일반적으로 가스공급 시스템은 기본적인 파이프 배관뿐만 아니라 압축기, 정압기 등의 각종 밸브, 이음새, 저장탱크 등의 다양한 구성요소로 구성되어 있다. 이러한 각각의 구성요소들은 실제 배관의 압력강하와 유량 등의 배관내부의 유동에 직접적인 영향을 미치며, 실제 배관유동이나 배관망의 해석을 위해서는 이러한 모든 요소를 동시에 고려하여야 한다. 그러나 이것은 매우 방대한 내용으로 본 교과과정에서 다루어지기에는 무리가 있으므로, 본 교재에서는 기본적인 배관유동에 내용을 한정하도록 한다.
또한, 가스 공급을 위한 실제 배관시스템에 있어서 가스의 유동은 계속적으로 일정한 상태를 유지하지 않고, 시간에 따라 계속 변화하는 비정상상태(unsteady state) 흐름이다. 이러한 비정상상태 해석은 수학적으로 매우 복잡하고 유동을 지배하는 관계식들의 해석이 매우 어려워서 이론적인 방법을 통해 직접 계산하기는 불가능하여, 대부분의 경우 전산해석이나 실험적 방법을 통하여 해결하는 것이 일반적이다. 그러나 실제 설비의 운영에 필요한 일반적이고, 기본적인 정보를 구하는데 있어서는, 가스 흐름을 정상상태로 가정하여 적용하는 이론식과 실험관계식들이 대부분의 경우에도 상당히 좋은 결과를 보이고, 실제로도 널리 쓰이고 있다. 따라서, 본 절에서는 이러한 배관내부 유동을 해석하기 위한 기본적인 이론을 소개하고, 정상상태 배관 유동을 지배하는 유량방정식을 소개하고자 한다.
(1) 연속방정식(continuity equation) 질량보존의 법칙에 의하여, 배관을 흐르는 유체에 대하여 유체의 흐름이 1차원 정상상태일 때 배관내의 1지점을 흐르는 유체의 질량과 1지점으로부터 어느 거리에 있는 2지점을 흐르는 유체의 질량은 같다. 식으로 표현하면
(1) 여기서 qm 은 질량유량, ρ는 유체의 밀도, A는 배관의 단면적, V는 유체의 속도를 나타내고 첨자 1, 2는 배관내의 서로 다른 두 지점을 나타낸다.
(2) 베르누이방정식(Bernoulli equation) 정상상태 흐름에 있어서 단위 질량 기준의 에너지방정식으로 유도된 마찰손실을 포함하는 정상상태 베르누이 방정식은 다음과 같다.
(2) 단, p = 압력, ρ = 밀도, v = 속도, g = 중력가속도, gc = 전환요소, z = 높이, lw = 마찰손실에너지
식 (2)의 왼쪽의 모든 항들은 압력의 단위를 갖고 있으며, 순서대로 압력항, 운동에너지 관련항, 고도차에 의한 위치에너지 관련항 및 손실에너지 관련항을 나타낸다. 이 식의 적분소 d는 배관유동과 같이, 선형에 근사한 경우에는 식 (3) 및 (4)과 같이 표현될 수 있다.
(3)
(4)
식 (4)에서
는 유동조건에 의존하는 마찰에 기인한 압력손실을 나타낸다.
앞 절에서 유도한 식(4)를 고도차이가 없는 수평 배관의 정상상태 흐름에 적용하면, 고도차이에 의한 위치에너지 항이 무시되어 다음의 식(5)이 얻어진다.
또는
(5)
식 (5)는 마찰항이 포함된 베르누이방정식이고, 이 식으로부터 배관에 있어서 일반적인 유량방정식이 유도된다. 이 식(5)를 인위적인 차압장치가 없는 배관에서 비교적 거리가 멀리 떨어진 두 지점에 대하여 적용하면, 정상상태에서 두 지점의 유속차이를 무시할 수 있으므로, 아래의 식(6)과 같이 정리할 수 있다.
(6)
여기서, 마찰에 의한 거리차이가 dL 인 두 지점 사이의 손실압력은 Fanning eqn.으로 잘 알려진 다음의 식(7)와 같다.
(7)
여기서, f‘ = fanning 마찰계수 D = 배관 내부 직경
마찰계수는 일종의 비례상수로 유속(정확하게는 레이놀즈 수(Re))과 상대거칠기(ε/D)의 함수로 표현되며, 실험결과로부터 만들어진 식이나 Moody Chart 를 통하여 구할 수 있다. 위 식(7)의 Fanning 마찰계수 대신에 실제적으로 널리 쓰이는 4f‘의 값을 갖는 Moody 마찰계수 f(Darcy-friction factor)를 사용하여 식(7)을 식(6)에 대입하면 다음 식(8)과 같다.
(8)
여기서, 완전기체로 가정하고 식(9)의 이상기체 상태방정식을 대입하여 정리하면,
(9)
일반화하기 위하여 표준조건 관계 를 적용하면,
또는
(10)
여기서, q sc = 표준조건에서의 기체 체적유량 Z = 압축계수 M = 가스의 분자량 R = 기체상수
또는
(11)
가스온도(T)는 등온유동(isothermal flow)일 경우에는 상수이며, 그렇지 않은 경우에는 산술평균온도 또는 로그평균온도(log-mean temperature)를 사용한다. 가스압축계수 Z에 대하여 온도와 압력에 무관한 평균압축계수(Zav)로 대체하여 위 식(11)을 적분하면 다음 식(12)와 같다.
