에 속하는 임의의 구간 [a,b]에서 (a+b)/2=c라 하면 f(a)+f(b)>2f(c).

준식에 의하면 f(a)+f(b)=f(a+b)=f(2c)=f(c+c)=f(c)+f(c)=2f(c) 이므로 f(x)에서 아래로 볼록한 구간은 존재할 수 없다.

따라서 f(x)는 직선이고 x=y=0을 대입하면 f(0)=0이므로 원점을 지나는 직선이다.#

[김해일]

실수의 조밀성에 의해 임의의 실수 x1에대해 x1우미분계수=x2좌미분계수 를 만족하는 x2가 존재한다고 하셨는데 실수조밀성으로 어떻게 알수있나요? 저가 이해를 완전히 못했는데 설명좀 해주세요

[성지훈]

x_1<x_2인 임의의 두 실수 x_1과 x_2에 대해 구간[x_1,x_2]에서의 평균변화율 {f(x_2)-f(x_1)}/(x_2-x_1)에서
x_2 가 x_1으로 가는 극한을 취한 값은 x_1에서의 우미분계수이자 x_2에서의 좌미분계수입니다.

[김해일]

음 무슨말인지 이해했습니다 그런데 y로 나누고 y를 0+ 0-로 극한취할수는 있지만 그 극한값이 수렴한다는 보장은 할수 없지 않을까요 극한값이 수렴한다는 보장이 있어야 a b로 적을수 있을것 같은데....

[성지훈]

실수전체에서 연속이지만 좌미분계수나 우미분계수가 존재하지 않는 점이 있는 경우는 y축과 평행한 접선이 존재하는 경우 뿐입니다. 이 때는 x=0에서도 이런 경우에 해당되어야 하므로 (0,0)이 변곡점일 수 밖에 없고 x=0 좌우에 위로 볼록한 구간과 아래로 볼록한 구간이 존재하게 됩니다.
1. f(x)가 0<x<x_2에서 위로 볼록할 때 0<x_1<x_2인 x_1과 x_2에 대해
f(x_1)+f(x_2-x_1)는 f(x_2)보다 크지만 준식에 의하면 f(x_2)와 같아야 하므로 모순.
2. f(x)가 0<x<x_2에서 아래로 볼록할 때 0<x_1<x_2인 x_1과 x_2에 대해
f(x_1)+f(x_2-x_1)는 f(x_2)보다 작지만 준식에 의해 f(x_2)와 같아야 하므로 모순.

[성지훈]

이 두가지 외의 경우는 없으므로 주어진 조건 하에서는 y축에 평행한 접선이 존재할 수 없습니다. 따라서 좌미분계수와 우미분계수는 모두 존재합니다.

이 정도로 내용 추가하면 될까요?

[성지훈]

근데 곰곰히 생각해보니 처음부터 이렇게 접근하는 방법도 괜찮다 싶네요.
위로 볼록한 구간이나 아래로 볼록한 구간이 존재할 때는 주어진 조건과 모순이 됨을 보여서 직선이라는 결론을 도출할 수 있겠네요.

[성지훈]

또는 y-> 0+ 이면 (임의의 실수 x에서의 우미분계수)=(0에서의 우미분계수) 에서
x=0에서의 우미분계수가 존재하지 않으면 다른 모든 점에서도 존재하지 않아야 하므로 모든 점에서의 접선이 y축과 평행해야 합니다. 이를 만족하는 연속함수는 존재하지 않으므로 주어진 조건하에서 우미분계수 그리고 좌미분계수는 각각 존재할 수 밖에 없는 것 같습니다.

[김해일]

이 문제에서 그런 경우는 없겠지만 xsin(1/x)와 같이 x=0에서는 연속이지만 0에서 우 미분계수는 1,-1로 진동하므로 우 미분계수가 존재하지않는 경우는 y축과 평행한경우 뿐만아니라 진동하는 경우도 증명해야하지 않을까요?

[성지훈]

밝혔다시피 이 조건하에서는 0에서의 우미분계수가 존재하지 않으면 모든 점에서 우미분계수가 존재하지 않아야합니다. 진동의 경우까지 포함하더라도 모든 점에서 우미분계수가 존재하지 않는 연속함수가 존재할까요? 그래도 이 내용은 본문에서 수정할 필요가 있겠네요. 수정했습니다.

[김해일]

음 직관적으로 생각하면 그런함수가 없겠죠 하지만 증명이니까 위와 같이 적고 끝내기에는 비약이 있지않을까 해서 질문했습니다^^

[성지훈]

그렇겠네요. 하지만 그 부분은 직관적 판단말고 어떻게 증명을 해야할지 도저히 감이 잡히질 않네요...
오목 볼록을 활용한 접근은 어떻게 보시나요?

[김해일]

함수가 오목함수도 아니고 볼록함수도 아니면 직선이니까 잘 증면하면 좋은증명이 되지 않을까 생각합니다^^

[성지훈]

본문 내용에서 오목볼록부분 추가로 증명이 필요한 부분이 있을까요?

[김해일]

복잡하게 미분생각하지않고 볼록 오목 따지려면 f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y) 단,0<t<1 이면 구간(x,y)에서 직선이니까 t=n/m n,m은 자연수라 하면 f(nx+(m-n)y)=nf(x)+(m-n)f(y)이니까 f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y) 식이 성립한다 x,y는 임의의 실수이므로 (-∞,∞)에서 f는 직선이며 f(0)=0이므로 f(x)=ax a는 상수 이다 라고 하면되겠네요

[김해일]

아~ 오목볼록에대해 증명이 추가되어있네요 읽어보니 이증명은 문제없어 보입니다^^

[성지훈]

검토 진심으로 감사합니다.

[김해일]

저는 이렇게 증명했습니다

[성지훈]

이런 방법도 있네요. 감사합니다. 한 수 배웠습니다.

[hiso]

고수의 한 수입니다.