기하학의 태동

[김동석]

기하학의 태동

강의 2. 이집트의 가장 높은 피라미드

[기하학의 발전 단계]

  1단계 - 잠재적 기하학

  2단계 - 경험적․실험적․귀납적 기하학

  3단계 - 논증적․연역적 기하학

I. 잠재적 기하학

  기하학적 개념에 대한 모호한 지식

  물리적인 형태의 인식

  모양과 크기의 비교

      → (추상화)

      → 기하학적 개념, 도형

  두 점을 연결하는 가장 짧은 경로

     → 직선 → 거리의 개념

  벽, 담장  → 연직, 평행, 수직의 개념

  팔과 다리 →  각

  거미집 → 정육각형

  해, 보름달, 통나무의 단면 → 원(원판)

  투사체의 궤도 → 포물선

  포도나무 줄기 → 현수선         [곡선]

  꼬인 줄, 덩굴손  → 나선

  연못에 던진 돌 → 동심원 족

  조개의 둥근 홈 → 곡선족

  과일의 씨 → 구   [회전체, 회전면]

  나무, 나무 줄기 → 원통, 원뿔

  물긷기 → 부피

  밤 하늘의 별 → 공간, 공간의 점

II. 경험적 기하학

  구체적인 기하학적 관계의 모임

       → (일반적․추상적 관계 추출)

       → 기하학적 법칙․규칙 발견

  고대의 4대 문명 발상지에서 기원전 5000년에서 3000년 사이에 발생

  기원전 600년 이전에 기록된 모든 기하학은 근본적으로 경험적 기하학

  상당한 양의 기하학적 지식 축적

  일부는 근사적으로만 옳았다

   직사각형의 넓이

   원의 둘레와 넓이

   구의 겉넓이와 부피

[4대 문명 발상지의 수학]

1. 중국

  - 주비산경, 구장산술(기원전 2세기)

2. 인도

  - 인도-아라비아 수 체계,

     0(슈냐), 음수, 기호

  - 아리아바타(476-?),

    부라마굽타(598-?), 바스카라

* 고대 중국과 인도에서는 나무 껍질이나 대나무와 같이 썩기 쉬운 재료에 기록했다.

3. 메소포타미아 - 비옥한 초승달 지대

   - 육십진법(위치적 기수법)

   - 기원전 2000년경～기원전 600년경까지 바빌로니아로 불림

   - 대수학적 경향, 기하학은 부족

   - 점토판 이용

      약 300개의 수학에 관한 판 발굴

      (문제판 100여 개, 수표 판 200여 개)

      역수표, 제곱수와 제곱근표,

      세제곱수와 세제곱근표,

      제곱수와 세제곱수의 덧셈표, 지수표

   -

   -

            

   

   - 이차 방정식의 대수적 풀이

  음이 아닌 와 에 대해 다음과 같은 ‘표준형’으로 나누어 풀었다.[문제 14.4.]

  → 

 → 

4. 이집트

   - 나일강의 연례적인 범람

         → 농경지의 재측량

         →  geometry 땅의 측정

   - 십진법(위치적 기수법은 아님)

   - 파피루스에 예시적인 문제 기록

* 모스크바 파피루스

      (기원전 1850년경, 25개의 수학 문제)

* 아메스(린드) 파피루스

      (기원전 1650년 이전, 85 수학 문제)

   - 단위 분수(단 2/3은 쓰임) 이용

     에 대한 수표

      ( 은 5부터 101까지의 모든 홀수)

         

         

         

   - 이진법을 이용한 곱셈

  “12×13을 계산하자. 아래와 같이 왼쪽 열에 1, 2, 4, 8을 적고 오른쪽 열에 13, 26, 52, 104를 적는다. 12=4+8이므로, 52와 104의 합 156은 12×13 이다.”

   1       13            2) 12   나머지

   2       26            2)  6 ⋯  0

   4       52            2)  3 ⋯  0

   8     104            2)  1 ⋯  1

 4+8    52+104            0  ⋯  1

 =12    =12×13

12×13=1100₍₂₎×13=(2³+2²)×13

       =(4+8)×13=4×13+8×13

       =52+104

       =156

[근사적으로만 옳은 경우]

1. 구장산술  활꼴의 넓이

 현의 길이가 이고 시가 인 활꼴의 넓이 는 다음과 같다.

