Re:orientation-preserving isometry

뫼비우스띠를 생각해봅시다. |를 검지손가락 ->를 엄지손가락이라 합시다. 한 점에서 오른손의 검지와 엄지를 | -> ...(1) 와 같이 하고 뫼비우스띠의 면을 따라 한바퀴 돌면 다시 원래 점으로 돌아오는데 이때 손가락 모양은 -> | (검지만 밑으로) ...(2) 로 바뀌어 있을 것입니다. 만약 orientation을 가지는 2차원 곡면(2-dim manifold)이라면 (1)로 출발하면 (1)로 돌아와야 하고 (2)로 출발하면 (2)로 돌아와야 합니다. 이런경우를 orientation preserving이라 한다면 위의 뫼비우스띠의 경우는 orientation reversing이 되는 것이지요... 그렇다면 orientation이란? 바로 출발점에서 (1)의 모양으로 출발할 것인지 (2)의 모양으로 출발할 것인지의 두가지 중 한가지를 "선택"하는 것을 말합니다. 위의 오른손 엄지를 e1, 오른손 검지를 e2 (e1,e2 : 2차원 벡터)라 합시다. 만약 (1)의 모양을 (e1, e2)라 한다면 (2)의 모양은 (e2, e1)이라 할 수 있습니다. 뭐 반대로 생각해도 상관 없구요. 실제로 2차원 곡면(2-dim manifold)의 orientation은 e1,e2는 무엇인가? 곡면 위의 각 점에서의 접평면(tangent space)의 기저들은 먼저 답변하신 분이 말씀하셨듯이 기저변환 행렬의 행렬식이 양이냐 음이냐에 따라 두가지 type으로 나눌 수 있을 것입니다. (e1, e2)와 (e2, e1)은 분명 둘사이의 기저변환 행렬의 행렬식이 음일 것이므로 다른 type일 것입니다. e1,e2는 바로 각 점에서의 접평면(tangent space)의 기저들의 두가지 type중 한가지를 "선택"한 것입니다. wedge는 e1 ^ e2와 e2 ^ e1의 순서가 다르다는 것을 그대로 반영해주는 기호라 할 수 있고, tangent에서 생각하지 않고 그 dual인 cotangent에서 생각하면 모든점에서 0가 되지 않는 nowhere vanishing 2-form의 존재성이 2차원 곡면의 orientability를 말해준다는 것을 짐작할 수 있습니다. n-차원으로는 자연스럽게 확장이 될 수 있구요...^^