또는
(12)
이를 정리하고 아래의 적당한 상수값들을 대입하고, 단위를 맞추기 위한 환산계수를 적용하면 식(13)으로 표현되는 배관의 일반 유량계산식 을 얻을 수 있다.
(13)
여기서, qsc = 표준조건에서의 가스체적유량
Psc = 표준조건에서의 압력
Tsc = 표준조건에서의 온도
P1, P2 = 상, 하류측 압력
D = 배관 내경
G = 가스 비중 ( = M / M air ) [ M air = 공기 분자량 = 28.97 ]
T = 가스 유동 온도
Zav = 평균가스압축계수
f = 무디마찰계수
L = 배관길이
C = 유량계산식 계수로 사용 단위에 따라 다른 값을 갖는다.
( 미터법에서는 보통 0.23944 )
여기서 유량방정식 계수 C 는 몇 가지 단위환산 계수에 의해 결정되는 값으로, 이를 결정하는데 사용된 단위에 대하여 명확하게 정의되어 있어야 한다. 아래 【표 7-4】에 몇 가지 일반적인 단위조합에 대한 C값을 나타내었다.
【표 7-4】단위에 따른 유량계산식 계수 C값
사용 단위
C 값
압력
온도
직경
길이
체적유량
패닝마찰계수 사용시
무디마찰계수 사용시
psia
°R
in.
miles
ft
cf/day cf/hr cf/day cf/hr
38.77 1.590 2.817 117.4
77.54 3.180 5.634 234.8
kPa
°K
m
cm
m
㎥ /day ㎥ /hr ㎥ /hr
574.7 ×10 3 239.4 ×10 2 0.23944
114.9 ×10 478.8 ×10 0.4788
in. wc
°R
in.
ft
miles
cf/day cf/hr cf/day cf/hr
101.7 4.238 1.400 0.0583
-
일반 유량계산식 (13)에서 마찰계수는
의 꼴로 나타나며, 이것을 이송계수(transmission factor) 라고 한다.
특정한 가스와 배관구간, 운전상태 하에서 가스유량은 이송계수에 비례하는 값을 갖는다. 이송계수도 마찰계수와 마찬가지로 레이놀즈수와 표면거칠기의 함수로 표현되며, 각각의 경우에 대한 관계식을 간략히 정리하면 다음과 같다.
(1) Hagen-Poiseuille 관계식 (층류에 대한 이송계수)
(14)
(2) Prandtle의 난류 모델
(부분난류 : 매끈한 관의 흐름 법칙) (15)
(완전난류 : 거친 관의 흐름 법칙) (16)
위의 두 가지 형태의 난류 모델은 실험에 의해 결정된 실험 상수를 근거로 하고 있다. 따라서 배관내 유량 거동의 근사적인 묘사일 뿐 정확한 값을 나타내는 것은 아니다. 현재 실제적으로 배관의 유량계산식으로 많이 사용되고 있는 몇 가지 유량계산식과 여기에 사용된 이송계수를 다음 【표 7-5】일반적으로 사용되는 유량계산식과 이송계수 에 나열하였다.
구분
유량계산식 a)
이송계수 (
)
완전난류
IGT Distribution
Muller eqn.
Panhandle eqn b).
Spitzglass(고압) c)
Spitzglass(저압) c)
Weymouth eqn.
a) 여기 식들의 단위는 모두 다음과 같다. ㅇ= in. , L = ft, P = psia, hw = in. wc, q = Mcg/hr μ = lbm / ft sec, T = °R b) 상수 2,450에는 μ=7.0 ×10 -6 이 포한된 값임 c) 상수 3.415 및 3.550에는 다음이 포함되어 있음 P sc = 14.7 psia, T sc = 520 °R, T = 522.6°R
앞에서 소개된 유량방정식들의 계수들은 압력범위에 따라, 다소 다른 특성을 보인다. 다음은 일반적으로 많이 쓰이는 고압과 중압, 저압에서의 유량방정식이다.
(1) 저압 유량방정식
여기서, Q : 가스유량(㎥ /h), D : 배관구경(cm), L : 배관연장(m), S : 가스비중(공기 1),
H : 시점압력 P 1 과 말단압력 P 2 의 차(mmH 2 O), K : 유량계수
일반적으로 유량계수는 폴의 계수 0.707과 미국과 영국에서 사용되는 0.837 / √(1+4.35/D) 가 많이 사용된다.
배관말단의 소요압력은 출구의 최저허용압력에 공급관, 내관 및 가스메터를 통과할 때의 압력강하분을 고려 일반적으로 공급관에서 가스관까지의 압력손실을 20~25 mmH2O 정도로 설계한다. 단, 장래의 수요를 고려하는 경우에는 도달압력에 여류를 갖게 할 필요가 있다.
(2)고,중압 유량방정식
여기서, Q : 가스유량(㎥ /h), D : 배관구경(cm), L : 배관연장(m), S : 가스비중(공기 1),
P 1 , P 2 : 각각 시점과 종점에서의 절대압력(kg/cm 2 ), K : 유량계수
일반적으로 유량계수는 Cox의 계수 52.31과 Weymouth의 계수 37.67D^(1/6) 이 많이 사용된다.
고, 중압배관의 말단 소요압력은 공급하는 정압기의 설정 최대 2차압에 정압기 작동에 필요한 압력강하분을 더한 압력이상이다.