          

* 반원에 적용하면 원주율을 π=3으로 택한 것과 동치 [문제 2.1]

2. 아메스 파피루스  원의 넓이

  원 지름의 8/9을 한 변으로 가진 정사각형의 넓이

     →   [문제 2.2]

3. 고대 바빌로니아의 점토판

    대부분  π=3

    수사에서 발굴된 점토판

      π=3;7,30=3+7/60+30/3600

        = 25/8 = 3.125  [문제 2.3]

4. 인도의 종교 문헌 ‘술바수트라스’

  원의 지름을 , 그 원과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 라 할 때 다음 관계가 성립한다. [문제 2.6]

  (i)

  (ii)

 * 참값

  (i)

     

       

   →

 (ii)

     

    →

5. 성서  역대기하 4:2와 열왕기상 7:28

“그 다음 그는 바다모형을 둥글게 만들었다. 한 가장자리에서 다른 가장자리까지 직경이 십 척, 높이는 오 척이었다. 줄로 그 둘레를 한 바퀴 돌리면, 삼십 척이 되었다.”→π=3

‘π 연구 학회’(Institute of Pi Research)

 미국 캔자스 주

목적: π에 대한 값 3의 보급

설립자: 딕스(Samuel Dicks)엠포리아 주립 대학교의 중세사 교수

“만약 3인 π가 성경에도 충분히 만족스럽다면 그것은 현대인에게도 충분히 만족스러울 것이다.”

레이건 대통령

 “파이는 우리가 생각하는 만큼 크지 않다.”

6. 아메스 파피루스   사각형의 넓이

  연속한 변의 길이가 인 사각변의 넓이 를 다음과 같다.

         

* 직사각형이 아닌 모든 사각형에 대해서는 너무 큰 값을 얻는다. [문제 2.4]

[모스크바 파피루스의 문제 14]

밑면의 넓이가 이고 윗면의 넓이가 이며 높이가 인 정각뿔대의 부피 는 다음과 같다.

      

‘이집트의 가장 높은 피라미드’

                벨(E. T. Bell)

* (비교) 고대 바빌로니아

   사다리꼴의 넓이

                       ↓(유추)

   사각뿔대의 부피 

III. 연역적 기하학

  [강의 3. 실험실에서 연구로]

고대 그리스 수학

    기하학에 연역적 방법 도입

* 기원전 600-기원전 300 고전 시대

  기원전 300-서기 600

    알렉산드리아 시대 또는 헬레니즘 시대

* 그리스 수학에 대한 자료

(1) 에우데무스의 요약

    프로클로스의 유클리드의 원론 제1권에 대한 주석에 있는 몇 쪽

     유클리드 이전의 기하학의 역사

 (2) 파포스의 수학집성

     유클리드에서 프톨레마이오스까지

탈레스(Thales, 기원전 640?-546?)

   - 밀레토스(Miletus) 출신

   - 정치가, 상담가, 공학자, 사업가, 철학자, 수학자, 천문학자

   - 고대의 ‘칠 현인’ 중 한 사람

* ‘칠 현인’(고대 그리스의 사상가, 위정자)

  클레오불로스, 페리안드로스, 피타코스,

  비아스, 탈레스, 케일론, 솔론

  - 피라미드의 높이를 그림자를 이용해서 계산(그림자 수학자)

* 삼각형의 합동 - 해변으로부터 배까지의 거리를 구하는 탈레스의 방법

* 삼각형의 닮음 - 그림자

  서림이가 김억석이와 실없는 수작을 하는 동안에 황천왕동이와 길막봉이는 매로바위 밑에 와서 바위를 치어다보며 서너 길 되느니 못 되느니 눈어림을 다투고 있었다. 서림이가 와서 치어다보고

  “이 바위 높이쯤은 긴 바지랭대두루 잴 수가 있을지 모르지만 잴 수 없다구 치더래두 망해도(望海圖) 법만 알면 대번 바위 높이를 알 수가 있소. 그 아는 법은 조그만 나무때기를 바위와 같은 방향으로 세우구 그림자 길이를 재어보구 그 다음에 바위의 그림자 길이만 재어보면 바위 높이는 자연 알게 되우. 지금 가령 한 자 되는 나무때기의 그림자가 두 자가 되었는데 바위 그림자는 스무 자라구 하면 바위 높이는 열 자가 아니겠소.”

  수리(數理)를 알거냥하고 한바탕 잘 지껄이었다. ...

- 홍명희, 林巨正, 화적편 2(제8권), 사계절, 50쪽

* 망해도법(望海圖法): 바다 가운데 있는 섬을 뭍에서 보고 그 거리를 헤아리는 셈법.

탈레스가 논리적인 추론으로 입증한 결과

  1. 원은 임의의 지름으로 이등분된다.

  2. 이등변 삼각형의 두 밑각은 서로 같다.

  3. 교차하는 두 직선에 의해 이루어지는 두 맞꼭지각은 서로 같다.

  4. 두 삼각형에서 대응하는 두 각이 서로 같고 대응하는 한 변이 서로 같으면 합동이다.

  5. 반원에 내접하는 각은 직각이다.

