조금 무식한 풀이지만,
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우선 외접원의 반지름이 일정할때 삼각형의 넓이는
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abc/4R이므로, abc가 최대가 되도록 하면 되겠습니다.
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한 점을 고정시키고,
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두 번째 점의 arg를 x,
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세 번째 점의 arg를 y로 놓으면
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결국 (1-cos(x))*(1-cos(y))*(1-cos(y-x))의 최대를 구하는 문제로 바뀝니다.
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위 식을 각각 x와 y로 편미분한 후, 두 값 모두를 0으로 만든 곳을 찾아보면
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x=0, y=0, x=y, (2Pi/3, -2Pi/3), (-2Pi/3, 2Pi/3)가 나오는데,
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이중 마지막 두 개일 때 최대가 됨은 분명하죠. ^^
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굉장히 무식한 풀이였음. ^^a
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오호 형원군도 납셨군... 저도 형원이(참고로 제 동아리 후배입니다)와 비슷한 방법입니다만 각잡는 게 약간 다릅니다 각 이등변 삼각형의 양쪽 각을 D,E,F로 잡고,(D+E+F)=pi/2, 총 넓이의 합을 구하면 R^2/2(sin2D+sin2E+sin2F) <= 3sin(2(D+E+F)/3) (D,E,F<pi/2이므로 성립, 젠센부등식) 따라서 D=E=F에서 최대^^
첫댓글 이건 다른 방법인데 반지름이 일정하니까 삼각형AOB,BOC,COA(O는 원의 중심)의 넓이를 각각 계산해서 더하면 R^2*(sinA+sinB+sinC)/2이므로 sinA+sinB+sinc<=3sin((A+B+C)/3)인데 등호조건이 A=B=C이므로 정삼각형일 때입니다.(저건 젠센부등식에 의해)
오호 형원군도 납셨군... 저도 형원이(참고로 제 동아리 후배입니다)와 비슷한 방법입니다만 각잡는 게 약간 다릅니다 각 이등변 삼각형의 양쪽 각을 D,E,F로 잡고,(D+E+F)=pi/2, 총 넓이의 합을 구하면 R^2/2(sin2D+sin2E+sin2F) <= 3sin(2(D+E+F)/3) (D,E,F<pi/2이므로 성립, 젠센부등식) 따라서 D=E=F에서 최대^^
감사^^