4시부터 계속 파일 첨부하려다 안되서 글로 올릴께요
오역이 많아요
98 * 2. 길이,넓이 그리고 부피의 측량에 관한 일화
NOTES
이 장의 핵심은 시간을 거슬러 올라간다. 측량의 길이,넓이, 그리고 부피는 모든 문명의 첫 경험과 수량화로 시작되었다. 많은 일찍이 쓰여진 기록들은 측량에 대한 문제들로 이루어져 있다 그리고 곡물의 상점에서 팔고사는 가격에 대해서도 있다.
가장 오래된 서류들은 수학의 사용을 4000년 전부터 묘사한다 그리고 그것들은 고대의 이집트인,바빌로니아인, 그리고 중국인의 문명으로부터 왔다. 이것들의 근원은 고대의 사람들이 알았던 삼각형,직사각형, 그리고 사다리꼴의 계산방법으로 나타났다.이 글엔 많은 예들이 있다 직사각형 그리고 삼각형의 넓이에 대한 a=bh 그리고 a=(1/2)bh등 각각 다른예들이.
원은 약간의 어려움을 만든다. 하지만 모든 사람들은 원의 반지름에 대해서 원주와 원의 넓이는 일정한것 처럼 보였다. 바빌로니아인과 중국인들은 알았었다 두 고정된 숫자들은 관계가 있다고, 아마도 토론 비슷한것이 사용되었을 것이다 우리가 사용했던것;그들의 연산법으로 계산된 원의 넓이를 암시했다 우리들의 현재의 공식을 A=(C/2)(d/2),C 그리고 d는 되고있는 중이였다 원주 그리고 직경,각각으로. 하지만 이집트인들은 그렇게 생각하지 않았다 두 숫자는 관련되지 않다고.
바빌로니아 인들은 나타냈다 C = 3d 를 π로 3의 값으로. 그것을 확정했다. 히브리어 성서 는 그것에 가치를 주었다 열왕기 7:23의 구절중 솔로몬의 통치기간인 950.B.C에서는 “그리고 그는 만들었다 10 큐빗의10 큐빗의 주조한 바다를 콤파스로 가장자리부터 완전히 가득채웠다 . . .그리고 30큐빗의 줄을 둘렀다 콤파스로.
린드파피루스(이집트, c. 1800 B.C)에는 뒤따르는 문제들이 생겻다:“예를들어
들판을 9 길이의 원으로 둘러싼다. 넓이는 몇인가? 1/9원으로 가버리다;나머지는 8
8에 8을 곱한다; 그것은 64이다.그러므로 넓이는 64.“ 다른 말로는, 넓이는 A=[(8/9)d]^2. 그것은 π를 3.16046으로 만든다.
그의 논문은, 원의 측정을, 아르키메데스(c. 287-212 B.C.)는 처음으로 π의 값에 가장 근접한 방법을 제시했다. 그는 보였다 3 1/7> π >3 10/71 사용했다 이 방법으로 표시했다 문제 안에서 1.
부피의 계산방법을 나아가게한 중요한것은 Moscow(번역 안됨) 파피루스(이집트, c. 200 B.C.) 에서의 연산법에서 피라미드의 원뿔대의 부피를 찾을수 있다, 현재의 올바른 식 꼴로 변형하자면 V = (h/3)(a^2 + ab +b^2)-h = 높이,그리고 a 와 b의 변은 사각형의 기초다. 고전적인 그리스에서는 Democratus(해석 안됨)(기원전 5세기)는 알았다 피라미드의 부피는 밑넓이 곱하기 높이의 1/3이라는 것을. 증명은 Eudoxus(기원전 409~356)이 유클리드의 기하학 원론 12권(기원전 200)에 나타내었다. 12권도 또한 나누었다 각기둥을 포함한 원통의 부피를.
표현법에대한 토론을 우리들은 사용했다 매매에서 피라미드의 부피의 를 예로 카발리에리의 원리,이탈리아인 수학자 보나벤트라 카발리에리(1598-1647). 원리는 나타내다 학설로서(이 부분은 해석을 잘 못하겟습니다.)