* 그리스의 신비

   기하학적 사실은 실험이 아니라 논리적인 증명에 의해 입증되어야 한다고 결정한 이유

(1) 철학적 탐구에 대한 고대 그리스인들의 특유한 지적 경향

(2) 아름다움에 대한 그리스적인 애착

  아름다움에 대한 올바른 평가는 감성적인 경험뿐만 아니라 지적인 경험이다.

(3) 고대 그리스의 사회적 특성

   특권 계급, 노예 계급

(4) 전면적인 경제적・정치적 변화

* 수학에서 실험의 중요성

(1) 갈릴레오(1564-1642) 1599년

    사이클로이드의 한 아치 밑의 넓이는 생성원의 넓이의 세 배와 정확하게 같지는 않지만 매우 근사하다

    → 토리첼리(1608-1647) 1644년

          최초의 수학적인 증명 제시

(2)   파스칼(1623-1662)

  종이 삼각형을 접어서 삼각형의 세 각의 합은 평각이라는 사실을 ‘발견했다.’

(3) 아르키메데스(기원전 287?-212)는 방법론에서 반지름이 r인 구의 부피 4πr³/3을 구한 기계적인 고찰 제시

    → 나중에 엄밀한 증명 제시

고대 그리스의 수학자

            (기원전 600년～서기 600년)

・기원전 6세기

    수학의 창시자: 밀레토스의 탈레스(기원전 640?-546?),

                   사모스의 피타고라스(기원전 572?- 492?)

・기원전 5세기

    이오니아 학파: 탈레스가 밀레토스에서 창설,

                   아낙시만드로스(기원전 610?-547?, 천문학, 철학),

                   아낙시메네스(기원전 550?-480?, 철학)

                   아낙사고라스(기원전 500?-428?, 철학, 아테네에서 활동)

   피타고라스 학파: 피타고라스가 크로토나에서 창설,

                    크로토나의 필로라오스(기원전 470?-?),

                    키레네의 테오도로스(기원전 470?-?) 무리수 연구

                    메타폰탐의 히파소스

                    키오스의 히포크라테스(기원전 5세기, 아테네에서 활동),

                    타렌툼의 아르키타스(기원전 428-347)

    엘레아 학파: 이오니아 콜로폰의 크세노파네스(기원전 565?-470?)가 시칠리아에 창설→제자 파르메니데스와 제논이 엘레아로 이주시킴

                 엘레아의 파르메니데스(기원전 515?-445?),

                   ‘엘레아 학파의 시조’, 원래 피타고라스 학파라는 말이 있음

                 엘레아의 제논(기원전 490?-429?, 파르메니데스의 제자),

                 압데라의 데모크리토스(기원전 460?-370, 원자론)

                 엘리스의 히파소스(소피스트, 기하학자)

・기원전 4세기

    제1 아테네 학파=소피스트: 수학을 이용해서 우주의 기능 연구

                               부산물로 삼대 작도 문제가 있음

                 엘레스의 히피아스(기원전 460?-?)

                 안티폰(기원전 480?-411)

                 브리손(기원전 5세기)

    (제2) 아테네 학파: 플라톤(기원전427-347)이 기원전 387년경 창설(서기 529년 폐쇄). 플라톤은 테오도로스와 아르키타스로부터 배움

                 크니도스의 에우독소스(기원전 408?-355?)

                    (착출법, 적분법의 시조, 주로 아르키타스로부터 배움,

                 테아이테토스(기원전 415?-369?) 무리수 연구

                 메나이크모스(기원전 375-325, 원뿔곡선, 에우독소스의 제자)

                 디노스트라토스(메나이크모스의 형제)

                 필라노스의 아우톨리코스,

    아리스토텔레스 학파: 아리스토텔레스(기원전 384-322)가 기원전 335년 리케이온에 자신의 학교 창설

                 로도스의 에우데무스(기원전 4세기 후반) 수학·천문학의 역사

・기원전 3세기(이 때부터는 알렉산드리아를 중심으로 수학 발전)

      3대 수학자(기하학의 체계 마련): 유클리드, 아폴로니오스, 아르키메데스

      에라토스테네스(기원전 284-192)

・기원전 2세기

      히파르코스(삼각법의 창시자),

      테오도시우스(천문학자)

・기원전 1세기

      헤론(역학자),  메넬라오스(구면기하학자)

・2세기

      프톨레마이오스(지리천문학자),  게라소스의 니코마코스,

      스미르나의 테온(수론), 메넬라오스(원뿔곡선론)

・3세기

      디오판토스(대수학의 창시자)

・4세기

      파포스

      알렉산드리아의 테온(기하학자),

      히파티아(최초의 여류 수학자)

・5세기

      프로클로스(유클리드 수학의 주해자),

      에우토키우스(아폴로니오스와 아르키메데스 수학의 주해자)

・6세기 

      보에티우스(그리스의 마지막 수학자)