*중등경시* '산술-기하 평균 '과 이차함수의 최댓-최솟값

[말이야]

안녕하세요. 인터넷 서핑을 하다가 가입을 하게된 중3올라가는 신참입니다.ㅋㅋㅋㅋ

그건 그렇고 제가 문제를 풀엇는데 뭔가 이상하네요.

도데체 어째서 제 답이 틀린거죠? 이유를 알려주세요. 모르겠어요.

문제)   좌표평면 위에 꼭지점이 O(0,0), A(2,0), B(0,1)인 삼각형 OAB가 있다. 이 삼각형 내부의

한점 P가 직선 L : x - 2y = 0

위에 있을 때, 선분 PO² + 선분 PA² + 선분 PB² 의 최솟값을 구하여라.

나의 풀이)     선분 PO² = a , 선분 PA² = b , 선분 PB² = c 라고 하자.

그럼 a=b=c 일때 최소가 된다.

이유>>'a+b+c ≥ 3*³√abc'(산술-기하 평균)  이 부등식에서 등호는 a=b=c일 때 성립하므로   

그렇다면 P점은 이 삼각형의 외심이다. 외심의 좌표는 (1,½)이다. 직선 L도 지나가므로 모순된게 없다.

이렇게 해서 계산하면 15/4가 나오는데 답은 10/3이다. 틀렸다ㅡㅡ;; 

답안지)  P점의 좌표는 직선 L 위에 있으므로 (2a,a)이다.

점들의 거리를 피타고라스의 공식으로 구하면

선분 PO²= 5a², 선분 PA²=5a²-8a+4, 선분 PB²= 5a²-2a+1

우리가 구하려는 선분 PO² + 선분 PA² + 선분 PB² =15a² -10a+5

이차함수의 최대최소를 쓰면 10/3이 나와요.

[Argos Equation]

산술기하평균은 합이나 곱이 일정할때 사용하는겁니다.

[성산탄젤로]

아무리 경시라고 해도 산술-기하를 알 필요까지는 없습니다. 정확히는 고등학교 교과서에서는 산술-기하를 예제정도의 문제로 다룰 뿐이지, 그 이상 다루지는 않습니다. 특히 경시를 보는 학생이라면 산술-기하로 문제를 푸는 것은 아무런 논리적 근거가 없이 문제를 푸는 것과 같습니다. 실제로 본고사 시절에는 산술기하로 문제를 푸면 점수를 주지 않는 경우도 있었습니다. 산술기하 문제는 이차방정식과 이차함수의 관점에서 문제를 해결하는 것이 차라리 글을 올린 학새의 입장에서 도움이 될 것입니다