만약 두 개의 모양이 공간에 있는데 같은 높이을 가지고 있다 그리고 만약 잘라낸 부분이 가로지르도록 만들엇다면 평면에서는 평행한다 그들의 근거 그리고 같은 거리 그들은 넓이가 항상 같다, 그러면 두 모양은 같은 부피를 가지고 있다.
카발리에리는 이 원칙대로 지으면 옳다고 한다 아르키메데스의 발견학습(아르키메데스의 방법에서)에서 그는 생각했다 부피는 3차원에서의 모양의 ‘합’ 넓이의 평행의 교차하는 부분을 잘라낸것 이다. 그의 방법에서,아르키메데스도 또한 생각했었다 넓이는 평행선을 잘라낸 모양을 만든다 그리고 사용했다 포물선의 곡면의 넓이를 계산하는 아이디어를 그리고 직선을. 갈릴레오와 캐플러는 넓이에 대한 다른 생각을; 카발리에리는 그의 원리는 넓이나 부피나 그게 그거이다. 이 아이디어들은 결국 계산에 합쳐졌다,카발리에리가 죽고 수 해가 지난뒤.그 후 뉴턴과 라이프니츠는 계산법을 창조하였다 제일 다재다능한 넓이와 부피를 구하는 계산법을.관념들은 정밀한 계산법을 창조해내지 못했다 아르키메데스이후로 19세기가 되기까지는.
약간 흥미로운 20세기을 의미하는 부피에 대한 이론이 있다. 당신은 각뿔과 각기둥의 부피를 결정하는 복잡한 다른 방법을 기억해내다.유클리드의 사각뿔의 넓이와 부피를 계산을 구하는 방법을 증명하는 방법과 함께 삼각형 모양의 가장자리 또는 겉에서 원,원통과 구체를 찾는다. 면 안에서,다각형의 넓이를 계산한다,당신은 삼각형을 상세히 분석한다.삼각형의 넓이 돌려서 계산 가능한 여수와 함께 합동의 삼각형(같은 조각의) 을 다각형으로 만든다, 그것의 넓이는 쉽게 결정할 수 있다.왜 공간에서 비슷한 모양으로 만드는것을 할수 없는가 아날로그 다각형이 있다-모양들이 묶인 조각들이 즉 다시말하자면 다각체? 왜 우리는 다면체의 부피를 정밀하게 계산할수 없을까,경의를 표한다 그리고 결국 직사각형의 박스의 부피를 계산할수 있는가? 본질적으로 질문을 해본다 이것은 힐버트의 3번째 문제이다. 1900년대의 주소에서 수학자에 대한 국제의 국회에서 ,거대한 독일의 수학자인, 데이비드 힐버트,도전했던 수학적인 커뮤니티 세기가 온다, 20세기의 특수한 수학의 문제를 풀었다 축다.( 힐버트의 문제의 관계를 보았다(1977),카플란스키가)힐버트의 미지의 3번째 문제를 독일의, 맥스 덴이, 풀었다, 힐버트의 주소로부터 많은 달이 지난뒤.( 볼트니안스키가 관계를 본 뒤(1963). 프로젝트 C9의 챕터 9도 또한 마찬가지로,덴의 문제 해결과 함께) 힐버트의 3번째 문제의 대한 소극적인 문제풀기는 하나의 기본적인 다른 자연적인 2차원의 공간 그리고 3차원의 공간을 가리키다. 또 하나의 유명한 역설은 다른 것을 암시한다 바나치 타르스키(1924)는 구의 반지름 1 안에서. 절개를 할수 있는가 한정된 숫자의 조각으로 모으는 것을 구체 꼴의 사이즈의 지구를.물론,must be pretty wild(해석 불가)[추천서를 본다,세계의 수학에 제임스 뉴만(1956)pp. 1944-5, 요약한 결과와 바나치 타르스키의 역설,스탄 웨곤(1985),부피24 수학 백과사전과 특정의 용도에 더 세부하게.]
References
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Wagon, Stan, The Banach-Tarski paradox. Vol.24.In Encyclopedia of Mathematics 그리고 its Application. New York:Cambridge University Press,1985
첫댓글 번역기는 안사용했어요 근데 번역기처럼 해석되네요